F s F max F RF R
全约束力
摩擦角
摩擦角的意义 摩擦角的正切等于静摩擦因数
FN N
FR ——全约束力 0 f
摩擦角的意义 摩擦角的正切等于 静滑动摩擦因数
tan f f s
f
FR FN

F max F s
f f
摩擦锥
FR
FN
F max
2. 自锁现象
主动力
滚动摩擦
摩擦
湿摩擦
§4-1 滑动摩擦
1. 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力
Fx 0 FT FS 0
静滑动摩擦力的特点
FS FT
方向：沿接触处的公切线， 与相对滑动趋势反向；
大小：0 Fs Fmax
Fmax f s FN （库仑摩擦定律）
最大静摩擦力Fmax的大小与接触面上 法向反力FN的大小成正比。 fs ——静摩擦因数 量纲 1
例4-3
解： 分别取闸杆与鼓轮 设鼓轮被制动处于平衡状态
M O1 0
鼓轮 闸杆 且
而
rFT RFs 0
b Fsc 0 M O 0 Fa FN
Fs f s FN
FT P,
Fs Fs
解得
rP(b f s c) F f s Ra
例4-4
R
取滑轮
FT
M B FT R 系统平衡时 P( R sin cos ) M B P( R sin cos )
（2）设圆柱O有向下滚动趋势
M O 0
Fs R M1max 0
Fy 0 FN1 P cos 0
又 M 1max FN1 解得
基本要求：
1 掌握滑动摩擦定律和滑动摩擦曲线。 2 能熟练计算考虑摩擦时物体的平衡问题（解析法）。 3 掌握摩擦角的概念和自锁现象。 4 能用摩擦角求解物体、物体系的平衡问题（几何法）。 5 了解滚动摩阻的概念。
重点：
考虑滑动摩擦的两类平衡问题（是否平衡与平衡范围）的求解方法。
难点：
1 能正确区分两类不同的平衡问题。 2 正确判断摩擦力的方向及正确应用摩擦库仑定理。
d
FN Fs
例4-4 （2）设木箱将要滑动时拉力为 F 1 Fx 0 Fs F1 cos 0
Fy 0
F12 F
FN P F1 sin 0
d
又 Fs Fmax f s FN
fs P F1 1876N cos f s sin
FN Fs
设木箱有翻动趋势时拉力为 F 2 a M A 0 F2 cos h P 0
例4-1 用几何法求解(利用摩擦角、全约束力概念） 解: 物块有向上滑动趋势时（临界状态）
法线
FF 1max
f F R
P +f F R
F 1max

P
F1max P tan( f )
例4-1 物块有上滑趋势时
F1max P tan( f )
物块有向下滑动趋势时（临界状态）
tan f f s 0.1 f 5o 43'
为保证螺旋千斤顶自锁，取θ=4°～ 4.5°
§4-3 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前
面基本相同。 几个新特点
1.画受力图时，必须考虑摩擦力； 2.严格区分物体处于临界、非临界状态； 3.因 0 Fs Fmax，问题的解有时在一个范围内。
例4-1 已知：物体重P , 放在倾角为 的斜面上 , 物体与 斜面间静摩擦因数为 fs 求：使物块静止的水平推力 F y 解：使物块有上滑趋势时，推力为 F 1 画物块受力图 F F1 Fx 0, F s1 F1 cos P sin Fs1 0 F N1 P Fy 0, F1 sin P cos FN1 0
F1

