数学分析题库（1-22章）五．证明题1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ⋃=，证明：（1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明352325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞→lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列.5.用δε-方法验证：3)23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6． 用M -ε方法验证：211lim2-=-+-∞→xx x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0ϕ，在0x 某邻域);(10δx U ︒内a x ≠)(ϕ，又.)(lim A t f at =→证明A x f x x =→))((lim 0ϕ.8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ，（1）)(0x U x n ︒∈，0x x n →，（2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞→)(lim ，则A x f x x =→)(lim 0.9. 证明函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x ，x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续.10.设)(x f 在（0，1）内有定义，且函数)(x f e x 与)(x f e -在（0，1）内是递增的，试证)(x f 在（0，1）内连续.11. 试证函数2sin x y =，在),0[+∞上是不一致连续的.12. 设函数)(x f 在（a,b ）内连续，且)(lim x f a x +→=)(lim x f b x -→=0，证明)(x f 在（a,b ）内有最大值或最小值.13. 证明：若在有限区间（a,b ）内单调有界函数)(x f 是连续的，则此函数在（a,b ）内是一致连续的.14 . 证明：若)(x f 在点a 处可导，f （x ）在点a 处可导.15. 设函数),()(b a x f 在内可导，在[a,b]上连续，且导函数)(x f '严格递增，若)()(b f a f =证明，对一切),(b a x ∈均有()()()f x f a f b =<16. 设函数)(x f 在],[+∞a 内可导，并且()0f a <，试证：若当),(+∞∈a x 时，有()0f x c '>>则存在唯一的),(+∞∈a ξ使得0)(=ξf ，又若把条件()f x c '>减弱为/()0()f x a x ∞><<+，所述结论是否成立？17. 证明不等式21(0)2xx e x x >++>18.设f 为(,)-∞+∞上的连续函数，对所有,()0x f x >，且lim x →+∞()f x lim x →-∞=()0f x =，证明()f x 必能取到最大值.19. 若函数()f x 在[0,1]上二阶可导, 且(0)0f =，(1)1f =，(0)(1)0f f ''==，则存在(0,1)c ∈使得|()|2f c ''≥.20. 应用函数的单调性证明2sin ,(0,);2xx x x ππ<<∈ 21. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f m（m 为实数）， 试问：（1）m 等于何值时，f 在0x =连续； （2）m 等于何值时，f 在0x =可导； （3）m 等于何值时，f '在0x =连续；22. 设()f x 在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，其中,a b 都是非负常数，c 是(0,1)内的任一点，证明()22b fc a '≤+23. 设函数],[)(b a x f 在上连续，在（a,b ）内二阶可导，则存在),(b a ∈ξ使得)(4)()()2(2)(2ξf a b a f b a f b f ''-=++-24. 若)(x f 在点0x 的某个领域上有)1(+n 阶连续导函数,试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式.25. 用泰勒公式证明:设函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,则存在),(b a ∈ξ,使得)(4)()()2(2)(''2ξf a b a f b a f b f -=++-.26. 设函数)(x f 在[]2,0上二阶可导,且在[]2,0上1)(≤x f ,1)(''≤x f .证明在[]2,0上成立2)(''≤x f .27. 设f 是开区间I 上的凸函数,则对任何[]I ⊂βα,,f 在βα,上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在0L >,对任何[]βα,,'''∈x x ,成立'''''')()(x x L x f x f -≤-.28. 设()f x 在 [,](0)a a +∞ >上满足Lipschitz 条件：|()()|||f x f y k x y -≤-, 证明()f x x在[,]a +∞上一致连续.29. 试证明方程11nn x xx -++⋅⋅⋅+=在区间1(,1)2内有唯一实根。

30. 设函数)(x f 在点a 具有连续的二阶导数，试证明：)()(2)()(lim''2a f ha f h a f h a f h =--++→ 31. 设)(x f 在),(b a 上可导，且A x f x f b x a x ==-→+→)(lim )(lim 0.求证：存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf .32. 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内有n 阶导数，且存在1-n 个点),(,,,121b a x x x n ∈- 满足：)()()()()()2()1(121121b f x f x f x f a f b x x x a n n =====<<<<<--求证：存在),(b a ∈ξ，使0)()(=ξn f .33. 设函数f 在点0x 存在左右导数，试证f 在点0x 连续. 34. 设函数f 在],[b a 上可导，证明：存在),(b a ∈ξ，使得)()()]()([222ξξf a b a f b f '-=-.35．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：aab a b b a b -<<-ln ，其中b a <<0.36.证明:任何有限数集都没有聚点. 37.