1原创物理竞赛模拟题第六套答案及评分标准满分160分 命题人 蔡子星第一题（20分） Andy Riley 画了《找死的兔子》，该书中的兔子精通各种物理原理，从而成功自杀。

其中一个自杀的方式如下图，采用一个轻质的跷跷板，长度为 1.000l m =，支点在中间，高0.200m ，兔子从一定高度 2.000h m =做自由落体运动，与跷跷板发生完全非弹性碰撞，之后落地时与地面发生完全非弹性碰撞，问兔子是否可能自杀成功？如果可能兔子与石头的质量比/m M 应当为多少？29.80/g m s =【解】：画出物理情景hvθωω02(2) 5.6/v g h h m s =-=（式中00.2h m =）（2分）2在支点看来角动量守恒 1cos 2lL mv θ= I ω=（5分）式中θ满足002sin 12h h l θ== I 表示质点看来的转动惯量21=(+)()2I M mcos 2cos 2I ()mvl mv M m l θθω==+ （其实拿质点写角动量是一样的）由能量守恒，2211'()2sin 22c I I M m gr ωωθ=++⋅ （5分）式中()=22()C ml l m M r l M m M m -=-++是质心到支点的距离 2202()'222h m M g l I ωω-=+由运动学关联'2lv ω=其中v 为抛射速度 由运动学知2sin cos 1cos sin 2v t l v t gt l θθθθ=⎧⎪⎨-=-⎪⎩（4分）得2cos ' 3.207/sin gl v m sθθ==（2分）' 6.415/rad s ω= ，记mk M= 由220244'()()h g M m l l M m l ωω=+-+ 222022216(1)4cos ()(1)h g k m v M m l k l θ-=+++ 220022242(2)cos 16(1)(1)(1)k g h h h g k k l k l θ--=+++1.402k =（2分）第二题（20分） Andy Riley 画了《找死的兔子》，该书中的人们精通各种物理原理，从而帮助兔子成功自杀。

巨石的质量为5110kg ⨯，巨石下有10根圆木，人们拉着巨石缓缓移动。

圆木的质量可以忽略，所有地方均不滑动。

由于压力巨大，圆木的直径被压扁了0.2%（假设地面没有形变），圆木滚动之后被3压扁的地方又恢复了原状。

假设圆木如图顺时针滚动的时候作用力集中在A 、B 两点。

重力加速度取9.8/g N kg =（1） 原始人至少需要多大的拉力才能将巨石拉动？ （2） 各处摩擦系数至少达到多少才能保证不滑动？【解】：由合外力等于0，重力可以忽略，两个作用点支持力、摩擦力各自等大。

由于力矩为0，所以两边支持力与摩擦力的合力过圆心。

（5分） 摩擦角至少为θ。

cos 10.2%θ=- 解得 3.6θ=︒（5分）得到4tan 6.210f mg N θ==⨯（5分）ABfNNfθ4摩擦角大于等于θ，所以tan 0.063μθ≥= （5分）第三题（20分）空间中有沿着z 轴的静磁场，磁场强度和到z 轴的距离成正比0()rB r B r =。

一个带电为q ，质量为m 的粒子，在x y -平面内绕着z 轴在洛仑兹里作用下做圆周运动，半径为0r 。

（1） 写出粒子速度大小0v 应当满足的式子（2） 粒子在做圆周运动的时候收到一个径向扰动，略微偏离了原来的轨道，求解粒子之后的运动。

【解】：（1）000r B qv m= （2分）（2）取极坐标,ρθ 考虑角动量的变化30()3r qB L M t qv B r t qB r r ρρρρρ∆=∆=⋅∆=∆=∆ 可见23003qB m r ρωρ-是常数 （6分）有扰动的时候，令0(1)r x ρ=+，00qB mω=得到223323000000000(1)(1)33qB B q qBmr x r x mr r r m r ω+-+=-小量近似有220011((1)(1)(1))(1)33x x x x ωωω--=+++-+≈-（2分）带入径向牛顿第二定律： 2()m q B ρρθρθ-=-（2分）得到202x x ω=- （等式两边消去m ，0r ）（4分）类比简谐振动得到：径向做频率为02ω的简谐振动（4分）（用能量守恒精确到2阶，同样给分）切向几乎保持原角速度转动（偏差为一阶小量）。

第四题（20分） 找一个理想的电容C ，直接接到一个内阻可以忽略的电压为U 的电池上，会迅速充电，很显然充5电完成的时候，电容器储存能量为212CU ，而电源做功为CU ，多出的能量，在没有电阻的情况下会以其它的方式耗散掉（例如电磁辐射等）。

如图所示电路中，电源电动势为ε，电阻为R ，电容为C 。

开始电容不带电。

开关闭合后，电容会迅速充电，然后再慢慢达到平衡。

（1） 计算从闭合开关到电荷分布稳定过程中，电阻上发热为多少？ （2） 画出电阻上通过的电量和电阻两端电压的图像，并计算当电阻上发热量累计达到最大发热量一半时，各电容器上电压为多少。

【解】：（1）迅速充电之后三个电容器上的电压均为3ε，电容器储能2013()23E C ε=⨯ 这时候电源通过电量03C Q ε=，电源做功2003C W Q εε==稳定之后三个电容器的电压均为ε，但中间的电容器正负极反向 电容器储能201'32E C ε=⨯这时候电源通过电量0'3Q C ε=，电源做功200''3W Q C εε==电阻发热200004'(')3W W E E C εΘ=---=（8分）（2）过一个电阻的电流为1()i t ，电量为1()Q t过中间的电容的电流为2()i t ，从迅速充电结束之后开始，流过的电量为2()Q t 这样中间电容器左极板比右极板电势高223Q U C ε=-（因为开始突然充上了电） 右方方电容器上极板比下极板电势高1213Q Q U C ε-=+ （2分）对上面的支路写基尔霍夫方程有：121i R U U +=对电源回路写基尔霍夫方程有：122i R U U +=（2分）两方程消去2Q 得到1i 2i 12i i -1i611233Q i R Cε=-得到一个线性函数，（5分）这个函数下方面积就是左边电阻上的发热。

可见当发热量达到总热量一半的时候，123i R ε= 由此可以计算出上下两个电容上的电压为2(1)3ε-，中间电容器电压为22(1)3ε- （3分）第五题（20分） 在那个很遥远的年代，在生活很美好的时候，有人出选择题：把一根均匀的筷子竖直插入圆柱形装水的烧杯中，从侧面观察烧杯，看到的应当是哪一幅图？经过若干次错误和面壁思考，我们的终于发现答案是D 。

现在的问题是，筷子到底变粗了多少倍？俯视图如下，筷子距离轴心/2R ，水折射率为 1.33n =，玻璃厚度不记，人从如图方向很远的地方观察。

1i R1Q 23ε2C ε7【解】：远处看需出射沿“↓”方向光线 如左图，由折射定律sin sin n i θ=（4分）令筷子到圆心的距离为h 另入射角为i ， 由正弦定理πsin sin()2h R i i θ=-+（4分）视线位置sin x R θ=（2分）整理的得到2222211x x x x xR n R R nR nh---⋅=对于/2h R =解得o 40.7976θ= （4分）o 29.3433i =令h h h →+∆ ，x x x →+∆带入上式，计算数值得到 1.23x h ∆=∆即放大率为1.23 （6分）第六题（22分） 月亮离地球越来越远了，以后看到的月亮就越来越小了。

其原因在于地球现在的自转角速度比月亮公转的角速度快，受到潮汐的影响，一部分地球自转的动能转化成了地月体系的平动动能和势能。

这个过程将不断进行，直到月球公转周期和地球自转周期相等，或者月亮飞离地球（月亮总是用一个面冲着地球）。

我们想关心的问题是月球的命运到底如何？月亮是否会飞离地球？如果不飞离地球，最后地球上的人看到的月亮所占的立体角是现在的多少倍？当前地球的自转周期为1天，月亮公转周期为27.32天，月亮半径为31.73810m ⨯，月球质量为视线方向Ri θx2R h =2R h =8227.35010kg ⨯，当前地月距离为83.8410m ⨯，地球质量为245.9810kg ⨯，地球半径为66.3710m ⨯。

将地球和月亮均视为均匀球体，球体绕过球心的轴定轴转动的转动惯量为225I mr =，其中m 为质量，r球的半径，刚体定轴转动的角动量为L I ω=。

【解】：基本假设是，质心不受外力，两星球的质心角动量在系统质心和守恒初态地球自转角速度21e πω=天，月球自转和公转的角速度为02=27.32πω天，初态地月距离80 3.8410r m =⨯写两体问题的牛顿第二定律有：20020()e m G M M r r ω+=（2分） （用e M ，m M 表示地球和月球质量，用其他方式写出等效方程同样给分） 地球和月亮绕着其质心转动的角动量为222000000()()m e e me m m e m e e m M M M M M r M r r M M M M M M ωωω+=+++ （4分）末态地球和月球达到共同的公转和自转角速度'ω 20020()'''e m G M M r r ω+=初态角动量2220002255m e e e e m m m eM M L M r M r r M M ωωω=+++1222330022[()]55m e e e e m m e m m eM M M r M r G M M M M ωωω-=++++（4分）等于末态角动量22222''''55m e e e m m m eM M L M r M r r M M ωωω=+++12223322'''[()]55m ee e m m e m m eM M M r M r G M M M M ωωω-=++++（4分）带入数值，解得：2'52.46πω=天，230052.46'() 1.54527.32r r r =⨯=（4分）可见月亮所占的立体角变为（视角的平方）920()0.41'e er r r r -=- （2分）第七题（20分）如图一个轻质绝热的可以自由滑动的活塞，下方封有体积为0V 的水蒸气（初始状态没有液态水），大气压为01P atm =，水蒸气的温度为100.98T T =，其中0T 为0P 压强下水的沸点，0373.15T K =。