C
C
C
A
BA
B
A
B
2. 学校要测出一块三角形空地的面积，以便计算绿
化成本，现在已经测量出 AC = 5 cm，还要测量出哪些
量，才能计算三角形的面积?
B
解：根据三角形的面积公式，
只要测量出点 B 到线段 AC 的距 C
AD
离即可计算三角形的面积. 我们作出点 B 到 AC 的垂线
段 BD，再测量出 BD 的长度即可.
D
A
1
4
2
3O
B
C
例题
1. 如图，直线 a, b 相交，∠1 = 40º，求∠2 , ∠3,
∠4 的度数.
b
解: 由邻补角的定义，可得 ∠2 = 180º- ∠1 = 180º- 40º= 140º； a
12 43
由对顶角相等，可得
∠3 = ∠1 = 40º，∠4 = ∠2 = 140º.
2. ∠1 = 90º时，∠2, ∠3, ∠4 的度数各是多少?
= 90º，则称为 AB 与 CD 垂直，记作 AB⊥CD，交点 O
叫做垂足. A
CO
D
A D
O
C
B
B
1. 经过直线 l 上一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能 画出几条?
2. 经过直线 l 外一点 B 画 l 的垂线，这样的 垂线能画出几条?
结论：在同一平面内，过一点有 且只有一条直线与已知直线垂直.
∠AOE 的对顶角.
如图所示，∠BOF 是∠AOE 的对顶角.
小结
1. 对顶角的概念及性质； 2. 邻补角的概念及性质； 3. 利用对顶角以及邻补角的数量关系解决相关问题.
5.1.2 垂 线
观察与思考
如图，固定木条 a，转动木条 b. 当 b 的位置变化时， a, b 所成的角α也会发生变化，你发现了什么?
M
A
B
N
解: 当汽车距离 M 最近时，相当于过 M 点作直线 AB 的垂线，垂足就是 P 点；同理，过 N 点作直线 AB 的垂线，垂足就是 Q 的位置.
M
A
P
Q
B
N
(2) 当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB 的哪 一段距离 M、N 两村庄都越来越近？在哪一段路上距离 村庄 N 越来越近，而离 M 越来越远？
问题 1 如图所示，直线 AB 和 EF 相交，所成的四 个角中，∠1 与 ∠2角? 它们有什么性质? ∠2 与 ∠3 是什么角? 它们有什么性质?
答: ∠1 和 ∠2 是邻补角，它们互补；∠2 和 ∠3 是对顶角，它们相等.
问题 2 如果在上图中添加一条直线 CD 与 EF 相 交，此时我们说 “直线 AB，CD 被直线 EF 所截”. 图中共形成了多少个角? 它们在位置上有什么关系?
A
O
B
又 ∠BOC =∠AOD，
D
∴ ∠AOD = 135º.
4. 如图，一辆汽车在直线形公路 AB 上由 A 地开往 B 地，M，N 分别是位于公路两侧的村庄.
(1) 设汽车行驶到公路 AB 上点 P 位置时，距离村 庄 M 最近；行驶到 Q 点时，距离村庄 N 最近，请在图 中的公路 AB 上分别画出点 P 和点 Q 的位置.
各点的所有线段中，垂线段最短. 即垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
P
··· A4 A3 A2 A1 O
l
例题
1. 画一条线段或一条射线的垂线，如何画？
C
CC
A
BA
B
A
B
分析: 作已知线段、射线的垂线其实就是经过已知 点作已知线段、射线所在的直线的垂线.
解：如图所示：
解: 由邻补角的定义，可得
∠2 = 180º- ∠1 = 180º- 90º= 90º；
由对顶角相等，可得 ∠3 = ∠1 = 90º， ∠4 = ∠2 = 90º.
D
A
1
4
2
3O
B
C
3. 找出图中∠AOE 的对顶 A
角以及邻补角，若没有请画出. C
E D
O B
F
解: 图中∠AOE 的邻补角是∠BOE，图中没有
b
α a
b
垂直：若两条直线相交成 90º角，则称这两条直线 互相垂直.
垂线：当两条直线互相垂直时，其中一条直线就是 另一条直线的垂线.
垂足：当两条直线互相垂直时，其交点叫做垂足.
思考
1. 垂直和垂线有何区别和联系？ 垂直是两条直线的位置关系，而垂线是一条直线.
2. 如何表示垂直?
如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，若∠AOD
3. 如图，直线 AB, CD 相交于点 O，OE⊥AB，且 ∠DOE = 3∠COE，求∠AOD 的度数.
E C
A
O
B
D
解: ∵∠DOE = 3∠COE，
且 ∠DOE +∠COE = 180º，
∴ 3∠COE +∠COE = 180º.
∴ ∠COE = 45º.
Байду номын сангаас
E
∵ OE⊥AB，
C
∴ ∠BOE = 90º. ∴ ∠BOC = 135º.
第五章 相交线与平行线
5.1 相交线 5.1.1 相交线
知识回顾：1、按大小分角的种类有： 锐角、直角、钝角、平角、优角、周角 2、何为互余及互补的角：
3、余角与补角的性质：
观察与思考
1. 一把张开的剪刀，能联想出什么样的几何图形？
相交线
2. 观察这些角有什么位置关系？
D
A
1
4
2
3O
B
C
对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向
3. 如图，连接直线 l 外一点 P 与直线 l 上各点 O， A1，A2，A3，···，其中 PO⊥l (我们称 PO 为点 P 到直 线 l 的垂线段). 比较线段 PO，PA1，PA2，PA3，···的 长短. 这些线段中，哪一条最短?
P
··· A4 A3 A2 A1 O
l
结论：连接直线外一点与直线上
解: 可以通过图形观察发现，当处于 AP 路段时距 离两村庄都越来越近；当处于 PQ 路段时距离 M 越来 越远，而距离 N 越来越近. M
A
P
Q
B
N
小结
1. 垂线的定义； 2. 垂线的性质(2 个)； 3. 垂线性质的应用——解决路线最短问题.
5.1.3 同位角、内错角、 同旁内角
观察与思考
答: 图中共形成 8 个角，其中∠1, ∠2, ∠3, ∠4 属于共顶点的角；∠5, ∠6, ∠7, ∠8 属于共顶 点的角；∠1, ∠2, ∠3, ∠4 和∠5, ∠6, ∠7, ∠8 是不共顶点的角.
延长线，则这两个角互为对顶角.
邻补角：若两个角有一条公共边，另一边互为反向
延长线，则这两个角互为邻补角.
D
A
1
4
2
O
3
B
C
对顶角有什么大小关系？你能说明理由吗？
D
A
1
4
2
3O
B
C
对顶角相等. 如图所示，易知∠1 +∠2 = 180º，∠3 +∠2 = 180º， 根据同角的补角相等，∠1 = ∠3 .