自由振动系统：保守系 ⇒ 即
E = T +U = Nhomakorabea能量守恒
1 2 1 2 1 & mx + kx = mω 2 A 2 = C 2 2 2
方程解的复数形式(指数形式)： 令 X (t ) = ceiω t (c = Aeiϕ ) ，则：x (t ) = Re X (t ) 问题：什么条件下用复数运算？ 数学上： 1．对指数因子进行运算比对三角函数因子进行运算
& & x + iωx x X = = x−i iω ω
令
⇒
& X − iω X = F (t ) iω m
——关于X的一阶微分方程
由F(t)=0得到与上式对应的齐次方程：
& X − iω X = 0
⇒
X = ceiω t
t
再通过变易系数法解得非齐次方程的解：
X (t ) = X 0 e
iω t
F (t ) −iω t +e ∫ e dt iω m t0
iω t
讨论： 若：外力场为周期性外场 F (t ) = f cos(γt + β ) 则：
iω t
F (t ) − iω t f Re[e ∫ e dt ] = cos(γ t + β ) 2 2 iω m m(ω − γ ) t0
t
t t0
选 t 0 ，使：γt 0 + β = π 2 ，则积分下限为零。 令
略去对运动方程无关的常数项“ − U (q0 )” (相当于选新 的零势能点)，且令：
q − q 0 = x, a (q 0 ) = m, U ' ' (q 0 ) = k
则 由拉格朗日方程：
1 2 1 2 & L = mx − kx 2 2
d ∂L ∂L − =0 & dt ∂x ∂x
得到运动方程：
β 1 = − λ + iω β 2 = − λ − iω
其中：
2 ω = ω 0 − λ2
ω 0 > λ ：弹力>阻力； ω 0 < λ ：弹力<阻力
通解：
x = Re[e − λt (c1eiω t + c2 e − iω t )]
——频率为ω 而振幅按指数衰减的振动
三、有阻尼情况下的共振
有阻尼情况下强迫振动的运动方程：
( α ：较小)
考虑到阻力和运动方向相反，有：
& f = −α x
⇒ ⇒
运动方程：
& m&& = − kx − α x x
2 (ω 0 = k m, 2λ = α m)
2 && + 2λ x + ω 0 x = 0 & x
解的形式：
x = Re[ce β t ]
特征方程：
⇒
β 2 + 2λ β + ω 02 = 0
三、受迫振动 设：振子受到一个随时间变化的外场力U e ( x, t )的作用 则：
1 2 1 2 & L = mx − kx − U e ( x, t ) 2 2
U e ( x, t ) = U e (0, t ) + U ' e (0, t ) x (确定平衡位置时，不考虑外场)
在平衡位置附近展开 U e ( x, t ) ：
f
f cos(γt + β ) − cos(ωt + β ) 0 → m 0 ω2 −γ 2
ft lim [cos(γt + β ) − cos(ωt + β )] = sin(ωt + β ) γ →ω m(ω 2 − γ 2 ) 2 mω
⇒
ft x = A cos(ωt + ϕ ) + sin(ωt + β ) 2mω
出发点： x = A cos(ωt + ϕ ) + 改写为：
x = A cos(ωt + ϕ ) + f m(ω − γ )
2 2
f m(ω − γ )
2 2
cos(γt + β )
[cos(γt + β ) − cos(ωt + β )]
注意：此处的 A, ϕ 不同于第一式的 A, ϕ 。
当 γ → ω 时： 则
⇒
2 mω 0 ε 2 + λ 2
共振时： = 0, tgδ = 0 ⇒ δ = − π 2 ε 远离共振时 ( ε >> λ ) : tgδ → 0
⇒ δ → −0 (当 ε < 0) 或 δ → −π (当 ε > 0)
γ : 由低到高( ε 由负到正)通过共振频率时，振动的相 位改变 −π ( Q −π − 0 = −π )
2 && + 2λ x + ω 0 x = f cos γ t m & x
复数形式：
2 && & X + 2λ X + ω0 X = feiγ t m
通解：
x = Ae − λ t cos(ωt + ϕ ) + c cos(γ t + δ )
