正弦定理的几种证明
内蒙古赤峰建筑工程学校 迟冰 邮编（024400）
正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题（测量）的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，体验数学的探索活动过程，也有利于教师根据不同的教学质量要求和学次，进行适当的选择。

C c
B b
A a
C B A c b a ABC sin =sin =sin ,,,,:则：和中的三边和三角分别是
在正弦定理的内容：
∆
一向量法
C c
B b
A a
B b A a
C
c
C CB i A CB AC i AB i AC i
ABC sin sin sin :sin sin sin sin ||||sin |
)
(,⊥===
==+∙=∙∆即正弦定理可证
同理可证：，则：中做单位向量
证明：在
即正弦定理可证
同理可证：即中
和则在中做高线证明：在,
sin =sin ,sin =s sin =sin sin =,
sin =,
C c
A a
B b
inA a
B a A b B
a CD A
b CD BDC Rt ADC Rt CD ABC ∆∆∆
三外接圆法
C c
B b
A R
C c
R A a R
B b
B R b B
D a D R b Rt CAD R
AD D C O ABC sin sin sin a ∴2sin ,2sin :2sin ,sin 2∴∠∠,sin ,∴,
,,========∆∆∆同理即且且为设圆的半径为连接连接圆心与圆交于点过点的外接圆证明：做
四面积法 C c
B b
A a
B ac
C ab A bc S ABC sin sin sin ∴sin 21sin 2
1
sin 21=====∆正弦定理可证：。