因为AB⊥OE （已知）
D
所以 ∠EOB=90°(垂直的定义)
因所所为以以∠∠∠DADOOOCEB===54∠00°°DO(（互B=已余4知0的°）定（义对) 顶A角C相等）O
B F
又因为OB平分∠DOF
所以∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义）
所以∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°
∴∠1= _9_0_°_ ( 垂线的定义 )C
2
B
∵ ∠1= ∠2=_9_0_°_
11
∴ AB_⊥__EF ( 垂线的定义 ) E
D
例：如图，直线AB与直线CD相交于点O，
OE⊥AB，已知∠BOD=45°，求∠COE的度
数．
E
D
解：因为 OE⊥AB （已知）
A
所以∠AOE=90°（垂线的定义）
┓
B O
m
┓n O
若要强调垂足，则记为：a⊥b， 垂足为O．
垂直的书写形式：
A
D
如图，当直线AB与CD相交于O点， ∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O． O
书写形式1：
C
B
因为∠AOD=90°（已知）
所以AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那 么，∠AOD=90°．
书写形式2：因为AB⊥CD （已知）
又因为∠ AOC=∠BOD=45 °
（对顶角的性质）
C
所以∠COE= ∠ AOC+ ∠ AOE
= 45 °+90 °=135 °
画一画：
请用三角尺和量角器过点P画直线AB的垂线．
P
O
AO
BA
B
PO为所求
P
PO为所求
如果点P在直线上呢？请作图． O
P
A
B
PO为所求
垂线的的画法
1．一落：把三角尺的一条直角边落在已知直线上； 2．二过：让三角尺的另一条直角边经过已知的点； 3．三画：沿着直角边经过已知点画直线．
A
直线AB垂
┓1
直于直线
O D CD，O为
垂足．
B
AB⊥CD，
O为垂 足．
含义1： ∵AB⊥CD
∴∠1=90°
（垂直用
符号 “⊥”
来表示，
含义2：
∵∠1=90°
读作“垂 ∴AB⊥CD
直于” ）
练一练
如图,CD ⊥EF, ∠1= ∠2,则AB⊥EF．请说
明理由（补全解答过程）
A
F
解： ∵ CD ⊥EF（已知）
新课导入
生 活 中 的 相 交 直 线
生 活 中 的 相 交 直 线
知识要点
相交线的定义
23
●O
14
二线四角图
有一个公共点的两条直线形成相交直线．
请你画出任意两条相交直线，看看这 四个角有什么关系?
两条相交直线形成的小于平角的角有几个?
如图1所示，∠1与∠2有什么特点？
A
2
D
1
3
O
4
B
C
∠1与∠2有一条公共边OA，它们的另一 边互为反向延长线．
知识要点
邻补角
如果两个角有一条公共边，它们的另一边 互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角．
A
2
D
1 O3
C
4
B
图中互为邻补角的有：∠1与∠2， ∠2与∠3， ∠3与∠4， ∠1与∠4．
判断两个角是不是邻补角：
（1）有一个公共顶点； （2）有一条公共边．
一对邻补角一定互补吗？ 一对互补的角一定是邻补角吗？
P
A
B
短线和线段的垂线应怎么画？
AO
B
A
O
B
结合以上的作图．请你思考：在同一平面 内．过一点可以作几条直线与已知直线垂直？
P
A
P
B
A
B
知识要点
垂线的性质1：
在同一平面内．过一点有且只有一条 直线垂直于已知直线．
比较过直线m外一点O与m相交的所有 线段中，哪一条最短？
O
D′ C′
B′
A BC
OA最短
┛
将尺子拉直与踏板边所在直线垂直，取最近的脚 印后跟与踏板边沿之间的距离就是跳远成绩．
理由是：直线外一点与直线上各点连结的所有线 段中，垂线段最短．
如图所示．从A地走到B地有多条道路，一般地， 人们会走中间的直路，而不会走其它的曲折的路， 这是为什么？
垂线段最短．
A D
B C
如图，三角形ABC，从图中找出与线段AB、 线段BC、线段AB垂直的线段，并指出三角形的 三条边中，哪条边最长？
B O
∠BOC＝__9_0_°___；
D
此时我们说，AB与CD互相垂直．
当∠BOD＝α°（ α≠90°）时．
∠AOD＝（ 180－ α ）°
∠AOC＝（ α ）°
A
∠BOC＝（ 180－ α ）°
C
B O
D
当α ≠90°时，AB与CD不垂直，此时我们说 AB与CD斜交．
两条直线相交
斜交
垂直——相交的特殊情况
平分线，已知∠AOC=54°．求∠BOP的度数．
P
解： 由邻补角的定义可得：
C
B
∠BOC＝180°－∠AOC
＝180°－54°
＝126°；
因为OP平分∠BOC，
AO D
所以∠BOP= 12∠AOD
= 1 ×126°
2
＝63°.
