10自主招生 力学训练一．运动学1．如图所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D 。

BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v解法一：应用微元法设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BB ’，如图所示。

过B ’点作B ’E ⊥BD 。

当Δt →0时，∠BDB ’极小，在△BDB ’中，可以认为DE =B ’D 。

在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BB ’+BE ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度。

由图可知：BE =θcos 'BB ①由速度的定义：物体移动的速度为v 物=tBB t s ∆∆∆'=1 ② 人拉绳子的速度v 0=t BB t BE BB t s ∆∆∆∆)cos +1('=+'=2α ③ 由①②③解之：v 物=θcos +10v解法二：应用合运动与分运动的关系物体动水平的绳也动，在滑轮下侧的水平绳缩短速度和物体速度相同，设为v 物。

根据合运动的概念，绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动。

也就是说“物体”的方向（更直接点是滑轮的方向）是合速度方向，与物体连接的BD 绳上的速度只是一个分速度，所以上侧绳缩短的速度是v 物cos a因此绳子上总的速度为v 物+v 物cos =v 0，得到v 物=θcos +10v解法三：应用能量转化及守恒定律由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功设该时刻人对绳子的拉力为F ，则人对绳子做功的功率为P 1=Fv 。

绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为分为2部分，BD 绳对物体做功的功率为P 2=Fv 0cos ，BC 绳对物体做功的功率为P 2’=Fv 0由P 1=P 2+P 2’得到v 物=θcos +10v2.如图所示，一个半径为R 的轴环O 1立在水平面上，另一个同样的轴O 2以速度v 从这个轴环旁边滑过，试求两轴环上部交叉点A 的速度V A 与两轴环中心之距离d 的关系，轴环很薄，且第二个轴环紧靠第一个轴环滑过．[解析]对本题而言，分解时可以引入圆心O 2交点对参照系，A 相对圆环O 1的运动方向V A 可分解为A 相对圆心O 2的速度V ´和圆心O 2相对于圆心O 1的速度V即有A V V V '=+［解］由于两圆环是相同的圆环，所以交点相对两环的速度大小相等。

即由V 、V ´和V A 构成的三角形为等腰三角形。

由几何关系可以得出：V A 与竖直方向的夹角 等于21AO O ∠。

cos 2dRθ= ①2sin A VV θ= ②由①②两式可以得出A V =3．如图所示，一串相同汽车以等速v 沿宽度为c 的直线公路行驶，每车宽均为b ，头尾间距均为a ，则人能以最小速率沿一直线穿过马路所用时间为 。

t=νab )b +a (c 224．半径为R 的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速度v 1，v 2反向运动，圆柱与板无相对滑动。

问圆柱于速度为v 1的接触点A 的加速度是多少？二．力与运动 （一）物体的平衡1.如图所示，一长L 、质量均匀为M 的链条套在一表面光滑、顶角为a 的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少?2．半径为R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈的劲度系数为k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图所示，若平衡时弹性绳圈长为R π2，求弹性绳圈的劲度系数k解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象，进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙.先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m 所对的圆心角是△θ，则每一小段的质量 M m πθ2∆=∆ △m 在该平面上受拉力F 的作用，合力为 2sin 2)2cos(2θθπ∆=∆-=F F T因为当θ很小时，θθ≈sin 所以θθ∆=∆=F F T 22 再看正视图3—5—乙，△m 受重力△mg ，支持力N ， 二力的合力与T 平衡.即 θtan ⋅∆=mg T 现在弹性绳圈的半径为 R R r 2222==ππ 所以 ︒===4522sin θθR r 1tan =θ 因此T=Mg mg πθ2∆=∆ ①、②联立，θπθ∆=∆F Mg 2， 解得弹性绳圈的张力为： π2MgF =设弹性绳圈的伸长量为x 则 R R R x πππ)12(2-=-=所以绳圈的劲度系数为：RMgR Mg x F k 222)12()12(2ππ+=-==3．如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。

将C 柱体放上去之前，A 、B 两柱体接触，但无挤压。

假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ。

若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A 、B 、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。

设每个圆柱的重力均为G ，首先隔离C 球，受力分析如 图1一7所示，由∑Fc y ＝0可得111)2f G += ① 再隔留A 球，受力分析如图1一8所示，由∑F Ay =0得112102N f N G +-+= ② 由∑F Ax =0得2111022f N N +-= ③ 由∑E A ＝0得12f R f R = ④ 由以上四式可得1222f f ===112N G =，232N G =而202f N μ≤，11f N μ≤023μ≥，2μ≥（备用）．如图所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：θθθθT G T T +∆=∆+cos θρθθcos cos Lg G T ∆=∆=∆由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和， 即 ∑∑∑∆=∆=∆=θρθρθcos cos L g Lg T T观察 θcos L ∆的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小，所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ， 所以∑=∆R L θco s 可得铁链A端受的拉力∑=∆=gR L g T ρθρcos（二）力与运动1．质量为M 的光滑圆形滑块平放在桌面上，一细绳跨过此滑块后，两端各挂一个物体，质量分别为m1和m2，绳子跨过桌边竖直向下，所有摩擦均不计，求滑块加速度。

