一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 在 y 轴正半轴上，点 B 的坐标为
（4，m）（5≤m≤7），反比例函数 y＝ 16 （x＞0）的图象交边 AB 于点 D． x
（1）用 m 的代数式表示 BD 的长； （2）设点 P 在该函数图象上，且它的横坐标为 m，连结 PB，PD ①记矩形 OABC 面积与△ PBD 面积之差为 S，求当 m 为何值时，S 取到最大值； ②将点 D 绕点 P 逆时针旋转 90°得到点 E，当点 E 恰好落在 x 轴上时，求 m 的值．
OA OB COA DOB ，∴ △ AOC≌ △ BOD，∴ AC=BD； CO OD
（3）①如图 3 中，当 A、C、D 共线时，作 OH⊥AC 于 H．
在 Rt△ COH 中，∵ OC=1，∠ COH=30°，∴ CH=HD= 1 ，OH= 3 ．在 Rt△ AOH 中，
2
2
AH= OA2 OH 2 = 13 ，∴ BD=AC=CH+AH= 1 13 ．
2
2
最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
【解析】
分析：（1）如图 1 中，易知当点 D 在线段 AD 和线段 AD 的延长线上时，OC∥ AB，此时旋 转角 α=60°或 240°．
（2）结论：AC=BD．只要证明△ AOC≌ △ BOD 即可． （3）在图 3、图 4 中，分别求解即可． （4）如图 5 中，由题意，点 C 在以 O 为圆心，1 为半径的⊙O 上运动，过点 O 作 OH⊥AB 于 H，直线 OH 交⊙O 于 C′、C″，线段 CB 的长即为 PC 的最大值，线段 C″H 的长即
为 PC 的最小值．易知 PC 的最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、
勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属 于中考压轴题．
为 PC 的最小值．易知 PC 的最大值=3，PC 的最小值= 3 ﹣1．
详解：（1）如图 1 中，∵ △ ABC 是等边三角形，∴ ∠ AOB=∠ COD=60°，∴ 当点 D 在线段 AD 和线段 AD 的延长线上时，OC∥ AB，此时旋转角 α=60°或 240°．
故答案为 60 或 240； （2）结论：AC=BD，理由如下： 如图 2 中，∵ ∠ COD=∠ AOB=60°，∴ ∠ COA=∠ DOB．在△ AOC 和△ BOD 中，
解：（1）∵ 四边形 OABC 是矩形， ∴ AB⊥x 轴上， ∵ 点 B（4，m）， ∴ 点 D 的横坐标为 4，
∵ 点 D 在反比例函数 y＝ 16 上， x
∴ D（4，4）， ∴ BD＝m﹣4； （2）①如图 1，∵ 矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为（4，m）， ∴ S 矩形 OABC＝4m， 由（1）知，D（4，4），
∴ CD=DF=DE=6．∵ S△ BCE=2S△ ACD，∴ AF=2AD，∴ AD= 1 ×6=2，∴ AE=AD+DE=2+6=8． 1 2
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离 相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全 等三角形是解题的关键． 4．正方形 ABCD 的边长为 1，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是 AB 边上的一个动点 （点 E 不与点 A、B 重合），CE 与 BD 相交于点 F，设线段 BE 的长度为 x．
CE CF ∵ ACF BCE ，∴ △ ACF≌ △ BCE（SAS），∴ AF=BE，∴ AD=AF+DF=BE+DE，即
AC BC
AD=BE+DE； 故答案为：AD=BE+DE． （3）∵ ∠ DCE=∠ DCF=∠ PCQ=45°，∴ ∠ ECF=45°+45°=90°，∴ △ ECF 是等腰直角三角形，
∴ m（m﹣4）＝16，
∴ m＝2+2 5 或 m＝2﹣2 5 （舍）．
【点睛】 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全 等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键．
2．在等边△ AOB 中，将扇形 COD 按图 1 摆放，使扇形的半径 OC、OD 分别与 OA、OB 重 合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△ AOB 不动，让扇形 COD 绕点 O 逆时针旋转，线 段 AC、BD 也随之变化，设旋转角为 α．（0＜α≤360°）
2
2
如图 4 中，当 A、C、D 共线时，作 OH⊥AC 于 H．
易知 AC=BD=AH﹣CH= 13 1 ． 2
综上所述：当 A、C、D 三点共线时，BD 的长为 13 1 或 13 1 ；
2
2