生活中的垂线
生 活 中 的 垂 线
C
当∠BOD＝90°时．
∠AOD＝__9_0_°___； A ∠AOC＝__9_0_°___；
所以∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角 中一个角是直角．
生活中常见的互相垂直的例子
例2 如图．直线AB、CD相交于点O，
OE⊥AB于O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°，
解:
求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数．E
D．2
3．如图,一辆汽车在一段笔直的公路上从Ａ村 开往B村,Ｐ村不在路AB 上．
（1）如果有一人想在Ａ、Ｂ两村之间下车,前 往P村,他在哪里下车走的路程最短？请画出图形, 并说明原因．
（2）汽车在哪一段路上行驶时,与P村的距离越 来越近？汽车在哪一段路上行驶时,与P村的距离越 来越远？
P
┓
A
B
O
答案：（1）在O点下车走的路程最短. 原因：垂线段最短．
（2）在AO路段上行驶时,与P村的距离 越来越近,在OB路段上行驶时,与P 村的距离越来越远．
┓
知识要点
垂直
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角 是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫 另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．
m
图中m与n互相垂直， 其 中，m叫n的垂线， n叫m的 垂线，垂足为O．
┓ n
O
垂直的表示：
用“⊥”和直线字母表示垂直
例如，如图，m、n互相垂直， 垂足 为O，则记为： m⊥n或n⊥m．
所以∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°
(邻补角定义)
练一练
如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB， ∠1=125°，求∠COE的度数． C E
35°
A
1
B O
D
垂线的定义
定义
图示 文字语言 几何语言 两层含义
当两条直 线所成的 四个角中 有一个角 是直角时, C 我们就说 这两条直 线互相垂 直．
A
2
D
1O3
4
B
C
∠1与∠3是直线AB与CD相交得到的， 它们有一个公共顶点O，没有公共边．
知识要点
对顶角
如果一个角的两边是另一个角的两边的反向 延长线，那么这两个角互为对顶角．
右图中互为对顶角的为： ∠1与∠3； ∠2与∠4．
A
2
D
1 O3
C
4
B
判断两个角是不是对顶角：
（1）两个角是由两条直线相交而形成的 （由两条直线相交保证了所形成的角有公 共顶点）；
解：由邻补角的定义，可得：
∠2＝180°－∠1 ＝180°－60°
2
1
n
3
＝120°；
4
由对顶相等，可得：
∠3＝∠1＝60°，
m
∠4＝∠2＝120°．
角的 名称
特
征 课性质堂小相结同 点 不 同 点
对 顶 角
①两条直线相 交形成的角； ②有公共顶点;
③没有公共边
对顶 角相 等
①都是两条 直线相交而 成的角；
①有无公共边 ②两直线相
邻 补
①两条直线相 交而成； ②有公共顶点;
②都有一个 公共顶点； 邻补
角互 ③都是成对
交时，对顶 角只有两对 邻补角有四 对
角
③有一条公共 边
补
出现的
随堂练习
1．判断
（1）有公共顶点且相等的两个角是对顶
角．（ × ） （2）两条直线相交，有两组对顶角．（ √ ）
2．如右图直线AB、CD交于点O，OP为 射线，那么（ C ）
例1 如图．直线AB、CD相交于点 O．OE⊥AB．∠1=55°．求∠EOD的度数．
CE
解: 因为 AB⊥OE （已知）
1
AO
B
所以 ∠EOB=90°(垂直的定义)
因为∠BOD= ∠1=55° （对顶角相等） D
所以∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD