正应力 2cos ασσα=（3-3）切应力1sin 22ατα=（3-4） 式中σ为横截面上的应力。

正负号规定：α 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。

ασ 拉应力为正，压应力为负。

ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。

两点结论：（1）当00α=时，即横截面上，ασ达到最大值，即()max ασσ=。

当α=090时，即纵截面上，=090=0。

（2）当045α=时，即与杆轴成045的斜截面上，ατ达到最大值，即max ()2αατ=1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。

如图3-2。

图3-2轴向变形 1l l l ∆=- 轴向线应变 llε∆= 横向变形 1b b b ∆=- 横向线应变 bbε∆'=正负号规定 伸长为正，缩短为负。

（2）胡克定律当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。

即 E σε= （3-5）或用轴力及杆件的变形量表示为 N F ll EA∆=(3-6) 式中EA 称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。

公式(3-6)的适用条件：(a)材料在线弹性范围内工作，即p σσ〈；(b)在计算l ∆时，l 长度内其N 、E 、A 均应为常量。

如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。

即1ni ii i iN l l E A =∆=∑(3-7)44(1)16t D W a π=-2.5.4强度条件圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。

因此，强度条件为[]max maxt T W ττ⎛⎫=≤⎪⎝⎭ (3-14) 对等圆截面直杆（3-15）式中[]τ为材料的许用切应力。

3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系1zMEI ρ=(3-16) 式中，ρ是变形后梁轴线的曲率半径；E 是材料的弹性模量；E I 是横截面对中性轴Z 轴的惯性矩。

3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式 ZMy I σ=(3-17) 式中，M 是横截面上的弯矩；Z I 的意义同上；y 是欲求正应力的点到中性轴的距离最大正应力出现在距中性轴最远点处 max max max max z zM My I W σ=•= （3-18） 式中，max z z I W y =称为抗弯截面系数。

对于h b ⨯的矩形截面，216z W bh =；对于直径为D 的圆形截面，332z W D π=；对于内外径之比为d a D =的环形截面，34(1)32z W D a π=-。

若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值不相等。

3.2梁的正应力强度条件梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为 []maxmax zM W σσ=≤ （3-19）对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T 字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为[]maxmax 1l t z M y I σσ=≤ （3-20a ） []maxmax 2y c zM y I σσ=≤ （3-20b ）的截面，max τ不一定发生在中性轴上。

4.2剪切的实用计算名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ，则名义切应力为 AQ=τ （3-27）剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的 许用切应力[]τ,即 []ττ≤=AQ（3-28）5.2挤压的实用计算名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则 []bsbs bs bsP A σσ=≤ （3-29）式中，bs A 表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。

当挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的 投影面积。

挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力 []bs bsbs A Pσσ≤= （3-30）1， 变形计算圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。

相距为l 的两个横截面的相对扭转角为dx GI TlP⎰=0ϕ (rad) (4.4) 若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为PGI Tl=ϕ (rad) (4.5) 图4.2式中P GI 称为圆轴的抗扭刚度。

显然，ϕ的正负号与扭矩正负号相同。

公式（4.4）的适用条件：（1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即P ττ≤；（2） 在长度l 内，T 、G 、P I 均为常量。

当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。

即∑==ni P i ii iI G l T 1ϕ (rad) (4.6) 当T 、P I 沿轴线连续变化时,用式(4.4)计算ϕ。

2， 刚度条件扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角m ax 'ϕ不得超过许可的单位长度扭转角[]'ϕ,即[]''maxmax ϕϕ≤=PGI T (rad/m) (4.7) 式 []'180'max max ϕπϕ≤⨯=︒P GI T （m /︒） （4.8）2，挠曲线的近似微分方程及其积分在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系EIM=ρ1对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得()()EIx M x =ρ1 利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即 ()EIx M =''ω （4.9）将上式积分一次得转角方程为 ()C dx EIx M +==⎰'ωθ （4.10）再积分得挠曲线方程 ()D Cx dx dx EI x M ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰ω （4.11） 式中，C,D 为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。

当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。

3，梁的刚度条件限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即 []ωω≤max ，[]θθ≤max （4.12） 3，轴向拉伸或压缩杆件的应变能在线弹性范围内，由功能原理得 l F W V ∆==21ε 当杆件的横截面面积A 、轴力F N 为常量时，由胡克定律EAlF l N =∆，可得 EA l F V N 22=ε（4.14）杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用εV 表示。

