第四章有限元法及应用FEM(The Finite Element Method) and Application主要内容有限元法的基本概念 有限元法的分类有限元法原理有限元法的求解步骤 常用有限元软件简介第一节概述第一节概述一、为什么需要有限元？)随着生产的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械和工程结构。

在实践中人们也逐渐认识到要达到正确的、高水平的设计，就必须预先通过有效的计算手段确切的了解即将诞生的机械和工程结构在未来工作时的应力、应变及位移等情况，从多种可能的方案中去选择合乎要求的方案。

)但是，传统的一些方法往往难于完成对工程实际问题的有效分析。

弹性力学的经典理论对于几何上复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变以及几何非线性、材料非线性等问题往往解决很困难；优化设计、可靠性设计等也难或根本无法解决。

蓄水后大坝的位移与应变情况、地震时大坝的位移与应变情况等三峡大坝的受力情况温度场分布航天飞机飞行中的受热分析导弹、飞机飞行的流体动力学分析流场分布磁场分布分析卫星、飞船在轨运行时磁场的影响传统方法在处理这类问题时，往往要对一个实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、连续性假设、物体的各项同性假设，然后通过经典理论方法得出问题的解析解，这种解析解从形式上看，可以得出关于实际问题的连续解，比如用方程描述三峡大坝某一点的位移和应变，但这样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。

这对于精度要求不高的领域是可以的，但对于有些领域，就不能满足实际的需要了。

同时，实际中常常要遇到一些几何上复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变以及几何非线性、材料非线性的物理系统，对这些系统经典理论解决起来相当困难，有时甚至无法解决，也就是无法求得解析解。

因此，寻求离散数值分析法就成了必由之路。

常用的数值分析法有两种：差分法和有限元法。

差分法是在传统方法的基础上，将传统方法建立的微分方程中的微分dx、dy、dz变成差分Δx，Δy，Δz，从而把微分方程变成代数方程，用一步步迭代的方法，逐步求出物理系统中各个离散点的物理量，用差分离散解代替连续解。

这种方法要求能建立微分方程，并能给出边界条件的数学表达式，因此，对于一些不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件难以应用。

一、有限元法的基本概念1.什么是有限元法我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在连续体上任一点上未知量的值。

因为点是无限多的，存在无限自由度的问题，很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采用近似方法来处理。

其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由度。

把一个连续体分割成有限个单元，即把一个复杂的结构看成由有限个通过节点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构，以得到复杂问题的近似数值解。

这种方法称为有限元法（The Finite Element Method ）。

有限元法是一种以计算机为手段，通过离散化将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、应变、位移等参数的数值计算方法。

所谓离散化就是将一个连续体分割成若干个通过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。

该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐标系和整体坐标系的确定。

单元具有以下特征：¾每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷下的响应；¾模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总体响应；¾单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有限单元”。

2）节点（node）单元与单元之间的联结点，称为节点。

在有限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。

3）有限元模型（node）有限元模型真实系统理想化的数学抽象。

由一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。

每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。

作为一个整体，所有单元的组合就形成了整体结构的数学模型。

对于一个具体的工程结构，单元的划分越小，求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越大。

梯子的有限元模型不到100个方程；在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。

单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算结果精确性的要求。

4）有限元分析有限元分析就是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。

并利用简单而又相互作用的元素（即单元），用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

有限元分析是一种模拟设计载荷条件，并且确定在载荷条件下的设计响应的方法。

它是用被称之为“单元”的离散的块体来模拟设计的。

二、有限元法的特点与作用1.有限元法的特点1）把连续体划分成有限个单元，把单元间的连接点（节点）作为离散点；2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究；(研究未知量在单元内部及在单元节点上值的关系，从而导出单元节点响应和对应的载荷之间的关系，然后把它们组集起来,以求解一个以各节点响应为未知量的代数方程组)3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解；4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为广泛。

它不仅能成功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的许多问题）5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。

2.有限元法的作用1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的试验）；2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官移植、人造膝盖）；3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本；4）节省时间，缩短产品开发时间和周期；5）创造出高可靠性、高品质的产品。

三、有限元法的发展1.有限元法的产生有限元法分析的概念可以追溯到20世纪40年代。

1943年，柯朗特（Courant）第一次在他的论文中，取定义在三角形域上的分片连续函数，利用最小势能原理研究了圣维南（St.Venant）的扭转问题。

然而，此方法发展很慢，几乎过了十年才再次有人用这些离散化的概念。

1956年Turner,Clough,Martin和Topp等人，在他们的经典论文中第一次给出了用三角形单元求得的平面应力问题的真正解答，他们利用弹性理论的方程求出了三角形单元的特性，并第一次介绍了今天人们熟知的确定单元特性的直接刚度法，其研究工作随同当时出现的数值计算机一起打开了求解复杂平面弹性问题的新局面。

1960年美国的克劳夫(W.Clough)采用此方法进行飞机结构分析时首次将这种方法起名为“有限单元法”，简称“有限元法”。

此后有限元法在工程界获得了广泛的应用。

到20世纪70年代以后，随着计算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅速的发展起来，发表的论文犹如雨后春笋，学术交流频繁，期刊、专著不断出现，可以说进入了有限元法的鼎盛时期，对有限元法进行了全面而深入地研究。

2.有限元法的应用1）可求解由杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和动力问题）；2）可求解各类场分布问题的稳态和瞬态问题；3）可求解水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。

目前，有限元法广泛应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域。

当前，有限元法已经成为结构分析的有效方法和手段，它几乎被用于所有连续介质和场的问题。

提供标准的隐式动力学分析以外，还提供了显式动力学分析模块。

用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所有的非线性行为.它的显式方程求解冲击、碰撞、快速成型等问题，是目前求解这类问题最有效的方法.结构分析（续）电磁分析磁场分析中考虑的物理量是：第二节有限元法的分类一、结构有限元法的分类结构有限元法可以分为两类，即线弹性有限元法和非线性有限元法。

其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研究步骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者的某些结果。

1.线弹性有限元线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。

在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；位移与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。

线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。

2.非线性有限元非线性问题与线弹性问题的区别：非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；非线性问题不能采用叠加原理；非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。

以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预知性。

1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。

由于从理论上还不能提供能普遍接受的应力与应变的函数关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。

在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。

2）几何非线性问题几何非线性问题是由于应变与位移之间存在非线性关系引起的。

当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。

研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。

它包括大位移大应变及大位移小应变问题。

如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。

3）非线性边界在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。

平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。

实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。

按照单元结构特点和受力特点，可将单元划分为：1）桁架杆单元：主要应用于受轴向力作用的杆和杆系，如桁架结构；2）刚架杆单元：用于梁及刚架结构分析；3）三角形平面单元：主要用于弹性力学中平面应力和平面应变问题的有限元分析；4）三棱圆环单元：用于轴对称问题的有限元分析；5）等参数单元：用于一些具有曲线轮廓的复杂结构。

第三节弹性力学平面问题的基本方程在产品的结构设计及修改设计阶段，对整个产品及其重要受力零部件进行静态、动态的力学分析计算及其进行优化分析计算。