2018年高考数学30道压轴题训练(教师版)1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求直线PQ 的方程；1．（1）解：由题意，可设椭圆的方程为(22212x y a a +=。

由已知得,().22222a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩解得2a c == 所以椭圆的方程为22162x y +=，离心率3e =。

（2）解：由（1）可得A （3，0）。

设直线PQ 的方程为()3y k x =-。

由方程组,()221623x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()222231182760k x k x k +-+-=，依题意()212230k ∆=->，得33k <<。

设(,),(,)1122P x y Q x y ，则21221831k x x k +=+， ① 212227631k x x k -=+。

②由直线PQ 的方程得(),()112233y k x y k x =-=-。

于是()()[()]22121212123339y y k x x k x x x x =--=-++。

③ ∵0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，∴12120x x y y +=。

④由①②③④得251k =，从而()533k =。

所以直线PQ的方程为30x -=或30x +-=2．已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。

（1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。

（2） 证明)(x f 是偶函数。

（3） 试问方程01log )(4=+xx f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。

2．①f(x)=12--k x (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根3．如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(22=-+y x 。

（1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 小，求点P 的坐标及S 的最小值。

3．①x 2=4y ②x 1x 2=-4 ⑶P(±2,1) S MIN =74．以椭圆222y ax +＝1（a4．解：因a ＞1，不防设短轴一端点为B （0，1）设BC ∶y ＝kx ＋1（k ＞0）则AB ∶y ＝－k1x ＋1 把BC 方程代入椭圆， 是（1＋a 2k 2）x 2＋2a 2kx ＝08642-2-4-15-10-5510x C yX O F∴|BC |＝2222121k a k a k ++，同理|AB |＝222221ak a k ++ 由|AB |＝|BC |，得k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0（k －1）［k 2＋（1－a 2）k ＋1］＝0 ∴k ＝1或k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0当k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2－1）2－4由Δ＜0，得1＜a ＜3由Δ＝0，得a ＝3，此时，k ＝1 故，由Δ≤0，即1＜a ≤3时有一解 由Δ＞0即a ＞3时有三解5．已知，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0.（Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围.5． 解：依题意，知a 、b ≠0∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a ＞0且c ＜0（Ⅰ）令f （x ）＝g （x ）， 得ax 2＋2bx ＋c ＝0.（*） Δ＝4（b 2－ac ）∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0 ∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点 （Ⅱ）设x 1、x 2为交点A 、B 之横坐标 则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程（*），知|A 1B 1|2＝22224)(444a acc a a ac b -+=-2224()a c ac a =++ 24()1(**)cc aa ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∵020a b c a c a b++=⎧⇒+>⎨>⎩，而a ＞0，∴2ca>- ∵020a b c a c c b++=⎧⇒+<⎨<⎩，∴12c a <- ∴122c a -<<- ∴4［（a c ）2＋ac ＋1］∈（3，12）∴|A 1B 1|∈（3，23）6． 已知过函数f （x ）=123++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。

（1） 求a 、b 的值；（2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132++--=tx x x f x g 。

是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有最大值1？6、解：（1）()x f'=ax x 232+依题意得k=()1'f =3+2a=－3， ∴a=－3()1323+-=∴x x x f ，把B （1，b ）代入得b=()11-=f∴a=－3，b=－1 （2）令()x f'=3x 2－6x=0得x=0或x=2∵f （0）=1，f （2）=23－3×22＋1=－3 f （－1）=－3，f （4）=17∴x ∈[－1，4]，－3≤f （x ）≤17要使f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立，则f （x ）的最大值17≤A －1987 ∴A ≥2004。

（1） 已知g （x ）=－()tx x tx x x x +-=++-+-32231313 ∴()t x x g +-=2'3∵0＜x ≤1，∴－3≤－3x 2＜0， ① 当t ＞3时，t －3x 2＞0，()0'>x g 即∴g （x ）在]1.0(上为增函数，g （x ）的最大值g （1）=t －1=1,得t=2（不合题意,舍去） ② 当0≤t ≤3时, ()t x x g +-=2'3令()x g '=0,得x=3t 列表如下:g （x ）在x=3t 处取最大值－33⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t ＋t 3t=1 ∴t=3427=2233＜3t 3∴x=3t ＜1 ③当t ＜0时，()t x x g +-=2'3＜0，∴g （x ）在]1.0(上为减函数， ∴g （x ）在]1.0(上为增函数，∴存在一个a=2233，使g （x ）在]1.0(上有最大值1。