2．如图所示装置中已知m 1,m 2,m 3且m 3向上运动，一切阻力忽略．滑轮质量不计．求m 3的加速度．[解]设m 3向上的加速度为a 3,则滑轮P 的加速度为a 3方向向上;滑轮Q 的加速度为2a 3,方向向下.设m 1相对滑轮Q 的加速度为a 1, m 2相对滑轮Q 的加速度为a 2, 由于Q 有加速度,所以当以Q 为参照系对m 1,m 2受力分析时,需加惯性力.设图中所示的绳中的张力为T ,分别对m 1,m 2,m 3列方程(注意,由于滑轮质量不计,所以与m 1,m 2相连细绳的张力为2T ) 333322232211311112:2:22:22m T m g m a T m m g m a m a T m m a m g m aa a -=⎧⎪⎪--=⎪⎨⎪+-=⎪⎪=⎩解得:1223133122313816m m m m m m a m m m m m m --=++3．质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.解析：因为向心力F=mr ω2，当ω一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω，r 应取最大值.如图3—6所示，在圆环上取一小段△L ，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为M m πθ2∆=∆，受圆环对它的张 力为T ，则同上例分析可得 22sin 2ωθmr T ∆=∆ 因为△θ很小，所以22sin θθ∆≈∆，即 2222ωπθθMr T ∆=∆⋅ 解得最大角速度 MrT πω2=三．曲线运动与天体运行1．如图中，是一带有竖直立柱的木块，总质量为M ，位于水平地面上，B 是一质量为m 的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端，现拉动小球使绳伸直并处于水平位置，然后让小球从静止状态下摆，如在小球与立柱发生碰撞前，木块A 始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？（设A 不会发生转动）解：设当小球摆至与水平方向的夹角为θ时小球的速度为υ，则21s i n 2mg l m θυ= 此时小球受到绳的拉力为T ，由于小球做圆周运动，有2sin m T mgl lυθ-=对于木块，设地面对木块的支持力为N ，摩擦力为f ，故有sin 0T Mg N θ+-= cos 0T f θ-=设地面的静摩擦因数为μ，则有：f N μ≤联立以上各式解得：223sin cos 2sin cos 3sin 2sin m m M a θθθθμθθ⋅⋅≥=++ 式中已令23M a m =，又令22sin cos ()2sin F a θθθθ⋅=+于是()F μθ≥，即关于θ的函数，现要求不论θ取何值，不块均不发生移动，这就要求静摩擦因数μ的最小值min μ等于F （θ）的最大值max ()F θ，而max ()F θ可通过下述方法 求得：222222sin cos 2sin cos 2()(cos sin )2sin cos (2)sin (2)tan tan F a a a a a θθθθθθθθθθθθ⋅⋅===++++++22=+=tan θ=F （θ）有最大值，其值为max ()F θ==因此min μ=2．某行星围绕太阳C 沿圆弧轨道运行，它的近日点A 离太阳的距离为a ，行星经过近日点A 时的速度为A v ，行星的远日点B 离开太阳的距离为b ，如图所示，求它经过远日点B 时的速度B v 的大小. 解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解.也可根据开普勒第二定律，用微元法求解.设行星在近日点A 时又向前运动了极短的时间△t ，由于时间极短可以认为行星在△t 时间内做匀速圆周运动，线速度为A v ，半径为a ，可以得到行星在△t 时间内扫过的面积 a t v S A a ⋅∆=21同理，设行星在经过远日点B 时也运动了相同的极短时间△t ，则也有 b t v S B b ⋅∆=21由开普勒第二定律可知：S a =S b 即得 A B v bav =此题也可用对称法求解. 3．宇宙飞船绕一行星做匀速圆周运动，轨道半径为R ，速率为v 船长想把圆形轨道改为过B 点的椭圆轨道，B 点距行星中心为3R ，如图所示． (1)若飞船在A 点由圆形轨道改为椭圆轨道，它的速率应增加多少? (2)飞船由A 到B 的时间是多少?(3)飞船由A 到C ,由C 到B 各需多长时间?[解](1)飞船在圆形轨道上时：22Mm v G m R R =得出：v = 变为椭圆轨道后，设在A 点速度为v 1,在B 点速度为v 2满足：1222121132211223v R v R Mm Mm mv G mv G R R ⎧=⋅⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩可以求得：1v ==速度应增加(1)2v v ∆=-(2)变为椭圆轨道后,其周期等于半径为2R 的圆形轨道的周期(半长轴相等,周期相等)则有:222424Mm G m R R T π=⋅得出T =① 在原圆形轨道时,22204Mm G m R R T π=022R T v π==② 从A 到B的时间2T t ==(3)时间之比等于飞船扫过的面积之比。