❖ 共轭点：诸如上面提到的一对构成物象关系的点称为共轭点．
此外，在傍轴近似下，光线矢高等于: h l 'u ' lu
(*)
结合(1-5)式，可得 i l r u, i ' l ' r u '
r
r
代入折射定律 ni=ni，整理变形可得如下关系：
⑥
n
'
1 r
1 l'
n
1 r
1 l
Q
⑦ n 'u ' nu h (n ' n) rຫໍສະໝຸດ Lr rsin U
② sin I ' nn'sin I
③ U ' U I I '
④ sin I ' sinU ' L ' r r
L
'
r
1
sin I sinU '
8. 近轴光路计算: 傍轴近似 近轴(傍轴)区：当 U 角很小(指绝对值很小)时，光线所处的很靠近光轴的区域．
近轴(傍轴)光线：限制在近轴区内的光线． 在傍轴近似下，相应的 I、I’、U 等都比较小，可用弧度值近似替代正弦值：
特例：物像空间介质相同
y f l
y f l
f f 1
l l
ff
y f l
y f l
19. 理想光学系统两焦距之间的关系
1 1 1 l l f
l
l
y f x y x f
xx ff
l tanU h l tanU
(x f ) tanU (x f ) tanU
此时球面镜成倒像; 反射与入射光线孔径角相等,故过球心的光线沿原路返回,仍会聚于 球心.因此,球面镜对于球心是等光程面,成完善像. 13. 共轴球面系统成像 1.共轴光学系统的结构参数 设共轴光学系统由 k 个球面组成,则系统结构由基本参数(ni,ri,di)确定:
ni-1
ni
ni+1
ri-1
li-1
由于反射可看作折射的特例，因此，只需令 n’=-n，即可由折射球面成像的结论推导出球面
反射镜(球面镜)的成像特性。
1. 物像位置关系：作代换 n’=-n
成像关系如图
n ' n n ' n 1 1 2
l' l r
l' l r
r >0 凸面镜 r <0 凹面镜
y
C
Oy
O y'
C
y'
-l' -r -l
第一章：几何光学基本定律与成像概念
1. 费马原理（最短光程原理 ）
光程：光线在介质中传播的几何距离 L 与介质折射率的乘积。等价于相同时间内光在真空
传播的距离 L0。 S nL Lc / v cL / 若介质折射率是空间坐标的函数 n=n(x,y,z)
v ct ，从 A
点到L0B
点光线可能为任意曲线，此
试证明经 P 点一次反射后从 A 到达 B 的光线，其光程比邻近的任何光程N都长。
证明：设 P 为顶点,经 P 点反射的光路光程为
M
A
SP n(AP PB)
现通过 P 点，并以 A 和 B 为焦点作一椭圆 N。
C
设 Q 为 M 上除 P 点外的任意一点,则经 Q 反射的光程
P
Q
SQ n(AQ QB)
n n ' n l n' n' r
结论：只与共轭点的位置有关，与光线孔径角无关。
11. 拉赫不变量-J：
由垂轴放大率公式 y ' nl ' hlul 'u' nu
y n'l
n 'u '
关系
n'2
n
三者
关系
可导出如下不变量: n 'u ' y ' nuy J
12. 反射球面成像：
(6) =1, n=n’ 无折射面, l'=l 不成像.
轴向放大率 dl ' n l '2 l '2/ n '
结论:
dl n ' l2 l2 / n
(1)折射球面的 恒为正数 物、像点沿轴同向移动；
(2) 轴向放大率与垂轴放大率不等 空间物体成像要变形。
角向放大率： u ' l n 1 u l' n'
为稳定值。
此外，借助解析几何可以证明，任何光线从一个焦点出发，经表面上任何一点反射后必
通过另一个焦点，其条件是入射角等于反射角。
5. 马吕斯定律：
光线束在各向同性的均匀介质中传播时，始终保持着与波面的正交性，并且入射波面
与出射波面对应点之间的光程均为定值。 6. 完善像点：若物点发出的一束同心光束，经光学系统后仍为同心光束，则该同心光束的
uk' u1
u1' u2' ... uk'
u1 u2
uk
1 2... k
三个放大率间的关系仍有 .
