0
0
k2u2 k2u3 k3u3 k3u4
k3u3 k3u4 k4u4 k4u5 0
k4u4 k4u5 P
写成矩阵的形式为
k1
=
k1 k1 k2 k2 0 0
k1 k1 0 0 0
0 k2 k 2 k3 k3 0
k1 k1 k2 k2 0 0
有限元方法与ANSYS简介
有限元方法是用于求解工程中各类问题的数值方法，应 力分析中稳态的、瞬态的、线性的或非线性的问题以及热传导、 流体流动和电磁学中的问题都可以用有限元方法进行分析解决。 现代有限元方法的20世纪早期开始，20世纪50年代，boeing公司 采用三角元对机翼进行建模，推动了有限元方法的应用。到20 世纪60年代，人们接受了“有限元”这个词。 ANSYS是一个通用的有限元计算机程序，其代码长度超 过10万行。应用ANSYS可以进行静态、动态、热传导、流体流 动和电磁学等分析。在过去的20多年里，ANSYS是主要的有限 元分析程序。现在ANSYS被广泛应用在如航天、汽车、电子、 核科学等领域。
第一章 概述
有限元方法是广泛用于解决应力分析、热传 递、电磁场和流体力学等工程问题的数值方 法。
本章的内容
（1）工程问题 （2）数值方法 （3）有限元方法与ANSYS简介 （4）有限元方法的基本步骤 （5）直接公式法 （6）最小总势能公式 （7）加权余数法 （8）结果的验证 （9）理解问题
工程问题
0
R1 0 0 0 0
0 k2 k 2 k3 k3 0
0 k3 k3 k 4 k4
0 u1 0 0 u 2 0 0 u3 0 k4 u 4 0 k4 P u5
上式表示成
R K u F
上式中， R为反作用力，K为刚度矩阵，u为位移矩阵，F为负 荷矩阵。由于杆的顶端是固定的，其位移为零，
u1 0
上面的方程简化为
有限元方法的基本步骤
预处理阶段 1 建立求解域并将之离散化成有限元，即将问题分解成节 点和单元。 2 假设代表单元物理行为的形函数，即假设代表单元解的 近似连续函数。 3 对单元建立方程。 4 将单元组合成总体的问题，构造总体刚度矩阵。 5 应用边界条件、初值条件和负荷。 求解阶段 6 求解线性或非线性的方程组，以得到节点的值，例如得 到不同节点的位移量或热传递问题中不同节点的温度值。 后处理阶段 7 得到其他重要的信息。如主应力、热量值等。
1.5 直接公式法 例1.1 杆的一端固定，另一端承受负荷P，杆的厚度t，长 度L。杆的弹性模量用E表示。假设应用的负荷比杆的 重量大的多。
预处理阶段
将问题域离散成有限的单元， 首先将问题分解成节点和单元 。我们用5节点4单元的模型代 替杆，如图所示，分的越细越 精确。杆的模型中有四个独立 的分段，每个分段都有统一的 横截面积。
数值方法
在许多实际工程问题中，由于微分方程的复杂性或边界 条件和初始条件的难以确定性，得不到系统的精确解。为此我 们借助数值方法来近似。解析解表明了系统在任何点上的精确 行为，而数值解只在称为节点的离散点上近似于解析解。 数值法的第一步都是离散化。这一过程将系统分成一些 单元和节点，然后对每一单元或节点建立代数方程组。 这种方法假设代表每个单元的近似函数是连续的。假设 单元间的边界是连续的，通过组合各单元的解产生系统的完全 解。
工程问题一般是物理问题的数学模型。数学模型是带有边 界条件和初始问题的微分方程，微分方程是通过对系统应用自 然的基本定律和原理推导出来的，如波动方程等。 这些微分方程代表了某种物理规律或平衡。（数理方程） 在可能的情况下，由给定的条件求解微分方程可以得到系 统的精确行为。在任何给定的工程问题中，存在两种影响系统 行为的参数。一种表示给定系统自然行为的参数，例如弹性模 量、热传导因子和粘度等。另一种是系统存在产生扰动的参数， 如外力、力矩、介质的温度差和流体的压力差等。 在有限元建模中，理解参数在刚度或传导矩阵以及负荷矩 阵中的作用是非常重要的。系统特性总是在刚度矩阵、传导矩 阵中得到体现，而扰动参数总是出现在负荷矩阵中。
这相当于弹簧。我们认为杆由四个弹性系数不同的弹簧组成， 对每个弹簧来说，
keq
Ai 1 Ai E 2l
Ai 和 Ai 1 分别是i 和i 1 处的节点的横截面积，l是单元的长度。
静力学要求每个节点上的应力和为零，所以 节点1： 节点2： 节点3： 节点4： 节点5：
R1 k1 u2 u1 0
k1 u2 u1 k2 u3 u2 0
k2 u3 u2 k3 u4 u3 0
k3 u4 u3 k4 u5 u4 0
k4 u5 u4 P 0
重组方程组，得到
k1u1 k1u2
R1
k1u1 k1u2 k2u2 k2u3
假设近似单元行为的近似解
考虑一个带有统一横截面A的实体的偏转量，横截面的 长度为l，承受的外力为F，如图所示。 实体的平均应力为

F A
实体的平均应变为
l l
应变与应力的关系为
E
这里E是弹性模量。
这样有
AE keq l
AE F Biblioteka l l 令，则
F keq l
0 0 k3 k3 k 4 k4
k1 0 0 0
在负荷矩阵中，将反作用力和负荷区分开来是很重要的，于是
0 u1 R 1 0 u 2 0 0 u3 = 0 0 k4 u 4 P k4 u 5