t
)
RC
duC ( dt
t
)
uC
(
t
)
u(
t
)
状态方程
x1 x2
x1
x2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1
u
该方法具有一般性,可用于 输入输出高阶微分方程
y 1
0
x x
1 2
输出方程
7
同一系统不同状态变量之间的关系？
前例R-L-C网络的两 种状态变量为
i
x
uc
和
0x
0 0
0
0
x u,
1
0
an1 b0
16
即 x Ax Bu
y Cx
0
1
0
0
0
1
A
0
0
0
a0 a1 a2
c 1 0 0 0
0 0
0
0
, b ,
1
0
an1
b0
输入端含导数项时如何建立状态空间表达式？
17
基于传递函数的直接分解法：
x2
1RL
C
1 L 0
x1 x2
1
L
0
u
y 0
1
x x
1 2
x1
x2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1u
1 G( s ) LCs2 RCs 1
y 1
0
x x
1 2
由同一系统的不同状态空间表 达式导出的传递函数（阵）必 然相同
13
由微分方程或传递函数转化为状态空间模型
个变换阵为Vandermonde矩阵，即
1 1 1
λ1
λ2
λn
P
λ 12
λ22
λ n2
λ 1n
1
λ2n 1
λ nn
1
自证
26
0 1 0
例：A 0
0
1
,
试求变换矩阵P。
-6 -11 -6
解： 由 det( λI A ) 0 , 得 λ1 1, λ2 2, λ3 3
2 4
λ2=λ3=1，求将矩阵A变换为约当形的变换矩阵P。
解： 设属于λ1的特征向量为P1
(λ1I A)P1 0 取 p11 2, 则求得 p21 1, p31 2
P1 2 -1 -2T
30
双重特征值2 , 3 的特征向量P2 和 P3
x
uc uc
令
~x
uc uc
则
~x
uc uc
uc i C
0 1C
1 i
0
uc
即同一系统不同状态变量之间
Px
存在线性变换关系
8
线性系统状态空间表达式的一般形式
设 系 统 有p个 输 入 ，q个 输 出 ，n个 状 态 变 量 ， 则 有
x Ax Bu y Cx Du
系统
x1
y 1
0
0
x
2
x3
15
一般规律（输入端不含导数项）
xn
xn
xn1
x2 x1
y(n) an1 y(n1 ) an2 y(n2 ) a1 y a0 y b0 u
y
x1 x2 , x2 x3 , , xn1 xn
0
0
x
0
a0
y 1 0 0
1
0
0
1
0
0
a1 a2
11
由状态空间模型转化为传递函数（阵）
设 线 性 定 常 系 统 的 状 态空 间 模 型 为
x Ax Bu 注意！ u(t)
G(s)
y(t)
y Cx Du
系统
对其进行拉氏变换 sX(s) x(0 ) AX(s) BU(s) Y(s) CX(s) DU(s)
令初始条件为零， x( 0 ) 0 得：sX(s) AX(s) BU(s)
状态可控性和可观性 —— 核心内容
状态空间描述下系统的结构分析 —— 可控或可观状 态变量的划分（自学）
状态反馈和极点配置、最优控制、状态观测器设
计 —— 理论应用
主要讲SISO线性定常系统 4
一、线性系统的状态空间描述
状态变量：完全描述系统行为的最小一组变量
对 于n阶 系 统 ， 有n个 状 态 变 量 x1 ( t ), x2 ( t ), , xn ( t )
u( t ) 状
态 方
程
… …
x1
x2
xn
输
出
y( t )
方
程
状态空间描述的示意图
D
u
B
x ∫
x
C
y
A
线性系统状态空间模型的结构图
x Ax Bu y Cx Du
10
2. 两种模型的相互转化
由状态空间模型转化为传递函数（阵） 由微分方程或传递函数转化为状态空间模型 应用MATLAB进行模型之间的相互转化（自学）
A,B,C,D
这种转换不唯一! u(t) 系统 y(t)
U(s)
Y(s)
G(s)
转化的实质：寻找在外部特性上等价的状态空间表 达式，使其满足输入输出微分方程或传递函数
G(s) = C(sI-A)-1B+D 并称该状态空间表达式为该传递函数的一个实现。
方法：直接分解法、极点分解法、结构图分解法 （自学）
18
xn
xn
xn1
x2 x1
h(n) an1h(n1 ) an2h(n2 ) a1h'a0h u
x1 x2 , x2 x3 , , xn1 xn
y( t ) bn1 xn b1 x2 b0 x1
0
1
0
0 0
0
0
1
0 0
x
0
0
0
x
u,
1 0
a0 a1 a2
CP P 1sI AP 1 P 1B D
C sI A 1 B D
G( s )
24
矩阵 A 的对角化
（1） 矩阵A的特征值λi 互异（可变换为对角形） 设变换矩阵P为
P P1 P2 Pn1 Pn
A P 1 AP diag[ i ]
λi Pi APi , i 1,2 , ,n 即 ( λi I A )Pi 0 , i 1,2, ,n
y C P x Du
A P1AP , B P1B, C C P , D D
22
非奇异线性变换的几个重要性质
（1）线性变换不改变系统的特征值
∵变换前后有 A P 1 AP
变换后的特征多项式为
det λI A det λI P 1 AP
det P 1λI AP
det P 1 det λI Adet P det λI A
an1 1
y b0 b1 b2 bn1 x
称为可控规范形
19
思考：若传递函数不是严格真的有理分式 G(s) Y(s) bnsn bn1sn1 b1s b0 U(s) sn an1sn1 a1s a0 如何导出状态空间模型的可控规范形？
20
练习
B2.24(1),(2)； B2.25； B2.26; B2.27
i( t ) C duC ( t )
dt
x1
x2
y
x1
x2
1RL
简记为 x Ax Bu
C
状态方程
1 L 0
x1 x2
1
L
0
u
y Cx
y 0
1
x1 x2
输出方程
6
状态变量的选择是否唯一？
不唯一!
由R-L-C网络的输入
输出微分方程求
x2
x2 x1
y LC
d
2 uC ( dt 2
即 P1 1 0 1 T
28
用同样的方法可求得属于2 2 和 3 3
的特征向量分别为
P2 1 2 4T P3 1 6 9T
1 1 1
P 0
2
6
1 4 9
验证
1

A
P 1 AP
-2
- 3
29
（2）矩阵A 有多重特征值（可变换为约当标准形）
0 例：A 1
3
6 -5
0
2
，其特征值为λ1=2，
u(t)
y(t)
系统
A: 系 统 （ 状 态 ） 矩 阵（n n）
B: 控 制 矩 阵 （n p）
C: 输 出 矩 阵 （q n）
D: 前 馈 矩 阵 （q p）
A、B、C、D 为常数阵 定常系统 A、B、C、D 含时变参数 时变系统
9
一般的状态空间表达式：
x f ( x , u, t ) y g( x, u, t )
A,B,C,D
u(t)
y(t)
设 G(s) 为SISO系统
系统
U(s)
Y(s)
G(s)
G(s) Y(s) bn1sn1 b1s b0 b( s ) U(s) sn an1sn1 a1s a0 a( s )
则 Y(s) b( s )a1( s )U( s ) b( s )H( s )
a( s )H(s) U( s )
xn
xn
引入中间
变量 h(t)
x2
x1
h(n)( t ) an1h(n1 )( t ) a1h' ( t ) a0h( t ) u( t )
y( t ) bn1h(n1 )( t ) b1h' ( t ) b0h( t )