专题03 因式分解
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法
(1)提公因式法：)(c b a ac ab +=+
(2)运用公式法：))((2
2b a b a b a -+=-
222)(2b a b ab a +=++
222)(2b a b ab a -=+-
(3)分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++
(4)十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++
3、因式分解的一般步骤：
(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

【例1】(2019•金山区二模)因式分解：32a a += ．
【分析】运用提公因式法分解因式即可，提公因式法基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．
【解答】解：322(2)a a a a +=+，
故答案为2(2)a a +．
【例2】(2018•静安区二模)分解因式2()4x y xy -+= ．
【分析】根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：222()424x y xy x xy y xy -+=-++，
222x xy y =++，
2()x y =+．
故答案为：2()x y +．
【例3】(2018•黄浦区二模)因式分解：212x x --= ．
【分析】根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．
【解答】解：212(4)(3)x x x x --=-+．
1．(2018秋•浦东新区期末)下列关于x 的二次三项式中(m 表示实数)，在实数范围内一定能分解因式的是( )
A ．222x x -+
B ．221x mx -+
C ．22x x m -+
D ．21x mx --
【分析】对每个选项，令其值为0，得到一元二次方程，计算判别式的值，即可判断实数范围内一定能分解因式的二次三项式．
【解答】解：选项A ，2220x x -+=，△44240=-⨯=-<，方程没有实数根，即222x x -+在数范围内
不能分解因式；
选项B ，2210x mx -+=，△28m =-的值有可能小于0，即221x mx -+在数范围内不一定能分解因式； 选项C ，220x x m -+=，△44m =-的值有可能小于0，即22x x m -+在数范围内不一定能分解因式； 选项D ，210x mx --=，△240m =+>，方程有两个不相等的实数根，即21x mx --在数范围内一定能分解因式．
故选：D ．
2．(2018秋•静安区期末)下列各式从左到右的变形，是因式分解且分解结果正确的为( )
A ．22(2)(1)63a a a +--=+
B ．22111()442x x x ++=+
C ．26(3)(2)x x x x --=-+
D ．42216(4)(4)x x x -=+-
【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案．
【解答】解：A 、22(2)(1)(21)(21)a a a a a a +--=++-+-+
3(23)a =+，故此选项错误；
B 、21144
x x ++，无法运算完全平方公式分解因式，故此选项错误； C 、26(3)(2)x x x x --=-+，正确；
D 、422216(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x -=+-=+-+，故此选项错误．
故选：C ．
3．(2018秋•闵行区期末)数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是2216x mx ++能在有理数的范围内因式分解，则整数m 的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m 的值有几个？( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
【分析】根据把16分解成两个因数的积，2m 等于这两个因数的和，分别分析得出即可．
【解答】解：4416⨯=Q ，(4)(4)16-⨯-=，2816⨯=，(2)(8)16-⨯-=，11616⨯=，(1)(16)16-⨯-=， 442m ∴+=，4(4)2m -+-=，282m +=，282m --=，1162m +=，1162m --=， 分别解得：4m =，4-，5，5-，8.5(不合题意)，8.5-(不合题意)；
∴整数m 的值有4个，
故选：A ．
4．(2019春•长安区期末)下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A ．21234a b a ab =g
B ．2(3)(3)9x x x +-=-
C ．()ax ay a x y -=-
D ．24814(2)1x x x x +-=+-
【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
【解答】解：A 、不多项式变形，因而不是因式分解，错误；
B 、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
C 、是提公因式法，正确；
D 、右边不是积的形式，错误；
故选：C ．
5．多项式22221x y y x --+因式分解的结果是( )
A ．22(1)(1)x y ++
B ．2(1)(1)(1)x x y -++
C ．2(1)(1)(1)x y y ++-
D ．(1)(1)(1)(1)x x y y +-+-
【分析】直接将前两项提取公因式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：22221x y y x --+
222(1)(1)y x x =---
2(1)(1)(1)y x x =--+
(1)(1)(1)(1)y y x x =-+-+．
故选：D ．
6．(2019•静安区二模)如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能分解因式，那么m 的取值范围是 ．
【分析】关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程240x x m -+=无实数根，由此可解．
【解答】关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程240x x m -+=无实数根，
∴△2(4)41640m m =--=-<，
4m ∴>．
故答案为：4m >．
7．(2019•浦东新区二模)分解因式：2224a ab b -+-= ．
【分析】首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：2224a ab b -+-
2()4a b =--
(2)(2)a b a b =-+--．
故答案为：(2)(2)a b a b -+--．
8．(2019•闵行区二模)分解因式：29x x -= ．
【分析】首先确定多项式中的两项中的公因式为x ，然后提取公因式即可．
【解答】解：原式9(9)x x x x x =-=-g g ，
故答案为：(9)x x -．
9．(2019•徐汇区二模)在实数范围内分解因式34x x -的结果为 ．
【分析】首先提取公因式，然后利用平方差公式即可分解．
【解答】解：324(4)(2)(2)x x x x x x x -=-=+-．
故答案为：(2)(2)x x x +-．
10．(2018•宝山区二模)因式分解：24x x -= ．
【分析】直接提取公因式x ，进而分解因式得出即可．
【解答】解：24(4)x x x x -=-．
故答案为：(4)x x -．
11．(2018•闵行区二模)在实数范围内分解因式：243a -= ．
【分析】符合平方差公式的特点，可以直接分解．平方差公式22()()a b a b a b -=+-．
【解答】解：243(2(2a a a -=-．
故答案为：(2(2a a +．
12．(2018•杨浦区三模)()()a a b b a b +-+= ．
【分析】先确定公因式为()a b +，然后提取公因式后整理即可．
【解答】解：()()()()a a b b a b a b a b +-+=+-．
13．(2018秋•嘉定区期末)因式分解：ax ay bx by +++= ．
【分析】原式两项两项结合，分解即可得到结果．
【解答】解：原式()()()()a x y b x y a b x y =+++=++，
故答案为：()()a b x y ++
14．(2018秋•静安区期末)分解因式：32a a a -+= ．
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：原式2(1)a a a =-+， 故答案为：2(1)a a a -+。