第5章 摩 擦5-1 如图5-1a 所示，置于V 型槽中的棒料上作用1力偶，力偶矩m N 15⋅=M 时，刚好能转动此棒料。
已知棒料重力N 400=P ，直径m 25.0=D ，不计滚动摩阻。
求棒料与V 形槽间的静摩擦因数f s 。
(a)(b)图5-1解 圆柱体为研究对象，受力如图5-1b 所示，F s1，F s2为临界最大摩擦力。
0=∑x F ，045cos 2s 1N =°−+P F F （1） 0=∑y F ，045sin 1s 2N =°−−P F F （2） 0=∑O M ，0222s 1s =−+M DF D F（3）临界状态摩擦定律：1N s 1s F f F =（4） 2N s 2s F f F =（5）以上5式联立，化得 0145cos s2s =+°−MPDf f 代入所给数据得01714.4s 2s =+−f f 方程有2根：442.4s1=f （不合理）， 223.0s2=f （是解）故棒料与V 形槽间的摩擦因数223.0s =f5-2 梯子AB 靠在墙上，其重力为N 200=P，如图5-2a 所示。
梯长为l ，并与水平面交角°=60θ。
已知接触面间的静摩擦因数均为0.25。
今有1重力为650 N 的人沿梯向上爬，问人所能达到的最高点C 到点A 的距离s 应为多少？AN F As F(a)(b)图5-2解 梯子为研究对象，受力如图5-2b 所示，刚刚要滑动时，A ，B 处都达最大静摩擦力。
人重力N 650=W ，平衡方程： 0=∑x F , 0s N =−A B F F （1） 0=∑y F , 0s N =−−+W P F F B A（2）0=∑A M ，060cos 60sin 60cos 60cos 2s N =°−°−°+°l F l F Ws lPB B （3） 临界补充方程：A s A F f F N s = （4）B s B F f F N s =（5）联立以上5式，解得 N 80012sN =++=f WP F A ，N 200s =A F N 200)(12s N =++=W P f f F sB ，N 50s =B F l PF f W l s B 456.02)3[(N s =−+=5-3 2根相同的匀质杆AB 和BC ，在端点B 用光滑铰链连接，A ，C 端放在不光滑的水平面上，如图5-3a 所示。
当ABC 成等边三角形时，系统在铅直面内处于临界平衡状态。
求杆端与水平面间的摩擦因数。
N(a)(b)图5-3解 由于结构对称与主动力左右对称，约束力也对称，只需取1支杆AB 为研究对象，受力如图5-3b 所示，临界平衡时，A 端达最大静摩擦力，设AB=BC=l ，则 0=∑y F ，0N =−P F （1） 0=∑B M ，030sin 230sin 30cos N =°+°−°lP l F l F （2） 临界摩擦力为：N s F f F =（3）解得287.0321s ==f5-4 攀登电线杆的脚套钩如图5-4a 所示。
设电线杆直径mm 300=d ，A ，B 间的铅直距离mm 100=b 。
若套钩与电杆之间摩擦因数5.0s =f ，求工人操作时，为了完全，站在套钩上的最小距离l 应为多大。
解 套钩为研究对象，受力如图5-4b 所示，设工人站在保证安全的最小min l 处，此时钩与电杆接触点A ，B 都达最大静摩擦力，方向向上。
0=∑x F ， 0N N =−B A F F （1）0=∑y F ， 0s =−+P F F sB A（2）(a) (b)图5-4=∑AM，02(sNmin=+++−dFbFdlPBB（3）临界摩擦力：AAFfFNss=（4）BBFfFNss=（5）式（1）、（2）、（4）、（5）联立，解得2ssPFFBA==，sNN2fPFFBA==代入式（3），得22)2(smin=⋅+⋅++−bfPdPdlPmm100min==bl5-5不计自重的拉门与上下滑道之间的静摩擦因数均为sf，门高为h 。
若在门上h32处用水平力F拉门而不会卡住，求门宽b的最小值。
问门的自重对不被卡住的门宽最小值是否有影响？ENF(a)(b)图5-5解（1）不计自重时受力如图5-5b所示=∑yF，AEFFNN==∑xF，AEFFFss+=，EEFfFNss=，AAFfFNss=AEFFss=，AFFs2==∑EM，032minNs=⋅−−bFhFhFAA综上化得34smin=−−fbhhs min3f b h = ，3s min h f b = （2）考虑门自重W （位于门形心，铅垂向下，图中未画出）时，受力如图5-5b 所示0=∑y F ，A E F W F N N +=0=∑x F ，A E F F F s s +=临界摩擦力：E EF f F N s s =，A A F f F N s s =0=∑E M ,02132s N =+⋅+×+×−h F b F b W h F A A解得)31(3131s s 2s s FW h f h f h f F W h f b ⋅+=+=当门被卡住时，无论力F 多大，门仍被卡住，得 3s min hf b =可见，门重与此门宽最小值无关。
5-6 平面曲柄连杆滑块机构如图5-6a 所示。
l OA =，在曲柄OA 上作用有1矩为M 的力偶，OA 水平。
