抛物线的概念、性质、几何意义【教学内容】抛物线的概念、性质、几何意义及其直线与抛物线的位置关系、抛物线的应用等。
【教学目标】1、掌握抛物线的定义，动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，则动点的轨迹是抛物线。
熟练掌握顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线的四种标准形式：y 2=2px 、y 2=－2px 、x 2=2py 、x 2=－2py （p ＞0）及其它们的焦点坐标、对称轴方程。
2、焦参数p （p ＞0）的几何意义为抛物线的焦点到其准线的距离。
若已知了抛物线顶点在顶点，焦点在x 轴上，则可设抛物线的方程为y 2=2ax （a ≠0）；若抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，则可设抛物线的方程为x 2=2ay （a ≠0），再由另外一个条件就可以求出抛物线标准方程了。
若顶点在原点，焦点在坐标上，则就要分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况来设抛物线的方程。
3、抛物线标准方程中，判别焦点在哪个轴上的方法是看方程的一次项，若一次项的变量为x ，则焦点在x 轴上；若一次项的变量为y ，则焦点在y 轴上。
另外，对于抛物线y 2=2ax （a ≠0），焦点坐标为（2a ，0），准线方程为2ax -=；对于抛物线x 2=2ay （a ≠0）焦点坐标为（0，2a ），准线方程为2ay -=。
这一结论对a ＞0及a ＜0均成立。
4、在抛物线中，抛物线上的动点到焦点的距离我们常常转化为动点到准线的距离来处理，这一思想方法在抛物线中有着广泛的应用。
我们在学习时要引起重视。
【知识讲解】例1、求经过定点A （－3，2）的抛物线的坐标准方程。
解：抛物线过第二象限内的点A （－3，2），应考虑开口向上及向左两种情形。
（1）若开口向左，设抛物线方程为y 2=－2px ，因为抛物线过点A （－3，2），∴22=－2p(－3)即342=p ，则抛物线方程为x y 342-=。
（2）若开口向上，设其方程为x 2=2py ，因为抛物线过点A （－3，2），∴22)3(2⋅=-p ，即292=p 综上所述，抛物线的方程为x y 342-=此无法确定抛物线的类型，可根据所给点的位置，考虑过这点的抛物线有几种类型来求解。
例2、如图，动圆M 与定直线y=2相切，且与定圆1)3(:22=++y x C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
解：设动圆圆心M （x ，y ）动圆半径为r ，过点M 作MN 垂直于直线y=2，N 为垂足，则有1||1||+=+=MN r MC ，动点M 到定点C 的距离等于它到直线y=2的距离加上1，∴动点M 到定点C （0，－3）的距离等于它到定直线y=3的距离，由抛物线的定义可知，动点M 的轨迹方程是以C （0，－3）为焦点，直线y=3 例3、 解：设△OAB 心在焦点F 上，∴方程为x=a ，∴A pa 2-）∵222=--⋅p a pa a pa A （25p ，p 5为：02922=-+px y x 。
例4、求与直线2 :-=x l 相切，且过点A （2，0），圆心在直线4x －5y －12=0上的圆的方程。
解：因为圆心到定点A （2，0）的距离等于它到直线x=－2的距离，由抛物线的定义可知，圆心必在抛物线y 2=8x 上，又已知圆心在直线4x －5y －12=0上，解方程组 0125482=--=y x x y得 21=x 或 18=x 2-=y 12=y 设圆的半径为r ，当2 ,21-==y x 时，25221=+=r 当12 ,18==y x 时，20218=+=r ，所以，所求圆的方程为2||2a 说明：若已知了圆锥曲线的准线方程、离心率及圆锥曲线上的一点的坐标，要求与准线对应的焦点或顶点的轨迹方程时，我们通常是先假设出与准线对应的焦点的坐标，然后由圆锥曲线的第二定义求出该焦点的轨迹方程。
以y该题就可以用上述方法，先求出左焦点轨迹方程，找出左顶点坐标及左焦点坐标间的关系，最后求出左顶点的轨迹方程为：1)2(4)32(922=-+-y x 。
例6、抛物线y 2=8x 的焦点为F ，A （4，－2）为一定点，在抛物线上找一点M ，使|MA|＋|MF|为最小，求M 点的坐标。
