2017年市高三数学竞赛（2017.03.26）解答（供参考）一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2－x )] 的定义域是__________，值域是__________ .【答案】]121(∪)021-[，，，]2πlg ∞(，-【提示】求定义域：]10(∈2(2，－x)x ，求值域：]2π0(∈2arcsin(2，－x)x .2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12＋a n 2＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ，n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ .【答案】a n = (3n －4)2或者 (3n －2)2【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。
归纳得：a n = (3n －4)2或者 (3n －2)2（数学归纳法证明 / 代入检验略）。
（方法二）严格推导（注意舍去增根）原方程变形可得：a n +12－(2a n ＋18)a n +1＋a n 2－18a n ＋81 = 0 ；由求根公式可得：21+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ；开方可得：|3±|=1+n n a a ；计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49， 由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N *时，3±=1+n n a a ，进而3=1+＋n n a a ，（小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）； 可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。
3、用一正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ .【答案】226＋【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。
4、一个口袋中有10卡片，分别写着数字0，1，2，……，9，从中任意连续取出4，按取出的顺序从左到右组成一个四位数（若0在最左边，则该数视作三位数），则这个数小于2017的概率是__________ .【答案】1260253【提示】分类讨论：第一位是0，第一位是1，第一位是2（2013～2016）。
1260253=42=41039P P p ＋ .5、设1211=)(2＋＋＋x x x f ，则)°89(tan )°2(tan )°1(tan f f f ＋＋＋ = __________ .【答案】2267【提示】（方法一）运用数列“逆序求和法” 计算)]θ°90[tan()θ(tan －＋f f1θcot 21θcot 11θtan 21θtan 1=22＋＋＋＋＋＋＋ 3=21=θtan 1θtan 2θtan 1θtan 1θtan 21θtan 1=222＋＋＋＋＋＋＋＋ . 记)°89(tan )°2(tan )°1(tan =f f f S ＋＋＋ ， 则)°1(tan )°88(tan )°89(tan =f f f S＋＋＋ .两式相加可得：89×3=2S ，可得原式的值为2267 .（方法二）严格推导（三角函数＋数列分组求和法）计算θcos θsin θcos 2θcos θsin θcos =1θtan 21θtan 1=)θ(tan 2222＋＋＋＋＋＋f θcos 2θcos θsin θcos =θcos θsin θcos 2θcos θsin θcos =2222＋＋＋＋＋ .综上，原式)°89cos 2°89cos °89sin °89cos ()°1cos 2°1cos °1sin °1cos (=22＋＋＋＋＋＋ )°1sin 2°1sin °1cos °1sin ()°1cos 2°1cos °1sin °1cos (=22＋＋＋＋＋＋2267=121132=)°45sin 2°45sin °45cos °45sin (44×)21(=2＋＋＋＋＋＋ .6、设集合A = {a 1，a 2，a 3}是集合{1，2，……，16}的子集， 满足a 1＋7 ≤ a 2＋4 ≤ a 3，则这样的子集A 共有__________个。
【答案】165 【提示】穷举法。
