D(z)U C((zz))1Tz1
Tz z1
c(k)c(k 1 ) T u (k)
总面积＝前k-1步面积和＋当前面积
当前面积＝步长＊第k步的输入值
11
2. 一阶向后差分法
(2)主要特性
① s平面与z平面映射关系
s左半平面（0）映射到z平面为
圆心（1／2，0），半径1／2的
小圆内部。映射一一对应，频率无 混叠
n
m
特点：
– 零、极点分别按 z esT 一一对应匹配
– 若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加 (z+1)n-m因子
– 确定D(z)的增益k1的方法： • 按右式来匹配
D(s)s0D(z)z1
• 若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即
D(s)sD(z)z1
• 当< 0（s左半平面），映射到z平面单位圆内 。
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定，映射一一对应
频率特性无混叠
③频率畸变：s域虚轴映射为z域单位圆周长
z域角频率为D
s域角频率
s 2 ( z 1) T ( z 1)
z
1 1
T
2 T
2
s s
1
T 2
1 T2
j j
T
2
T
2
z
2
1 1
2
3）将D(s/1)平移到
D( j)
D(s/1m),保证1m上
幅值不变
4）将D(s/1m)进行Tustin 变换，得到D(z)
1m
1
O
D(e jD T )
D1 1
D
D
20
5. 预修正双线性变换
(1)离散化公式
D(z) D(s)
s
1
z1
tan(1T/2) z1
1是设计者选定的
特征角频率，希望
在1上的幅值和相
第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求， 进行下一步；否则，重新进行设计。
改进设计的途径有： – ①选择更合适的离散化方法 – ②提高采样频率 – ③修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等
第5步：将D(z)变为数字算法，在计算机上编程实现。
8
5.1.2 各种离散化方法
• 最常用的表征控制器特性的主要指标：
飞控系统数字化,多变量复杂控制律实现 • 方法:
利用各种变换,D(s)D(z)
4
5.1.1 设计原理和步骤
D(s)
执行机构
被控对象
测量装置
• 连续控制律D(s),离散等效控制律De(s)
• 将数字控制器部分看成是一个整体，其输入和输 出都是模拟量，因而可等效为连续传递函数
De(s)。
5
•若De(s)=D(s),或De(j)=D(j), 则uD(t)=uA(t)
(1)离散化公式
用梯形面积代替 矩形面积
D(z) D(s) s2 z1 T z1
D (s) C (s)/U (s) 1 /s
t
c(t) 0u(t)dt
c(k)c(k1)T[u(k)u(k1)] 2
进行z变换，得
(1 z 1 )C (z ) T /2 (1 z 1 )u (z )
s与z之间的变换关系 图5-9 梯形积分法
T 2 T 2
2 2
T 2 T 2
2 2
21ejD T 2ejD T/2ejD T/2
j AT1ejD TTejD T/2ejD T/2
图5-10 双线性变换映射关系
T 22 2jcso isn(( D D T T//2 2))jT 2tan2 D T
A
2 T
tanDT
2
16
4.双线性变换法
• 主要用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。
19
5. 预修正双线性变换
解决“Tustin变换产生频率轴非线性畸变 ”问题。
预修正：要求在关键频率1上， D(j1) D(ej1T)
其他频率上不保证，仍有畸变
应用：结构陷波器
A
预修正步骤： 1）选择关键频率1
2）求预修正频率
1m
2 T
tg
1T
ZOH传递函数：
G Z O H (j
)1ejTTsin(T/2)ejT/2
j
T/2
u D (j) e j T /2 s in (T T /2 /2 )D * (j)n E (j jns)
6
假设： sin ( T T /2 /2 )1 ,T 较 小 ,在 低 频 段
• 一般动态系统有惯性，阻尼，低通特性，高频段幅值衰减大
De(s)
r(t) e(t) e*(t)