解：如图所示，A （4，－2）在抛物线y 2=8x 的内部，过点A 作准线的垂线，E 为垂足，交抛物线于M 点，则M 点即为所求，其坐标为（21，－2），现在证明|MA|+|MF|为最小，在抛物线y 2=8x 上取一点M ＇，作M ＇E ＇⊥准线于E ＇，根据抛物线定义，|MF|=|ME|，|M ＇F|=|M ＇E ＇|，|MA|＋|MF|=|AE|，|M ＇A|＋|M ＇F|=|M ＇A|＋|M ＇E ＇|而|AE|＜|M ＇F|＋|M ＇E ＇|∴|MA|＋|MF|最少。
注意：在与抛物线有关的计算或证明中，我们要不失时机地运用其定义，这样可以使计算或证明来得简捷方便。
③由②知，x ky k =-12，设k 2－1=yt ，k=xt ，代入③得：)1(4422yt px pxyt y x ++-=+，所以px y x 422=+，即2224)2(p y p x =+-，其轨迹为以（2p ，0）为圆心，2p 为半径的圆。
例8、过点（－1，－6）的直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，（1）求直线l 斜率k 范围，（2）若p （29，0），又△ABP 为等腰三角形，其中||||PB PA =，求k 的值。
解：（1）显然，l 与x 轴不垂直，令)1(6:+=+x k y l ，（k ≠0）则16-+=ky x ，∴042442=+--k y ky ，（*）△=16＋16k(6－k)＞0即k 2－6k －1＜0，而方程k 2－6k －1=0的两k 为103±=k ∴)103 ,0()0 , 103(+⋃-∈k 。
（2）设A(x 1，y 1)、B （x 2，y 2），AB 中点Q （x 0，y 0），由方程（*）得：k y y 421=+，212421216162212121-+=-++=-++-+=+kk k y y k y k y x x∴)2 ,162(2kk k Q -+，∵PQ ⊥AB ，∴121162022-=-+-⋅k k k k ，∴041272=--k k ，k=2或72-=k （舍去），所以k=2。
例9、已知直线)( 0:N n ny x l ∈=-，圆1)1()1(:22=+++y x M ，抛物∴0122222=++++y y ny y n 即01)1(2)1(22=++++y n y n ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∴2211)1(2nn y y ++-=+， 22111n y y +=⋅，又22211(||kAB +=22222214)1()1(4)1(||n n n n AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=422)1)(14(||nn n CD ++=，∴→n lim例10、过定点p(0，－2)OB 解：显然，直线AB 即y=kx －2，代入y 2=4x 得：k 2x 2－4(k ＋1)x ＋4=0（*）设A （x （221x x +，221y y +），∴Q （x 1＋中，221)1(4k k x x +=+，k y y 21=+则2)1(4kk x +=① ky 4=②由②得y k 4=代入①得)14(4162+=y y x ，244y y x +=即：)1(4)2(2+=+x y ，又在方程（*）中016)12(1622>-++=∆k k k ，∴21->k ,又k ≠0∴) ,0()0 ,21(∞+⋃-∈k ，∴) ,0()2 ,(1∞+⋃--∞∈k，∴) ,0()8 ,(4∞+⋃--∞∈k，即另一顶点Q 轨迹方程为)1(4)2(2+=+x y ，其中) ,0()8 ,(∞+⋃--∞∈y 。
例11交于不同两点B BC 分析：Q 分点，P y=k(x －2)即可。
解：设,(x P '动直线(:=x k y l＋2=0，△=k 2－8k －8＞0，∴624+>k 或624-<k ，∵21||||y y C C B B ='' ∴=-++-=-+--⋅+-=++=+⋅+='4)()(22)2()2()2()2(1212121211221212212122111x x x x x x x k x k x k k x k x y y y x y x y y x y y x x)2(4122442≠'-+=-+x k k k ，∴44)2(+'=-'x x k 又)2(-'='x k y ，∴44+'='x y ，这就是P 点的轨迹方程。
∵)441(12412)2(-+=-=-'='k k k x k y 且2≠'x ，又624+>k 或624-<k ，∴)6412 , 6412(+-∈'y 且12≠y ∵ 32x x '+=∴ 23-='x x3y y '=y y 3='代入44+'='x y 中，得04312=--y x 其中)6344 , 6344(+-∈y 且4≠y ∴轨迹为直线04312=--y x 介于36446344+<<-y 间的一段，且除去点（34，4）。