泉港一中2015年高中自主招生考试数学试卷2014.5.10（总分：120分）（请将答案或解答填到答题卷上）一、填空题（本大题共10小题；每小题5分，共50分） 1. 18932+--=x x x y 自变量x 的取值范围是 .2. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，⊙A 与x 轴 交于B （2，0）、C （8，0）两点，与y 轴相切于点D ，则点A 的坐标 是 .3.若方程ax 2-3x+2=0有唯一实数解，则a 的值为______________.4. 已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y =k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为________.5. 已知：1232=++c b a ，且bc ac ab c b a ++=++222则=++32c b a . 6. 如图，在∆ABC 中，∠C=90︒，D 、E 分别是BC 上的两个三等分点，以D 为圆心的圆过点E ，且交AB 于点F ，此时CF 恰好与 ⊙D 相切于点F. 如果AC=245，那么⊙D 的半径= .7. 在四边形ABCD 中对角线AC 、BD 交于点O ，则在①AO=CO ；②BO=DO ；③AB =CD ；④AB ∥CD ；从中任选两个结论作条件，恰好能组成一个平行四边形的概率是________.8. 关于x 的不等式组，1532223x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是________.9.如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为3a ，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为4a ，…，依此类推,由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为n a （n ≥3）.则5a 的值是 ,当3451111na a a a +++⋅⋅⋅+的结果是9973000时，n 的值 .（1） （2） （3） （4） ……10.函数x x y -+-=63的最大值是 .二、解答题（本大题共6小题；共70分） 11.（本题满分10分）先化简，再求值：x x x x x 12122-÷+-，其中x 是不等式组⎩⎨⎧<+>+15204x x 的整数解12.（本题满分10分）关于三角函数有如下的公式：③②①⋯⋯≠∙-∙-+=+⋯⋯-=+⋯⋯+=+)0tan tan 1(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(βαβαβαβαβαβαβαβαβαβα利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：)32(2324)31)(31()31)(31(313160tan 45tan 160tan 45tan )6045tan(105tan +-=-+=+-++=-+=︒⋅︒-︒+︒=︒+︒=︒根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图12所示,直升机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α为︒60，底端C 点的俯角β为︒75，此时直长机与建筑物CD 的水平距离BC 为42米，求建筑物CD 的高。
13.（本题满分10分）某单位于“五一”期间组织职工到龙岩漳平“九鹏溪”观光旅游．下面是领队与旅行社导游收费标准的一段对话：领队：组团去“九鹏溪”旅游每人收费是多少？导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元． 领队：超过25人怎样优惠呢？导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团浏览“九鹏溪”结束后，共支付给旅行社2700元。
请你根据上述信息，求该单位这次到“九鹏溪”观光旅游的共有多少人？14.（本题满分12分）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A 、与大圆相交于点B．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB ．（1）试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC 、AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（3）若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）15.（本题满分14分） 已知函数1)1(2++-=x a ax y（1）当2=a 时，确定x 取什么值时，①0=y ②0>y （2）解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax16.（本题满分14分） 阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数)0(111≠+=k b x k y 的图象为直线1l ，一次函数)0(222≠+=k b x k y 的图象为直线2l ，若21k k =，且21b b ≠，我们就称直线1l 与直线2l 互相平行.已知一次函数x y 2-=的图象为直线1l ，过点)4,1(P 且与已知直线1l 平行的直线为2l 。
解答下面的问题： （1）求2l 的函数表达式；（2）设直线2l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，过坐标原点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，求1l 和2l 两平行线之间的距离 ；（3）若Q 为OA 上一动点，求QP+QB 的最小值，并求取得最小值时Q 点的坐标。
（4）在x 轴上找一点M ，使△BMP 为等腰三角形，求M 的坐标。
（直接写出答案）泉港一中2015年高中自主招生考试数学参考答案及评分标准2015.5.9一、填空题（本大题共10小题；每小题5分，共50分） 1．63≠>x x 且 2．（5，4） 3．0或894．3 5． 146．538 7．32 8．3145-≤<-a 9．30，99910二、解答题（本大题共6小题；共70分） 11. （本题满分10分）解：原式211)2()1)(1(12122++=-⋅+-+=-÷+-=x x x x x x x x x x xx x ………………………………4分 又⎩⎨⎧⋯⋯<+⋯⋯>+②①15204x x由①解得：4->x ，由②解得：2-<x ………………………………6分 ∴不等式组的解得为24-<<-x ，其整数解为3- ………………………………8分 得3-=x 时 原式22313=+-+-= ……………………………10分12．（本题满分10分）解： 解析：过点D 作AB DE ⊥于E ，依题意，在ADE Rt ∆中，︒=∠=∠60αADE ，34260tan 60tan =︒⋅=︒⋅=BC ED AE ………… 2分在︒⋅=︒=∠=∠∆75tan ,75,BC AB ACB ACB Rt β中………… 4分,32333330tan 45tan 130tan 45tan )3045tan(75tan +=-+=︒⨯︒-︒+︒=︒+︒=︒…………6分,34284)32(42+=+⨯=∴AB ………… 8分8434234284=-+=-==AE AB BE CD (米)。
答：建筑物CD 的高为84米。
………… 10分 13．（本题满分10分）解：（1）BC 所在直线与小圆相切，理由如下：过圆心O 作OE BC ⊥，垂足为E ， AC 是小圆的切线，AB 经过圆心O ，OA AC ∴⊥，又CO 平分ACB OE BC ∠⊥，．OE OA ∴=．BC ∴所在直线是小圆的切线．………………………4分 （2）BC AC AD ∴=+ 理由如下：连接OD ．AC 切小圆O 于点A ，BC 切小圆O 于点E ， CE CA ∴=．在Rt OAD △与Rt OEB △中，90OA OE OD OB OAD OEB ==∠=∠=，，， Rt Rt OAD OEB ∴△≌△（HL ） EB AD ∴=．BC CE EB =+，BC AC AD ∴=+．…………………………………8分 （3）90BAC ∠=，8106AB BC AC ==∴=，，． BC AC AD =+，4AD BC AC ∴=-=．圆环的面积2222πππ()S OD OA OD OA =-=-又222OD OA AD -=， 2216.4cm s ππ== (12)15．（本题满分14分）解：（1）当2=a 时，得1322+-=x x y①当0=y 时，01322=+-x x 解得211=x ，12=x …………………………2分 ②当013202>+->x x y 时， 解得21<x ，或1>x …………………………4分（2）原不等式可化为0)1)(1(<--x ax当0<a 时，不等式的解为1,1><x ax 或…………………………6分 当0=a 时，不等式的解为1>x …………………………8分当10<<a 时，不等式的解为ax 11<< …………………………10分 当1=a 时，不等式无解 …………………………12分 当1>a 时，不等式的解为11<<x a…………………………14分 16．（本小题满分14分）解：解：（1）∵1l ∥2l ， ∴ 设直线2l 的解析式 为b x y +=2，………………1分 把点)4,1(p 代入得，6,24=+-=b b ∴ 62+-=x y ……………………2分（2）直线2l 与y 轴、x 轴的交点A 、B 的坐标，分别为)0,3(),6,0( 所以O A=6，OB=3，则53=AB ，…………………3分 因为OA×OB=AB×OC， 所以=OC 556…………………6分 （3）∵B 关于y 轴的对称点)0,3('-B ，连结P B '交y 轴于Q ， ∴QP+QB 的最小值为24，………………8分∵直线P B '的解析式为3+=x y ，∴Q （0，3）………………10分（4）M （-1,0）或M （-2,0）或)0,523(+M 或)0,523(-M ………………14分。