专题十经典模型模型53 “胡不归”模型模型故事从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.当他赶到家时,老人刚刚咽气.邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不?.…”而如果先沿着驿道AC走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家?在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带?虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢?模型展现基础模型怎么用?1．找模型直线上一定点A ,一动点P，B为直线外一点,求kAP+BP的最小值2.用模型构造直角三角形,利用三角函数将含系数的线段进行转换,再根据垂线段最短化折为直,从而得到线段和最小值,最后运用锐角三角函数求解即可 模型分析如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解，该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下: 一找:找带有系数k 的线段kAP ;二构:在点B 异侧,构造以线段AP 为斜边的直角三角形; ①以定点A 为顶点作①CAP ,使得sin ①P AC =h ; ①过动点P 作垂线构造Rt ①P AC ; 三转化:化折为直,将kAP 转化为PC ;四求解:使得hAP +BP =PC +BP ,利用“垂线段最短”转化为求BD 的长度.拓展延伸熟记特殊角的锐角三角函数值，kAP +BP 中系数k 发生变化时,所构造的直角三角形也会发生变化,同学们需要牢记特殊角度的正弦值：01sin 30 =2，0sin 60，0sin 45 =2，03sin 375，04sin 53 5例1如图， 在①ABC 中，AC =6，①A =30°，点D 是AB 边上一动点，（点拨：两定点A 、C ，动点D ，含特殊角30°）则12AD CD 的最小值为_________（点拨：线段数量关系的最小值,考虑“胡不归”）考什么?直角三角形的性质,30°,60°角的锐角三角函数值,垂线段最短.思路点拨哪条线段带有系数,就以它为斜边构造直角三角形,使得其中一锐角的正弦值恰好与系数相等.例2如图, 在平行四边形ABCD中,①DAB=45°，（点拨：特殊角）AB=6，BC=2，P为CD边上的一动点，则22PB PD（点拨：线段数量关系出现，且0＜k＜1，模型出现）的最小值为_____________考什么?平行四边形的性质,直角三角形的性质,45°角的锐角三角函数值,垂线段最短。

实战实演1、如图,在OABC中,AB=AC=8,tan4=/3 ,BELAC于点E,点D是线段BE上的一个动点，则12CD BD的最小值是（）A. 4B.C.243D. 82、如图,在等腰Rt①ABC中，①BAC=90°，BC=10，AD①BC于点D，点M是AD上一点，则3BM AM的最小值为__________53、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-1，0，B(3，0)，与y轴交于点C(0，-3) ，D为抛物线的顶点.(1)抛物线的解析式为_____________，顶点D的坐标为________________;(2)点M为y轴上的一个动点,连接AM,AM的最小值。

模型54 “阿氏圆”模型模型故事阿氏圆(阿波罗尼斯圆)阿波罗尼斯( Apollonius，约公元前262-190年)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名。

他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。

如图，已知平面上两定点A、B，则所有满足PAk PB（k>0且k≠1）的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

模型展现基础模型：怎么用?1.找模型平面上两点A，B，点P在圆上，求“kAP+BP"的最小值或“AP-kBP"的最大值，即考虑“阿氏圆”模型2.用模型截取线段构造一组相似三角形，利用线段比例关系转化线段，再根据线段最短问题求最值。

模型分析：如图，点P 是半径为r 的①0上一动点，点A ，B 为圆外的定点，且r =k ·0A （0<k <1），如何确定点P 的位置，使得kAP +BP 的值最小。