第二章 理想光学系统
14. 理想光学系统： 把光学系统在近轴区成完善像的理论推广到任意大的空间、以任意宽的光束都成完善像的光 学系统。 15. 像方主点、主平面、像方焦距
16. 物方主平面与像方主平面间的关系：
18. 解析法求像 ： 沿轴线段以光学系统的焦点为起算原点
由△BAF∽△FHM, △B′A′F ′∽△N′H′F′得
y f y x
y x y f
牛顿公式：
xx ff
y f x y x f
可以推出
x l f x l f
高斯公式：
lf lf ll
f f 1 l l
几 点 结 论:
1
1 n '
n
l
nr
(1) 仅取决于共轭面位置；在一对共轭面上,像与物是相似的；
(2)>1 y'>y 放大像；反之, <1 缩小像；
(3) >0 y'与 y 同号 成正像;反之，<0 成倒像；
(4) >0 l‘与 l 同号 物像虚实相反;反之，<0 虚实相同；
(5) =0 l 无穷远物将成像于一点;
n ' n n ' n ⑧
l' l r
⑥式中 Q 称为阿贝不变量，对于单个折射球面物空间与像空间的 Q 相等；⑦式表明了物、 像孔径角的关系；⑧式表明了物、像位置关系 9. 习题：利用费马原理推导傍轴条件下单球面折射成像的物像距关系
D
解:设 OD=d, 则光线矢高为
h2 r2 (r d )2 d (2r d )
中心即为物点的完善像点。 完善成像的充要条件: 表述一：入射光是同心光束时，出射光也是同心光束。 表述二：入射波面是球面波时，出射波面也是球面波。 表述三：物点与像点之间任意两条光路的光程相等，即 7. 单个折射球面的光路计算问题： 球心 C 入射光 AE 法线 EC 折射光 EA' 入射角 I 折射角 I‘ 光轴 AC 球面顶点 O 光线矢高 h
di-1
(1) 各面间的介质折射率 n1, n2,n3,……nk,nk+1; (2) 各球面的曲率半径 r1,r2,r3,……rk; (3) 相邻球面顶点间的距离 d1,d2,d3,…..dk-1. 2.过渡公式: 各球面对应的物像空间的参数关系： 第 k-1 面的像空间就是第 k 面的物空间,故结构参数的过渡公式
P
Q
A
O
B
到 B 传播,其光程是一个不随反射点位置而变化的稳定值。
证明：由于椭圆具有这样的特性：椭圆表面上的任何一点与两焦点间线段长度之和为定值，
即总有 AP+PB=AQ+QB 成立。由此可见，从焦点 A 发出的光线经一次反射后通过焦点 B 的
诸光线具有相同的光程长。根据费马原理，经表面任意一点反射的光路都是可能的,且光程
n2 n1'
n3
n
' 2
... nk
n' k 1
u
2
u1'
u3
u
' 2
uk
u' k 1
y
2
y1'
y3
y
' 2
. . .y k
y' k 1
l2 l1' d1
l3
l
' 2
d2
...lk
l' k 1
d' k 1
系统的拉赫不变量 J =
n1u1 y1 n2u2 y2 .... nkuk yk
Q Q′
h
F
H
H′
QH 与 Q’H’为共轭面 17. 求物镜像方焦距、像方焦点、像方主点：
h F′
起始坐标
u 0 h 10mm l 用1六次近轴光线的光路计算1 公式和过渡公式1求像距和倾角
i1 h1 / r1
i lru r
i
ni n
u u i i
l r(1 i ) u
ni1 ni ui1 ui li1 li di
-l
l'
r
2. 成像放大率: 作代换 n’=-n
y' l' yl
dl ' dl
l '2 l2
2
u' l 1 u l'
u ' y ' uy J
说明: (1)反射球面的 恒为负数 物、像点沿轴反向移动； (2)物点位于球面镜球心,即 l=r 时, l’=r,且 ==-1, =1.
时方程积分与路径有关，且光程是折射率函数的函数
2. 费马原理：