c= f m (ω − γ ) + 4λ γ
2 0 2 2 2
一个周期(T = 2π γ )内能量的平均值：
I =
∫
T
0
Idt T
=
∫
T
0
2λ mc 2γ 2 sin 2 (γ t + δ )dt T
f 2λ 2 )2ω0 = 2 2 4m(ε 2 + λ2 ) ε +λ
= λ mc 2γ 2
= λ m(
f 2mω 0
——吸收对频率的依赖关系(色散)
I ：平均能量吸收率
m&& + kx = 0 x
2 2
k ⇒ && + ω x = 0 (ω = > 0) x m
二、自由振动方程的解
自由振动：无外力、强迫力、无阻尼的振动。 方程 && + ω 2 x = 0 的解： x
x = a cos ωt + b sin ωt = A cos(ωt + ϕ )
ϕ 积分常数：A—振幅； − 角频率； —初相位。其中 ω 振幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。
——共振时，振动的振幅将随时间的增长而无限增大 讨论： 1.振幅增到一定程度，微振动的假设已不再成立； 2.实际运动存在阻尼，振幅不会随时间无限增大。
二、阻尼振动
实际的振动：存在阻尼。 阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使 机械运动停止(无外力时)。 此时： 1.对振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数； 2.不能肯定运动物体的状态只是该瞬时它的坐标和速度 的函数(因为此时要考虑介质本身的运动，介质和物 体内部的热状态)。
无限增长)。
四、通过共振时的相位变化
接近共振时：
γ = ω0 + ε
( ε << ω 0 )
⇒
2 γ 2 − ω 0 = (γ + ω 0 )(γ − ω 0 ) = (2ω 0 + ε )ε ≈ 2ω 0 ε
λ γ ≈ λ ω0
c= f
λ = α 2m
λ tgδ = ε
( α 很小 ⇒ λ : 小量)
共振点相位：− π 2 振动达到稳定(振幅不再随时间变化)时： 振子的能量不再变化——克服阻尼所消耗的能量 通过吸收外力源能量来补充。
& & 单位时间从外力源吸收的能量I=克服阻力( −α x = −2λ mx )
在单位时间内做的功。即
dx & & I = 2λ mx = 2λ mx 2 = 2λ mc 2γ 2 sin 2 (γ t + δ ) dt
⇒ 力学中的运动方程不存在(因为前面已假定，只要同
时给定坐标和速度就能完全确定力学系统的状态)。 但： 在某些情况——频率比介质中的内耗过程的特征 频率小，即振动周期比内耗过程的周期长 认为：在物体上作用着只依赖于它的速度的“阻力”。 办法：在运动方程中加进阻力项。 若：速度又很小，则：按速度的方次来展开阻力 f (v) = f (0) + f ' (0)(v − 0) + L = f ' (0)v
推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标。
1 2
拉格朗日函数： L = T − U = a (q )q 2 − U (q ) & q 设： 0 ——系统的平衡位置，则
U ' (q 0 ) = 0, U ' ' (q 0 ) > 0
对U在 q 0 附近作泰勒展开，只保留到二阶小量：
1 U (q ) = U (q 0 ) + U ' ' (q 0 )(q − q 0 ) 2 2
当共振时 (ε = 0) ：
f2 = 4mλ
I 达到极大值
I max
——共振吸收
当 ε = λ 时， 降到最大值的一半。 I 若用S表示与 I 类似的某一物理量，它依赖与外来 频率 ω 。设S在 ω = ω0 时达到共振，则
Γ2 / 4 S (ω ) = S0 (ω − ω0 ) 2 + Γ 2 / 4
更简单，因为对指数微分并不改变它们的形式；
2．进行线性运算(相加、乘以常系数、微分、积分等) 时，可先用复数形式运算，运算完后再取实部；
3．反例：非线性运算。
1 * 例：电磁场中坡印廷矢量 S = Re( E × H ) ，不是 2
1 S = Re( E × H ) 。 2 E × H：非线性运算，此时E、H已取复数形式。