一找：找带有系数的线段AP ; 二构：在线段OA 上取一点C ,构造ΔPCO~ΔAPO ;①在线段OA 上截取OC ,使得OC=k·r ; ①连接PC,OP ,证明ΔPCO~ΔAPO ;三转化：通过相似三角形的对应边成比例，将kAP 转化为PC ;四求解：使得kAP+BP=PC+BP ,连接BC ,利用“两点之间线段最短”转化为求BC 的长. 【满分技法】阿氏圆模型，初中阶段不要求证明，但需要掌握的是，学会运用构造相似三角形的方法，确定P 点的位置，求形如“kAP+BP ”线段长度的最值，不仅在选填中考查，而且在几何、面数综合题中也考查，因此提炼模型特点，掌握应对方法很重要. 模型拓展思考“胡不归”“阿氏圆”之间的关系：【满分技法】若遇到形如k ,PB +k ,P A 的问法，只需将其中一个系数化为1.就化为标准模型了，对于“阿氏圆”例外，“阿氏圆”模型是利用构造“子母”相似三角形来解题，只要符合相似比即可.典例小试例1 如图，已知①AOB =90°,OB =4,OA =6.①O 的半径为2，（圆外两点） P 为圆上一动点.（圆上一点）(1)BP AP 21+的最小值为(2)BP AP +31的最小值为 .考什么？相似三角形的判定与性质，勾股定理 思路点拨该题两问均为AP 与BP 数量关系的最值，但解题的关键要看系数k 所在的线段，再依据模型方法解题.例2 如图，在RtΔABC 中，①ACB =90°,AC =4,BC =3,D 为①ABC 内一动点，满足CD =2，（点D在以点C 为圆心，CD 长为半径的圆上）那么 BD AD 32+的最小值 .考什么？定点定长构造隐形图，相似三角形的判定及性质，勾股定理求线段长，两点之间线段最短. 思路点拨有时候题干中不会直接出观圆，而需要根据题目中所给的条件判断并画出隐形国，再解题，因此最重要的还是提炼模型特点！（隐形图问题见模型42-46)实战实演1.如图，在矩形ABCD 中，BC =7,AB =9,P 为矩形内部一点，分别连接AP ,BP ,CP ,且PB =3,延长CP 交AB 于点F ,若BF ＝1.则PC AP +31的值为 .2.如图，已知正方形ABCD 的边长为9,①B 的半径为6,点P 是①B 上的一个动点，那么PC PD 32+的最小值为 ,PC PD 32-的最大值为 .3.如图，已知抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0)过A,B 两点，OA =1,OB =5,抛物线与y 轴交于点C ,点C 的纵坐标与点B 的横坐标相同，抛物线的顶点为D .（1)抛物线的解析式为 ，顶点D 的坐标为 ； （2)如图，已知①A 的半径为2,点M 是圆A 上一动点，连接CM,MB ,则BM CM +1326是否存在最小值？若存在，说明在何处取得最小值；若不存在，请说明理由.模型55 费马点模型模型故事费马点皮耶∙德∙费马,17世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”“费马大定理”等.今天的问题不是费马提出来的,而是他解决的,故而叫费马点模型展现怎么用?1. 找模型.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点(也叫托里拆利点)2.用模型.运用旋转法,以三角形任意一条边向外旋转构造等边三角形,根据两点之间线段最短,得出费马点位置)结论分析结论1:当①ABC的最大内角小于120°时,P点满足△APB=△BPC=△APC= 120°证明:如图①,将①CBP绕点C逆时针旋转60°得到①CFE,连接PE,BF,①△CBP△△CFE,PB=EF, CP= CE, CB=CF.又①△PCE=△BCF=60°,①△BCF, △CEP均为等边三角形,① PC=CE=PE,P A+PB+PC=P A+EF+PE≥AF,①当A,P,E,F四点共线时,P A+PB+PC的值最小，最小值为AF的长.此时△APC= 180°-△CPE= 180°-60°= 120°，△BPC=△FEC= 180°-△CEP= 180°-60°= 120°,△APB=360°-(△APC+△BPC)= 120° ,①△APB=△BPC=△APC= 120°.结论2:当①ABC有一个内角不小于120°时,点P与最大角顶点重合证明:在①ABC中，令①ACB≥120°,在△ABC内取一点P,连接P A ,PB ,PC ,将△BPC绕点C逆时针旋转至△FEC,使得F,C,A三点共线.①△EFC△△PBC, .△△ECF=△BCP,△△ECP= 180°-△ECF-△PCA= 180°-△BCP-△PCA= 180°-△ACB≤60°，在三角形中,由于小角对小边，①EP≤PC,△PB+PC+P A≥EF+EP+P A≥F A.①当P点与C点重合时,PB+PC+P A的值最小，即C点为费马点.满分技法证明过程是把三角形内一点到三个顶点的距离之和转化为一条折线,且折线的最远端两个端点是固定的,因此只有折线成为直线段时距离之和最小.巧学巧记口诀记忆:向外作等边三角形,连线即可.如图,以△ABC的三边为边向外构造等边△BCD，△ACE,△ABF,连接AD, BE, CF,则:①AD,BE,CF交于点P,即为费马点;①P A+PB+PC=AD=BE= CF.典例小试例1如图,在△ABC中，△ACB=30°（注：含30°特殊角,可考虑绕点C旋转构造等边三角形）, BC=6,AC=5,P为三角形内一点，则P A+PB+PC的最小值为______本题考什么?旋转的性质,等边三角形的判定与性质,直角三角形的判定与性质.思路点拨在证明费马点结论时,绕任意顶点旋转均可求证,但在解题时,要结合具体题干特点,选择“有用”的顶点旋转构造.例2.如图，△ABC为等边三角形,P是△ABC内一点,P A=3,PB=4,PC=5(注：常见直角三角形的三边长3.4,5,考虑将其通过旋转转化在一个三角形中),则△APB的度数为___________.本题考什么?