（4）如图 5 中，由题意，点 C 在以 O 为圆心，1 为半径的⊙O 上运动，过点 O 作
OH⊥AB 于 H，直线 OH 交⊙O 于 C′、C″，线段 CB 的长即为 PC 的最大值，线段 C″H 的长即
∴ S△ PBD＝ 1 （m﹣4）（m﹣4）＝ 1 （m﹣4）2，
2
2
∴ S＝S 矩形 OABC﹣S△ PBD＝4m﹣ 1 （m﹣4）2＝﹣ 1 （m﹣8）2+24，
2
2
∴ 抛物线的对称轴为 m＝8，
∵ a＜0，5≤m≤7，
∴ m＝7 时，S 取到最大值；
②如图 2，过点 P 作 PF⊥x 轴于 F，过点 D 作 DG⊥FP 交 FP 的延长线于 G，
求得 OF=OM= 解方程
，即可得到结果；
（2）过 P 作 PG⊥AB 交 AB 的延长线于 G，如图 2，根据已知条件得到∠ ECB=∠ PEG，根据
全等三角形的性质得到 EB=PG=x，由三角形的面积公式得到 S= （1﹣x）•x，根据二次函数 的性质即可得到结论． 试题解析：（1）过 O 作 OM∥ AB 交 CE 于点 M，如图 1， ∵ OA=OC， ∴ CM=ME， ∴ AE=2OM=2OF， ∴ OM=OF，
（1）如图 1，当 AD=2OF 时，求出 x 的值； （2）如图 2，把线段 CE 绕点 E 顺时针旋转 90°，使点 C 落在点 P 处，连接 AP，设△ APE 的面积为 S，试求 S 与 x 的函数关系式并求出 S 的最大值． 【答案】（1）x= ﹣1； （2）S=﹣ （x﹣ ）2+ （0＜x＜1）， 当 x= 时，S 的值最大，最大值为 ，． 【解析】 试题分析：（1）过 O 作 OM∥ AB 交 CE 于点 M，如图 1，由平行线等分线段定理得到 CM=ME，根据三角形的中位线定理得到 AE=2OM=2OF，得到 OM=OF，于是得到 BF=BE=x，
3．如图：在△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=BC，∠ PCQ=45°，把∠ PCQ 绕点 C 旋转，在整个旋 转过程中，过点 A 作 AD⊥CP，垂足为 D，直线 AD 交 CQ 于 E． （1）如图①，当∠ PCQ 在∠ ACB 内部时，求证：AD+BE=DE； （2）如图②，当 CQ 在∠ ACB 外部时，则线段 AD、BE 与 DE 的关系为_____； （3）在（1）的条件下，若 CD=6，S△ BCE=2S△ ACD，求 AE 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ PDQ 是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理 由见解析. 【解析】 试题分析：（1）由正方形的性质得出 AB=BC=CD=AD，∠ B=∠ ADF=90°， ∠ BCA=∠ DCA=45°，由 BE=DF，得出 CE=CF，△ CEF 是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出 PD= AF，PQ= AF，得出 PD=PQ，再证明 ∠ DPQ=90°，即可得出结论；
（1）当 OC∥ AB 时，旋转角 α＝
度；
发现：（2）线段 AC 与 BD 有何数量关系，请仅就图 2 给出证明．
应用：（3）当 A、C、D 三点共线时，求 BD 的长．
拓展：（4）P 是线段 AB 上任意一点，在扇形 COD 的旋转过程中，请直接写出线段 PC 的
最大值与最小值．
【答案】（1）60 或 240；(2) AC=BD，理由见解析；（3） 13+1 或 13 1 ；（4）PC 的
∴ ∠ DGP＝∠ PFE＝90°，
∴ ∠ DPG+∠ PDG＝90°，
由旋转知，PD＝PE，∠ DPE＝90°，
∴ ∠ DPG+∠ EPF＝90°，
∴ ∠ PDG＝∠ EPF，
∴ △ PDG≌ △ EPF（AAS），
∴ DG＝PF，
∵ DG＝AF＝m﹣4，
∴ P（m，mLeabharlann 4），∵ 点 P 在反比例函数 y＝ 16 ， x
， ∴ △ EPG≌ △ CEB， ∴ EB=PG=x， ∴ AE=1﹣x，
∴ S= （1﹣x）•x=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣ ）2+ ，（0＜x＜1）， ∵ ﹣ ＜0， ∴ 当 x= 时，S 的值最大，最大值为 ，．
考点：四边形综合题 5．如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC，CD 上，且 BE=DF，点 P 是 AF 的中 点，点 Q 是直线 AC 与 EF 的交点，连接 PQ，PD． （1）求证：AC 垂直平分 EF； （2）试判断△ PDQ 的形状，并加以证明； （3）如图 2，若将△ CEF 绕着点 C 旋转 180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立 吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
∴
，
∴ BF=BE=x，
∴ OF=OM= ， ∵ AB=1，
∴ OB= ，