对于a 2的值分类讨论：a 2 = 4，5，……，12，分别有：1×9，2×8，……，9×1种可能，符合题意的子集A 共有：S = 1×9＋2×8＋3×7＋……＋9×19=91=91=|]6)12)(1()1(5[=)10(=)10(=∑∑n n 2n n n n n n n n n n ＋＋－＋－－165=285450=619×10×910×9×5=－－ .7、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3)，B (2，3)，及圆C ：215=)1()(222ay a x ＋＋＋－，若线段AB （包括端点A ，B ）在圆C 的外部，则实数a 的取值围是__________ . 【答案】)∞+64(∪)2∞-(，＋，【提示】（方法一）数形结合＋分类讨论 1）若a = 0，符合题意；2）若a < 0，圆心C(a ，-1)在第三象限。
此时只需点A 在圆C 外即可符合题意；（恒符合题意）3）若0 < a < 2，圆心C(a ，-1)在第四象限，而且在线段AB 的正下方。
此时只需圆C 的半径r < 4即可符合题意；解得0 < a <2 ；4）若a ≥ 2，圆心C(a ，-1)在第四象限。
此时只需点B 在圆C 外即可符合题意； 解得a >64＋.综上所述，实数a 的取值围是)∞+64(∪)2∞-(，＋，.（方法二）转化成不等式恒成立问题＋分类讨论在线段AB 上任取一点P (t ，3)，t ∈[0，2]，由题意，点P 恒在圆C 外，因此：215>)13()(222a a t ＋＋＋－，即12>)(22－－a a t 对任意t ∈[0，2] 恒成立。
对实数a 的值分类讨论可得：1）如果0<122－a ，即2<<2a -，原不等式恒成立，符合题意； 2）如果0=122－a ，即2=-a 或者2=a ； 2.1）若2=-a ，代入得0>)2(2＋t ，对任意t ∈[0，2]恒成立，符合题意； 2.2）若2=a，代入得0>)2(2－t ，当2=t 时该不等式不成立，舍去；3）如果0>122－a ，即2<-a 或者2>a ； 3.1）若2<-a ，则t －a > 0，因此12>2－－a a t ，可得12>2－＋a a t ，分子有理化可得：1212>22－－＋a a a t ，对任意t ∈[0，2] 恒成立，符合题意；3.2）若2<<2a ，则t －a > 0，因此12>2－－a a t ，可得12>2－＋a a t ，2>122－＋a a ，该不等式对任意t ∈[0，2] 不恒成立，不符合题意，舍去；3.3）若a ≥ 2，则t －a < 0，因此12>2－－a t a ，可得12<2－－a a t ，12<22－－a a 对任意t ∈[0，2]恒成立，a 2－8a ＋10 > 0，解得64>＋a 。
综上所述，实数a 的取值围是)∞+64(∪)2∞-(，＋，.8、一串“＋”、“－”号排成一行，从左向右看，就会产生“变号”。
例如，＋＋－＋－－＋，其中有4次“变号”，若有10个“＋”号与6个“－”号 排成一行，产生7次“变号”，则这种排列共有__________种。
【答案】672【提示】由于是否变号仅看“＋”、“－”号是否从左向右交替出现。
考虑“－”号有几组（连续的“－”号算作一组，用【－】表示）：要产生7次“变号”，必须出现4组“－”号，与“＋”号组（用【＋】表示）的相对位置有如下两种情况： （1）【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】 （2）【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】将6个“－”号分成4组，亦有两种情况：（3＋1＋1＋1），（2＋2＋1＋1） 1）－－－【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】 由插杠法可得：84=39C ；2）－【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】 由插杠法可得：252=3×84=1339C ·C ；3）【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】－－－由插杠法可得：84=39C ；4）【＋】【－】【＋】【－】【＋】【－】【＋】－由插杠法可得：252=3×84=1339C ·C ；综上所述，共有2(84＋252) = 672种。
二、解答题：（本大题满分60分，每题15分）9、已知数列{}n a 的各项均为正实数，a 1 = 1，而且对于一切正实数n ，均有)(2=211+n n n a a a a a ＋＋＋ .（1）证明：数列{}n a 的每一项都是完全平方数； （2）证明：9 | a 100 .【答案】证明：（1）当n ≥ 2，n ∈N *时，)(2=1211-n -n n a a a a a ＋＋＋ ；两式相减可得：n -n n n n a a a a a 2=11+－，进而n -n n a a a 2=11+－ ；换元法设n n a b =，可得n -n n b b b 2=11+－（n ≥ 2，n ∈N *）；又1==11a b ，把n = 2代入原等式计算得a 2 = 4，因此2==22a b ，由11+2=-n n n b b b ＋（n ≥ 2，n ∈N *）易知：对于任意n ≥ 3，n ∈N *，恒有：数列{b n }单调递增，而且每一项都是正整数。
所以，对于任意n ∈N *，数列{b n }的每一项都是正整数， 而2=nnb a ，所以数列{}n a 的每一项都是完全平方数，得证。