旋转与等边三角形的性质,勾股定理逆定理思路点拨通过旋转,将所求角度转化为其他角度,把P A ,PB ,PC 放在一个三角形中,根据三角形的特殊性解题. (当题中存在常见的直角三角形三边关系或其倍数关系时,考虑旋转、平移或构造等线段转化)实战实演1.如图,在Rt ①ABC 中，①ACB = 90°,AC =9,BC P 为①ABC 内一点,则P A +PB +PC 的最小值为___________.2.在锐角△ABC 中,AC=7,△ACB= 75°,P 为△ABC 内任意一点,当P A+PB+PC 的最小值为17时,BC 的长为____________.3.如图,有一个正方形的花圃ABCD ,园林设计的工人要在花圃内部找一出水口P ,并向AD 边和B 、C 两点装水管,使得点P 到AD 的距离和点P 到B 、C 两点的距离之和最小，已知花圃的边长6AB =米,水管的单价为10元/米,求购买水管最少需要多少钱?(结果保留整数,1.73≈)4．如图,ABC 为等边三角形, D 为ABC 内部一点, 3, 6.AD BD CD ===(1)求,ADB ADC ∠∠与BDC ∠的度数; (2)求ABC 的面积.模型56 主从联动模型模型故事主从联动“主从联动模型”也叫“瓜豆模型”,出自成语“种瓜得瓜,种豆得豆”.这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动,我们把它们分别叫做从动点和主动点,从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”圆得圆,“种”线得线(而当主动点轨迹是其他图形时,从动点轨迹必然也是)．解决这一类问题通常用到旋转和相似.模型展现基础模型怎么用?1.找模型“双动点、一个随着另一个动”,即考虑“主从联动模型”2.用模型找主动点的运动轨迹并确定主动点的起始点,根据主动点的起始点确定从动点的起始点及运动轨迹,再根据动点所在的规则图形进行计算O 上运动0PAQ ∠=点轨迹是一个圆，且A ，O 的一半满分技法当主动点、从动点到定点的距离相等时,从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长;当主动点、从动点到定点的距离不相等时，=从动点运动路径从动点到定点距离主动点运动路径主动点到定点距离.巧学巧记当=AP AQ 时,主动点路径和从动点路径的大小相等、形状相同,即两个全等的图形. 模型分析以圆轨迹的主从联动为例,求从动点的方法如下: 第一步:确定主动点P ,从动点Q ; 第二步:确定主动点P 的轨迹(O ); 第三步:确定PAQ ∠的大小及AQAP的值; 第四步:确定点M 的位置及AM 的长:令MAO PAQ ∠=∠，AM QM AQAO PO AP==，求出AM 和QM ； 第五步:确定从动点Q 的轨迹( M )的圆心和半径QM .满分技法主从联动问题变换前后的图形形状不变,但大小可能发生变化,其解题方法就是构造旋转、位似图形,本质就是对图形中的每个点进行旋转变化和位似变化.典例小试例1.(2021宜宾)如图, O0的直径AB=4,P为O0上的动点,（点P为主动点）连接AP,Q为AP的中点(点Q为从动点),若点P在圆上运动一周（主动点P的轨迹为圆）,则点Q经过的路径长是.考什么？垂径定理,圆的有关概念及性质,圆弧的计算,主从联动问题(当轨迹为圆时)例2.如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边 EFG（点F为主动点，G为从动点）,连接CG,则CG的最小值（L根据F点判断G点轨迹）为.考什么?正方形的性质,等边三角形的性质,主从联动问题(当轨迹为直线时)思路点拨确定主动点的轨迹,作出辅助线,再结合点到直线垂线段最短即可解题.实战实演1．如图,在①ABC中, BC=6,点P在线段BC上移动,点Q为AP上靠近点A的三等分点,当点P由点B移动到点C时，点Q的运动轨迹长为.2.如图,在平面直角坐标系中,A( 9,0),B( 0,5),点C是线段0A上任意一点(不与0点重合),连接BC,作等腰Rt①BCD且①BCD=90°,连接AD,则AD的最小值为.3.如图,点D在半圆O上,AD= OA=5,点C在BD上移动,连接AC,过点D作DH⊥AC,垂足为H,点E为AD的中点,连接EH,当点C由D点运动到B点时,EH扫过的面积为.4.如图,在正方形ABCD中,AB=5,以BC为直径向外作半圆, 点E为半圆上的动点,连接DE,取DE的中点F,连接CF,则CF的最小值为.5.如图,直线y x=-+与坐标轴交于A,B两点,点C为坐标平面内一点,BC=2,点D为线段AC的中点,连接OD,当OD的长度最小时,点C的坐标为.模型57 “12345”模型模型故事为什么叫“12345”模型何为“1,2,3”?如图,“tanα=13, tanβ=12”.何为“4,5”?如图,当满足tanα=13,tanβ=12时,“45αβ+=︒”.对于这里的数据,为了便于记忆,通常称为“12345”模型.模型展现基础模型在如图所示的大小相同的小正方形方格内怎么用? 1．找模型在网格、四边形、坐标系等中涉及几何问题时,隐含特殊的正切值“1”“2”“3”“12” “13” “34”“43”2.用模型运用特殊的正切值及“12345”模型及延伸模型的特殊结论,将45°, 90°,135°这几个特殊角度联系起来，简化此类选择题及填空题的运算,中考此类题目多以选择题及填空题的形式考查拓展延伸结论分析结论3:如图①,若tan①AEB=2, tan①FEC=12,则①AEB +①FEC= 90°证明:根据网格线计算可得,AE EF AF222AE EF AF+=∴①AEF为等腰直角三角形,∴①AEF=90°，∴①AEB+①FEC=90°. (结论1,2,4证明方法同结论3)拓展延伸关于45°角的几何问题在前面的半角模型、“一线三垂直”中也有提到,其中着重介绍了构造全等的解题方法,本模型中只是简单介绍一些角度的正切值与45°及其倍角的关系。