连杆AB 与铅垂线的夹角为θ，滑块与水平面之间的摩擦因数为s f ，不计重力，且s tan f >θ。
求机构在图示位置保持平衡时F 力的值。
NF(a) (b) (c)图5-6解 （1）研究对象AO ，受力如图5-6b 所示 0=∑O M M l F AB =⋅θcos ，θcos ⋅=l MF AB（1）（2）研究对象为滑块B ，受力如图5-6c 所示，这里假设F 较小，B 有向右滑趋势： 0=∑x F ，0cos sin s '=−−F F F AB βθ（2）0=∑y F ，0sin cos 'N =−−βθF F F ABβθsin cos 'N F F F AB +=补充方程： N s s F f F =)sin cos ('s s βθF F f F AB += （3）式（1）代入式（3），得)sin (s s βF lMf F += （4）式（1）、（4）代入式（2），得0)sin (cos sin cos s =+−−ββθθF l Mf F l M)sin (cos )(tan s s ββθf F f lM+=−令ϕtan s =f ，则)sin tan (cos )tan (tan βϕβϕθ+=−F lM)cos()sin(cos )sin cos sin (cos )cos sin cos sin (ϕβϕθθβϕϕβϕϕθθ−−⋅=+−=l M l M F F 较大时，滑块B 滑动趋势与图c 相反，即摩擦力F s 与图c 所示相反，则此时式（1），（4）不变，式（2）变为0cos sin s '=+−F F F AB βθ 式（1），（4）代入上式，得0)sin cos sin cos s s =++−ββθθF f l Mf F l M)sin (cos )(tan s s ββθf F f lM−=+)sin (cos )(tan s s ββθf l f M F −+=同样令ϕtan s =f ，则)cos(cos )sin(ϕβθϕθ++=l M F 以上2个F 是使系统保持平衡的F 的最小与最大值，在两者之间的F 都能保持平衡，即)cos(cos )sin()cos(cos )sin(ϕβθϕθϕβθϕθ++≤≤−−l M F l M5-7 轧压机由两轮构成，两轮的直径均为mm 500=d ，轮间的间隙为mm 5=a ，两轮反向转动，如图5-7a 上箭头所示。
已知烧红的铁板与铸铁轮间的摩擦因数1.0s =f ，问能轧压的铁板的厚度b 是多少？提示：欲使机器工作，则铁板必须被两转轮带动，亦即作用在铁板A 、B 处的法向反作用力和摩擦力的合力必须水平向右。
(a)图5-7解 铁板主要受力为两轮的正压力A N F 、B N F 及摩擦力A s F 、B s F ，如图5-7b 所示。
由于两轮对称配置，可设N N N F F F B A ==，F F F B A ==s s合力水平向右，即θθsin 2cos 2N F F −≥0， N /F F ≥θtan 又由摩擦定律s N /f F F ≤比较上2式，可见s tan f =θ由几何关系ba db a d d ba db a d d −+−+−=−+−+−=2222)(2)2()2(tan θ得s 22)()(f b a d b a d d −+≤−+−，2s1)(f d d a b +−+≤将212s )1(−+f 展开，略去4s f 项及其后各项，可得mm 5.722s =+≤f d a b 5-8 鼓轮利用双闸块制动器制动，设在杠杆的末端作用有大小为200 N 的力F ，方向与杠杆相垂直，如图5-8a 所示，自重均不计。
已知闸块与鼓轮间的摩擦因数5.0s =f ，又m 5.022121=======L O KL A O CD KD O O R ，m 75.01=B O ，m 11==D O AC ，m 25.0=ED ，求作用于鼓轮上的制动力矩。
1(a)(b)图5-8解 (1) 杆B O 1为研究对象，受力如图5-8b 所示的下部。
01=∑O M ，011=⋅−⋅B O F A O F AC ，N 30011==F A O BO F AC 由几何关系5225.050.050.0cos 22=+==KEKDθ（2）杆CDE 为研究对象，受力如图5-8b 所示的上部。
0=∑D M ，0cos '=⋅−⋅DC F DE F AC KE θ，AC KE F F 5=0=∑x F ，0cos =−θKE Dx F F ，N 6002cos ===AC KE Dx F F F θ（3）杆O 1D 为研究对象，受力如图5-8b 所示的右部。
01=∑O M ， 0211N 1'=⋅−⋅D O F D O F Dx ，N 20012'1N ==Dx F F（4）杆K O 2为研究对象，受力如图5-8b 所示的左部。
02=∑O M ，0cos 22'22N =⋅−⋅K O F K O F KE θ N 20014cos 2'2N ===AC KE F F F θ由摩擦定律N 6005.01N 1s ==F F ，N 6005.02N 2s ==F F(5) 鼓轮为研究对象，受力如图5-8b 所示的中部，由平衡条件得制动力矩为m N 300)('s2's1⋅=+=R F F M5-9 砖夹的宽度为0.25 m ，曲杆AGB 与GCED 在点G 铰接，尺寸如图5-9a 所示。