7． 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→→⋅PN PM 的等比中项。

（1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C的方程。

7、解:（1）设动点的坐标为P （x,y ）,则H （0,y ）,()0,x PH -=→,→PM =（－2－x,－y ）→PN =（2－x,－y ）∴→PM ·→PN =（－2－x,－y ）·（2－x,－y ）=224y x +- x PH =→由题意得∣PH ∣2=2·→PM ·→PN 即()22242yx x +-=即14822=+y x ，所求点P 的轨迹为椭圆 （2）由已知求得N （2，0）关于直线x+y=1的对称点E （1，－1），则∣QE ∣=∣QN ∣ 双曲线的C 实轴长2a=10=≤-=-ME QE QM QN QM （当且仅当Q 、E 、M 共线时取“=”），此时，实轴长2a 最大为10所以，双曲线C 的实半轴长a=210又23,221222=-=∴==a cb NMc Θ ∴双曲线C 的方程式为1232522=-y x 8．已知数列{a n }满足aa aa b a a a a a a a n nn n n n +-=+=>=+设,2),0(32211 （1）求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与87的大小，并证明你的结论. 8.（1）121-=n n b（2）08121116181)21212121161(81)212121(872441684=--=-+⋅+⋅+<-++++=-K K n S 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；（Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程．9．解：（Ⅰ）设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．…………………………………………2分故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ．又双曲线C 的一个焦点为 )0,2(∴222=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为122=-y x ．………………………………………………4分 （Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=1122y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(22---=mx x m x f直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根．因此⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--<->∆012012022mm m 解得21<<m ． 又AB 中点为)11,1(22mm m --， ∴直线l 的方程为)2(2212+++-=x m m y ．………………………………6分 令x=0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m∴),2()22,(+∞---∞∈Y b ．………………………………………………8分 （Ⅲ）若Q 在双曲线的右支上，则延长2QF 到T ，使||||1QF QT =， 若Q 在双曲线的左支上，则在2QF 上取一点T ，使||||1QF QT =．根据双曲线的定义2||2=TF ，所以点T 在以)0,2(2F 为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(22≠=+-x y x ①…………………………………………10分 由于点N 是线段T F 1的中点，设),(y x N ，),(T T y x T ．则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=222TT y y x x ，即⎩⎨⎧=+=y y x x T T 222．代入①并整理得点N 的轨迹方程为122=+y x ．)22(-≠x ………………12分 10．)(x f 对任意R x ∈都有.21)1()(=-+x f x f （Ⅰ）求)21(f 和)( )1()1(N n nn f nf ∉-+的值． （Ⅱ）数列{}n a 满足：n a =)0(f +)1()1()2()1(f nn f n f n f +-+++ΛΛ，数列}{n a 是等差数列吗？请给予证明；试比较n T 与n S 的大小．10 解：（Ⅰ）因为21)21()21()211()21(=+=-+f f f f ．所以41)21(=f ．……2分令n x 1=，得21)11()1(=-+n f n f ，即21)1()1(=-+n n f n f ．……………4分（Ⅱ）)1()1()1()0(f n n f n f f a n +-+++=Λ又)0()1()1()1(f nf n n f f a n +++-+=Λ………………5分两式相加21)]0()1([)]1()1([)]1()0([2+=+++-+++=n f f n n f n f f f a n Λ． 所以N n n a n ∈+=,41，………………7分 又41414111=+-++=-+n n a a n n ．故数列}{n a 是等差数列．………………9分（Ⅲ）na b n n 4144=-=22221n n b b b T +++=Λ)131211(16222n ++++=Λ ])1(13212111[16-++⨯+⨯+≤n n Λ………………10分)]111()3121()211(1[16n n --++-+-+=Λ………………12分n S nn =-=-=1632)12(16所以n n S T ≤……………………………………………………………………14分11．如图，设OA 、OB 是过抛物线y 2＝2px 顶点O 的两条弦，且OA →·OB →＝0，求以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点P 的轨迹.11．设直线OA 的斜率为k ，显然k 存在且不等于0则OA 的方程为y ＝kx由⎩⎨⎧y ＝kx y 2＝2px解得A (2p k 2，2p k )……4分又由，知OA ⊥OB ，所以OB 的方程为y ＝－1kx由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x y 2＝2px 解得B (2pk 2，－2pk ) ……4分从而OA 的中点为A '(p k 2，pk )，OB 的中点为B '(pk 2，－pk )……6分所以，以OA 、OB 为直径的圆的方程分别为 x 2＋y 2－2px k 2－2pyk ＝0 ……①x 2＋y 2－2pk 2x ＋2pky ＝0 ……②……10分∵P (x ，y )是异于O 点的两圆交点，所以x ≠0，y ≠0 由①－②并化简得y ＝(k －1k )x ……③将③代入①，并化简得x (k 2＋1k 2－1)＝2p ……④由③④消去k ，有x 2＋y 2－2px ＝0∴点P 的轨迹为以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆(除去原点). ……13分12.知函数f (x )＝log 3(x 2－2mx ＋2m 2＋9m 2－3)的定义域为R(1)求实数m 的取值集合M ；(2)求证：对m ∈M 所确定的所有函数f (x )中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m 的值和x 的值.12．(1)由题意，有x 2－2mx ＋2m 2＋9m 2－3＞0对任意的x ∈R 恒成立所以△＝4m 2－4(2m 2＋9m 2－3)＜0即－m 2－9m 2－3＜0∴(m 2－32)2＋27m 2－3＞0由于分子恒大于0，只需m 2－3＞0即可所以m ＜－3或m ＞ 3∴M ＝{m |m ＜－3或m ＞3}……4分(2)x 2－2mx ＋2m 2＋9m 2－3＝(x －m )2＋m 2＋9m 2－3≥m 2＋9m 2－3当且仅当x ＝m 时等号成立.所以，题设对数函数的真数的最小值为m 2＋9m 2－3……7分 又因为以3为底的对数函数为增函数∴f (x )≥log 3(m 2＋9m 2－3)∴当且仅当x ＝m (m ∈M )时，f (x )有最小值为log 3(m 2＋9m 2－3) ……10分 又当m ∈M 时，m 2－3＞0 ∴m 2＋9m 2－3＝m 2－3＋9m 2－3＋3≥2(m 2－3)·9m 2－3＋3＝9当且仅当m 2－3＝9m 2－3，即m ＝±6时，log 3(m 2＋9m 2－3)有最小值log 3(6＋96－3)＝log 39＝2∴当x ＝m ＝±6时，其函数有最小值2.13.设关于x 的方程2x 2-tx-2=0的两根为),(,βαβα<函数f(x)=.142+-x tx(1) ．求f()()βαf 和的值。