设(){},nna b 是一个严格开区间套,即满足1221n n a a a b b b <<<<<<<,且()lim 0n n n b a →∞-=.证明:存在唯一的一点ξ,使得,1,2,n n a b n ξ<<=.38.设{}n x 为单调数列.证明:若{}n x 存在聚点,则必是唯一的,且为{}n x 的确界. 39.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,证明()f x 在[,]a b 上一致连续. 40.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续, 证明()f x 在[,]a b 上有界. 41.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,证明()f x 在[,]a b 上有最大值.42.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续且单调增加,1(),(,],()(),,x a f t dt x a b x a F x f a x a ⎧∈⎪-=⎨⎪=⎩⎰证明()F x 为[,]a b 上的增函数. 43.函数()f x 在闭区间[0,1]上连续.证明220(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰.44.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上单调,证明()f x 在[,]a b 上可积. 45.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()f x 不恒等于零,证明()2()0ba f x dx >⎰.46.设函数()f x 为(,)-∞+∞上以p 为周期的连续周期函数.证明对任何实数a ,恒有()()a ppaf x dx f x dx +=⎰⎰.47.若函数()f x 在[0,)+∞上连续,且lim ()x f x A →+∞=,证明01lim()xx f t dt A x →+∞=⎰.48.若函数()f x 和()g x 在[,]a b 上可积,证明()()()222()()()()bbba aaf x dxg x dx f x g x dx ⋅≥⎰⎰⎰.49.若函数()f x 在[,]a a -上可积,且为偶函数,证明0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰.50.若函数()f x 在[,]a b 上可积,证明函数()(),[,]xax f t dt x a b Φ=∈⎰在[,]a b 上连续.51.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任何实数,则存在0[,]x a b ∈,使得0()f x μ=. 52. 若函数()f x 在[,]a b 上连续,证明函数()(),[,]xax f t dt x a b Φ=∈⎰在[,]a b 上处处可导,且()()(),[,]xad x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈⎰.53.若数列{}n b 有lim n n b →∞=∞,则级数()11n n n bb ∞+=-∑发散.54.设1n n u ∞=∑为正项级数,且存在常数(0,1)q ∈,使得对一切1n ≥,成立1n nu q u +≤.证明级数1nn u∞=∑收敛.55.设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为正项级数,且对一切1n ≥,成立11n n n n u v u v ++≤.级数1n n v ∞=∑收敛.证明级数1nn u∞=∑也收敛.56.设正项级数1nn u∞=∑收敛.证明级数21nn u∞=∑也收敛.试问反之是否成立?57.设0,1,2,n a n ≥=,且{}n na 有界,证明级数21nn a∞=∑收敛.58.设级数21n n a ∞=∑收敛.证明级数1(0)nn n a a n ∞=>∑也收敛. 59.若lim 0nn n a k b →∞=≠,且级数1n n b ∞=∑绝对收敛,证明级数1n n a ∞=∑也收敛. 若上述条件中只知道级数1nn b∞=∑收敛,能推得级数1nn a∞=∑也收敛吗?60.设0n a >,证明级数()()()112111nn n a a a a ∞=+++∑收敛.61. 221)(x n xx S n +=. 证明在) , (∞+∞-内)(x S n −→−−→−0, ) (∞→n .62. 设数列}{n a 单调收敛于零.试证明:级数∑nx ancos 在区间] 2 , [απα-)0(πα<<上一致收敛.63. 几何级数∑∞=0n nx在区间] , [a a -)10(<<a 上一致收敛；但在) 1 , 1(-内非一致收敛.64. 设数列}{n a 单调收敛于零 . 证明 : 级数∑nx ancos 在区间] 2 , [απα-)0(πα<<上一致收敛.65. 证明级数∑∞=-+-121) 1(n n nx在R 内一致收敛 .66. 证明函数∑∞==0!2)(n nn n x x f 满足微分方程 R ∈=-'-''x y y y ,02.67. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0, 1,0 ,sin )(x x x xx f 证明对)0( , )(n f n ∀存在并求其值.68. 证明：幂级数∑∞=1n n n x 的和函数为∑∞=1n n nx )1ln(x --=,∈x ) 1 , 1 [-.并求级数∑∞=+1132n n n n 和Leibniz 级数∑∞=+-11) 1(n n n 的和.69. 证明：幂级数∑∞=1n nnx的和函数为∑∞=1n nnx2(1)xx =- , 1 ||<x .并利用该幂级数的和函数求幂级数∑∞=+1123n n n nx 的和函数以及数项级数∑∞=-+1121n n n 的和. 70. 证明幂级数∑∞=++-01212) 1 (n n n n x 的和函数为arctgx ，并利用该幂级数的和函数求数项级数∑∞=+-012) 1 (n nn 的和. 71. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又 )(x f 满足)()(x f x f -=+π.求证 )(x f 的Fourier 系数 满足,0,0220===n n b a a .,2,1 =n72. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又设 )(x f 是偶函数，且满足()()f x f x =-π.求证： )(x f 的Fourier 系数,012=-n a .,2,1 =n73．求证函数系{} nx x x sin ,,2sin ,sin 是],0[π上的正交函数系. 74．设)(x f 是以2L 为周期的连续的偶函数。