R
FN
F max
处于临界滑动状态
Fmax f s FN F2
F2 f s FN 一般情况下， f s 或 f s R R F1 F2 或 F1 F2
Mmax
例：某型号车轮半径 R=450mm， 混凝土路面δ=3.15mm，fs=0.7
F2 f s R 0.7 350 100 F1 3.15
2. 动滑动摩擦力
动滑动摩擦力的特点
方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向； 大小：F= f FN f ——动摩擦因数 多数材料通常情况下 f <fS
f
fs
f v
某些材料的摩擦因数的约值
fs 钢与钢 钢与铸铁 砖与混凝土 0.15 0.3 0.76 f 0.15 0.18
土与木材
土与混凝土 皮革与铸铁 木材与木材 石与砖或砖与砖
最大滚动摩阻力偶
滚动摩阻定律
M max FN
M max d FN
δ——滚动摩阻系数，长度量纲，单位：mm δ的物理意义
d
滚动摩阻系数可看作即将滚动时， 法向约束反力离中心线的最远距离
F max
Mmax
临界滚动状态
讨论：使圆轮滚动比滑动省力的原因 处于临界滚动状态
M max FN F1 R
M A 0
d FN (a ) FB d FBN b 0 2 FA f s FAN FB f s FBN
b a 2 fs
推杆不被卡住时
b a 2 fs
例4-2 用几何法求解
d d 解： b (a极限 ) tan (a极限 ) tan 2 2
2a极限 tan 2a极限 f s
Fs F cos 0 FN P F sin 0 Fs 866 N
FN 4500 N
解： （1）取木箱，设F=1kN 其处于平衡状态。
Fx 0
Fy 0
a M A 0 hF cos P FN d 0 2
d 0.171m
而 Fmax f s FN 1800 N 因 Fs Fmax , 木箱不会滑动 又 d 0 , 木箱无翻倒趋势 木箱平衡
Fy 0
又
(b)
FN1 P cos 0
FTmin P(sin
M 1max FN1
联立解得

R
cos )
设圆柱O有向上滚动趋势， 取圆柱O
M A 0
P sin R FTmax R M 2 max 0 FN 2 P cos 0 Fy 0 又 M 2 max FN 2 max P(sin cos ) 联立解得 FT
法线
FF 1min
P

f
–f
FR
P
F 1min
FR
F1min P tan( f )
当θ<φf ，F1min<0
说明无须水平推力物块也能静止
斜面自锁条件 f
讨论
已知： P 1500N , f s 0.2 , f 0.18 , F 400N 求：物块是否静止，摩擦力的大小和方向
R 只滚不滑时，应有 Fs f s FN1 f s P cos
Fs

P cos
(b)
同理，圆柱O有向上滚动趋势时， 得 f s R 圆柱匀速纯滚时， f s . R
则 fs

R
作
业
P. 126 习题 4-1, 4-2, 4-10
例4-3
已知：物块重 P ， fs ，鼓轮重心位于O1处， 闸杆重量不计，各尺寸如图所示。 求： 制动鼓轮所需铅直力F
讨论 已知： P 1500N , f s 0.2 , f 0.18 , F 400N
解： 取物块，画受力图，设物块平衡 Fx 0 F cos 30o P sin 30o Fs 0 Fy 0 F sin 30o P cos30o FN 0 Fs 403 .6 N (向上) FN 1499 N
法线
FF 1min
P

f
–f
FR
P
F 1min
FR
F1min P tan( f )
P tan( f ) F P tan( f )
例4-1
法线 法线
FF 1max

f F R
FF 1min
P + F R f
–f
f
P

P
F 1max
FR
y x
Fs2 f s FN2
sin f s cos F2 P cos f s sin
F F2
F s2

P
F N2
sin f s cos sin f s cos F2 PF P F1 cos f s sin cos f s sin
例4-5
已知：半径为R的滑轮B上作用有力偶，轮上绕有细绳拉住半 径为R、重为P的圆柱。斜面倾角为θ，圆柱与斜面间的滚动摩 阻系数为δ。
求： （1）使系统平衡时，力偶矩MB （2）圆柱匀速纯滚动时， 静滑动摩擦因数的最小值
（1）设圆柱O有向下滚动趋势，取圆柱O 解：
M A 0 P sin R FTmin R M 1max 0
0.3—0.65
0.3—0.4 0.3—0.5 0.4—0.6 0.5—0.73 0.2—0.5
§4-2 摩擦角和自锁现象
1. 摩擦角 FR ——全约束力
物体处于临界平衡状态时， 全约束力和法线间的夹角 ——摩擦角
临界状态（即将滑动） 静止