线弹性范围内，得 σεε21=V （4.15） 4，圆截面直杆扭转应变能在线弹性范围内，由功能原 ϕe r M W V 21== 将T M e =与P GI Tl =ϕ代入上式得 Pr GI lT V 22= （4.16） 图4.5根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度r V ： r V r τ21=（4.17）5，梁的弯曲应变能在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得θεe M W V 21==将M M e =与EIMl=θ代入上式得 EI l M V 22=ε（4.18）图4.6横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用式（4.18），积分得全梁的弯曲应变能εV ，即()⎰=lEI dx x M V 22ε （4.19）2．截面几何性质的定义式列表于下：静 矩惯性矩惯性半径惯性积 极惯性矩⎰=A y zdA S⎰=Ay dA z I 2AI i y y =⎰=A yz yzdAI⎰=Ap dA p I 2⎰=A z ydAS⎰=Az dA y I 2AI i zz =3．惯性矩的平行移轴公式A a I I C y y 2+=A b I I C z z 2+=静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。

定义式：⎰=Ay zdAS ，⎰=Az ydA S（Ⅰ-1）量纲为长度的三次方。

由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标C z 和C y 。

则y AC S dA z z A =⋅=⋅⎰由此可得薄板重心的坐标 C z 为 AS A zdA z y AC ==⎰ 同理有 A Sy z C =所以形心坐标 A S z y C =，ASy z C = （Ⅰ-2）或 C y z A S ⋅=，C z y A S ⋅=由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即 0=C y ，0=z S ；0=C z ，则 0=y S ；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。

静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。

如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。

设第 I 块分图形的面积为i A ，形心坐标为 Ci Ci z y , ，则其静矩和形心坐标分别为 Ci i n i z y A S 1=∑=，Ci i ni y z A S 1=∑=（Ⅰ-3）∑∑====ni ini Cii z C A yA ASy 11，∑∑====ni ini cii y C AzA AS z 11 （Ⅰ-4）§Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。

⎰=Ay dA z I 2，⎰=Az dA y I 2 （Ⅰ-5）量纲为长度的四次方，恒为正。

相应定义AI i y y =，AI i zz =（Ⅰ-6） 为图形对 y 轴和对 z 轴的惯性半径。

组合图形的惯性矩。

设 zi yi I I , 为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为yi ni y I I 1=∑=，zi ni z I I 1=∑= （Ⅰ-7）若以ρ表示微面积dA 到坐标原点O 的距离,则定义图形对坐标原点O 的极惯性矩⎰=Ap dA I 2ρ （Ⅰ-8）因为 222z y +=ρ所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系 ()z y Ap I I dA z yI +=+=⎰22（Ⅰ-9）式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。

下式 ⎰=Ayz yzdA I （Ⅰ-10）定义为图形对一对正交轴 y 、z 轴的惯性积。

量纲是长度的四次方。

yz I 可能为正，1.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1），2.纵向线应变和横向线应变，3.泊松比4.胡克定律，5.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?6.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式7.轴向拉压杆的强度计算公式8.许用应力，脆性材料，塑性材料9.延伸率10.截面收缩率11.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）12.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式13.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆14.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）15.圆截面周边各点处最大切应力计算公式16.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆17.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式18.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式19.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或20.等直圆轴强度条件21.塑性材料；脆性材料22.扭转圆轴的刚度条件? 或23.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式，24.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,25.平面应力状态的三个主应力,26.主平面方位的计算公式27.面内最大切应力28.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，29.三向应力状态最大与最小正应力 ,30.三向应力状态最大切应力31.广义胡克定律32.四种强度理论的相当应力32.一种常见的应力状态的强度条件，33.组合图形的形心坐标计算公式，34.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式35.截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,36.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）37.纯弯曲梁的正应力计算公式38.横力弯曲最大正应力计算公式39.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数?，，40.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）41.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处42.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式43.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式44.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处45.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处46.弯曲正应力强度条件47.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件48.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，49.梁的挠曲线近似微分方程50.梁的转角方程51.梁的挠曲线方程?52.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式53.偏心拉伸（压缩）54.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，55.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为56.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式57.58.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式59.剪切实用计算的强度条件60.挤压实用计算的强度条件61.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式62.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.563.压杆的长细比或柔度计算公式，64.细长压杆临界应力的欧拉公式65.欧拉公式的适用范围66.压杆稳定性计算的安全系数法67.压杆稳定性计算的折减系数法68.关系需查表求得7、一点的应力状态如下图所示，则其主应力1σ、2σ、3σ分别为（）。