2020第38届美国数学邀请赛
1. 在△ABC 中,AB=AC,点D 在边AC 上,点E 在边AB 上且
AE=ED=DB=BC 。
∠ABC 的度数是n
m ，其中m 、n 是互质的正整数,求m+n 。
2. 存在唯一的正实数，使得log 8(2x),log 4x,log 2x 按顺序可形成公比
为正常数的等比数列，x 可写成n
m 形式,其中m 、n 是互质的正整数,求m+n 。
3. 一个正整数N 在十一进制下可表示为abc ,在八进制下可表示bca 1 其中a,b,c(不必不同)代表数字。
求N 的十进制表示。
4. 正整数N 的具有下述性质的数形成集合S:N 的末四位数字是2020,当擦去末四位数字2020时得到的数是N 的因数。
例如42020是S 中的一个数,擦去2020之后得到的数4是42020的一个因数。
求5中的所有数的所有数字之和。
例如:42020的数字和4+2+0+2+0=8。
5. 标号分别为1~6的六张卡片排成一行,如果去掉一张卡片之后剩余的五张是按通增或近减顺序排列。
求这六张卡片符合这种要求的排列个数。
6. 一块平板上有两个圆孔,半径分别为1、2,两个圆孔的圆心距为7。
在每个圆孔上各放置一个半径相等的小球,使这两个小球互相外切。
小球的半径的平方可表示为n
m 的形式,其中m ，n 是互质的正整数。
求m+n 。
7. 一个俱乐部由11男12女组成,现从中选出一个委员会,要求委员会中的女比男多一人。
这个委员会可以是1人或23人,设N 是委员会的选取方法数,求能整除N 的质因数之和。
8. 一只小虫自天爬行,晚上休息。
它的起点为O,面向东,爬行5个单位。
每个晚上,这只小虫逆时针转动60°。
每个白天它都是按新方向爬行前一天一半的距离。
这只小虫任意接近点
P ,OP 2=n
m ,其中,m,n 是互质的正整数,求m+n 。
9. 设集合S 由209的正整数的约数组成。
从S 中独立随机选取三个数,依次为a 1，a 2，a 3，a 1整除a 2,a 2整除a 3的概率是n
m ,其中m 、n 是互质的正整数。
求用m.
10. 正整数m 、n,满足gcd(m+n,210)=1;m m 是n n 的倍数:m 不是n 的倍数。
求用m+n 的最小可能值。
11. 己a,b,c,d 都是整数，设f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d,
求使g(f(2))=g(f(4))=0,且10 d 的三元有序整数组(a ，b ，c)的个数.
12.设n 是使149n -2n 是33*55*77的倍数的最小的正整数。
求n 的正整数因数个数.
13.△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D。
AD的中垂线分别交∠ABC、∠ACB的平分线于E、F。
设AB=4,BC=5,CA=6。
△AEF的面积可表
示为
p n
m的形式，m,p是互质正整数，正整数n加不能被任何质数的半方整除。
求m+n+P。
14.设P(x)是二次项系数为1的复系数二次多项式,方程P(P(x)=0有四个不同的根3,4,a,b。
求(a+b)2的所有可能值之和。
15.已知说角△ABC的外接因为θ,垂心为H,设△HBC的外接圆在H处的切线交θ于X、Y。
且HA=3,HX=2,HF=6。
△ABC的面积可写成n
m 的形式,其中m、n是正整数且n不整除任何质数的平
方。
求m+n。
1.已知，圆T1,T2圆心分别为O1,O2,两圆相交于点A，B。
已知两个圆心均在另一个圆外.过B作T1切线与圆T2再次相交于点C。
过B作T2切线与圆T1再次相交于点D。
∠DAB平分线与圆T1再次相交于X。
∠CAB平分线与圆T2,再次相交于Y。
若P，Q分别为△ACD，△AYX 外心。
求证:PQ⊥O1O2。
2.实系数多项式P(x)满足P(cosθ+sinθ）=P( cosθ-sinθ）
任意实数θ成立。
证明P(x)可以表示为
P(x)=a0+a1(1-x2)+a2(1-x2)2+…+a n(1-x2)n的形式。
其中a0,a1…a n 为实数,n为非负整数。
3设S为集合｛0，1，2，…，9}的子集。
若存在正整数N，使得对任意整数n>N,总能找到正实数a，b,满足a+b=n,且a，b在十进制表示下的所有数字(不包括开头的0）都属于集合S.求S的最小值。
第二天
4.整数n≥2.实数1≤a1≤a2≤……≤a n,满足a1+a2+……+a n=2n。
求证:a1a2……a n-1+a1a2……a n-2+……+a1a2+a1+2≤a1a2……a n。
5.平面上有无数条互相平行且等距的直线。
若可以作一个正n边形,使得它的所有顶点都在这些直线上,且任意一条直线上的顶点都不超过1个,就称n是“可转换的”。
(1)证明：3、4、6是“可转换的”。
(2)证明：n≥7时,n不可“可转换的”。
(3)判定边数为5时，是否“可转换的”,说明理由。
6.我们将3×1的矩形称为”长牌”现在有一个5×5的正方形，由25个1×1的小正方形组成。
请证明:无法用16张长牌将其盖住,使得每个小正方形都被1个或2个长牌覆盖。
1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。
20.6.156.15.202021:4721:47:11Jun -2021:47
2、心不清则无以见道，志不确则无以定功。
二〇二〇年六月十五日2020年6月15日星期一
3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。
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4、与肝胆人共事，无字句处读书。
6.15.20206.15.202021:4721:4721:47:1121:47:11
5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
Monday, June 15, 2020June 20Monday, June 15, 20206/15/2020
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。
9时47分9时47分15-Jun -206.15.2020 亲爱的用户：
春去春又回，新桃换旧符。
在那桃花盛开的地方，在
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃
花一样美丽，感谢你的阅读。