u*(t)
-
D*(s)
uD(t)
ZOH
执行机构
C(t) 被控对象
连续： u A (j)D (j)E (j)
测量装置
离散： E*(j)T 1n E(jjns)
u * (j ) E * (j )D * (j )
经ZOH后：
uD(j)1je jTE*(j)D*(j)
– 零极点个数；
– 系统的频带； – 稳定性与稳态增益； – 相位及增益裕度；
D(s) 等效离散
– 阶跃响应或脉冲响应形状；
– 频率响应特性。
D(z)
离散化方法
• 数值积分法
一阶向后差法 一阶向前差法 双线性变换法及修正双线性变换法
• 零极点匹配法
• 保持器等价法（阶跃响应不变法） • z变换法(脉冲响应不变法)
9
1、与z变换相关的离散化方法
(1) z变换法（脉冲响应不变法） D(z)ZD(s)
这种方法可以保证连续与离散环节脉冲响应相同（其他响应不 保证），但由于z变换比较麻烦，多个环节串联时无法单独变换以及 产生频率混叠和其他特性变化较大，所以应用较少。
(2) 带保持器的z变换 ①带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）
计算机控制系统
第5章 计算机控制系统的 经典设计方法
2019年4月 1
计算机控制系统的经典设计方法
• 连续域-离散化设计 在连续域设计控制律D(s)，将D(s)离散化 飞行控制律的数字化设计
• 离散域设计 将被控对象离散化，直接在离散域设计控制律 卡尔曼滤波器，预测控制，离散方程
• 经典设计方法
单输入-单输出系统，SISO系统
• 信号经ZOH，保留基本频谱，高频部分衰减大
在上述假设下： u D (j)B e j T /2 D * (j)E (j)
若使： u D (j) u A (j) D (j)E (j)
必有： D *(j)ejT/2D (j)
数字控制器 补偿器 模拟控制器
补偿器：补偿ZOH带来的相位延迟－T/2 当T较小时可以忽略其影响，可以不补偿
A
A
2 T
tan
DT 2
2
T
O 0.35 /T s / 4 s / 2
D
Tustin变换
A
400
F ( j)
Z变换
s
8
2
8
400
F ( j)
O
D
F ( j)
s
1.996 7.75 38.4
D
幅值不变，频率轴变
2
8
400
频率不变，幅值有混叠 18
4. 双线性变换法
(2)主要特性
④串联特性，变换前后，稳定性不变,
(3) 应用
– 由于该方法的上述特性，所以主要用于原连续控制器在某些特征频 率处要求离散后频率特性保持不变的场合。
21
6. 零极点匹配法
(1)离散化方法
k (s zi)
k 1 (z e ziT )
D (s)m
z e sT D (z)
(s p i)
m (z e p iT )(z 1 )n m
以积分环节为例： D ( s ) C ( s ) /U ( s ) 1 /s ,c ( t) u ( t) d t
C(z) T
Tz1
D(z)
U(z) z1 1z1
c (k ) c (k 1 ) T u (k 1 )
当前面积＝步长＊第k－1步的输入
值
13
3.一阶向前差分法
(2)主要特性
① s平面与z平面映射关 系 映射一一对应，无混 叠
2 T
O
A
2 T
tan
DT
2
s / 4
(z域)
s / 2
图5-11双线性变换的频率关系 17
③频率畸变特性：
• 所 混叠有幅值集中在0s/2范围内，频率特性无
•
低频段 性变形
A
D
，高频段畸变严重，频率特
• T（ s ），线性段变长，畸变小
例：飞机，信号在2Hz，8Hz，400Hz处， 采样频率 s 80
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 ③串联特性，变换前后稳态增益不变，
s0时z1。 ④T大，离散后失真大
z 1 11(1Ts) 1Ts 2 2(1Ts)
sj
z12 1(1T)2(T)2 2 4(1T)2(T)2
D(s)s0D(z)z1
(3) 应用
由于这种变换的映射关系有 畸变，变换精度较低。所以，工 程应用受到限制，用得较少。欧 拉积分，T0时失真小。
s 2 ( z 1) T ( z 1)
或：
1 T s
z
1
2 T
s
2
• 直接代入
• 可以获得更高的变换精度
•与一阶差分变换都属于线性变换，
是z变换的一阶近似
15
4.双线性变换法
(2)主要特性
sj