草原鼠患问题一、摘要针对题目所提要求，我们建立了两个模型，分别用于对鼠患发展趋势做短期和中长期的预测。

基本完成题目中所给的任务。

为了对鼠患问题做短期的预测，考虑到题目所给的数据资料的不全面，我们由网上资料得到启发，针对现今的草原鼠患的特点，把老鼠的增长率对鼠患问题起主要作用的因素作为建模的关键参数，我们建立了两个模型，对鼠的数量做了合理的预测和分析，其中用到了微分方程和差分方程模型。

在附件中没有给出草原近年鼠患的情况下，建立了短期内预测鼠患的微分方程模型。

得到鼠在第t月有i个月大的出生率、死亡率、生育率，第(t+1)月有(i+1)月大的数量等。

较准确的估计出了老鼠增长的关键参数，使得建立的鼠患短期预测模型符合实际。

关键词：短期中长期微分方程差分方程出生率、死亡率、生育率。

二、问题重述2.1建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题；2.2 对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行的建议；2.3 通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等）搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。

三、模型的假设假设1：我们的天气预报能够较准确的预测几天内的气候情况；假设2：所施鼠药是目前最普及最有效的化学鼠药(性价比较好);假设3：草的退化周期是固定的；假设4：草原鼠生活在固定区域不会迁移;假设5：草原鼠以长爪沙鼠为主;四、问题的分析草原鼠患问题不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被，草原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自动退化，所以在一段时间内退化是有周期性的，要周期性补种。

对于老鼠的数量影响主要受三方面因素限制：1、灭鼠药2、老鼠的天敌3、茂密的牧草种植。

其中撒灭鼠药，引入老鼠天敌短期见效，撒灭鼠药长期不宜使用，引入天敌以现今的技术不能大规模使用,人工种植牧草可以长期实施，可以产生效益，具有周期性。

草原鼠患问题中老鼠是影响生态的主要因素，暂且不考虑其它的因素或将其他影响的因素看作相对稳定。

解决方案：考虑到三种方法的各自优势及长短期效应。

我们建议在种草最佳时机靠前一段时间投放鼠药（有一个最佳投放量），初见药效随之种草，在药效衰减到不能间接危害到老鼠天敌的时候引入银狐来灭鼠。

第一步：先使用灭鼠药（因为这种方法在短期内是最有效的且使用费用极少，而引入天敌的方法费用太过昂贵，人工种植牧草冒然使用反而会使老鼠增多）第二步：等灭鼠药见效后，大批老鼠死亡，然后人工种植牧草（这样一来等牧草生长茂密，老鼠就无法生存，虽然会有少量活的老鼠吃牧草籽，但老鼠毕竟是少量的，而牧草是大量的，所以老鼠对牧草的影响可以忽略，而之所以不能马上引入天敌是因为老鼠药会对他们造成间接伤害）第三步：灭鼠药药效衰减到不能对老鼠的天敌进行间接伤害时，再逐步引入狐（因为狼会造成社会问题，而鹰不能产生经济效益），来起到遏制因为灭鼠药所带来的负作用，减缓老鼠的增长趋势或者制止老鼠的增长。

而且待牧草长好以后可以配合起来解决鼠患。

控制老鼠天敌的数量，使达到新的生态平衡，重建稳定的生物链，限制草原老鼠在一个不能形成鼠患的范围之内！注意；草原区域选定，老鼠狐狸习性，草场生长周期，对每种方法深入研究，每种方法在实施过程中会相互制约（是否为线性规划）。

五、符号说明q(t) 表示任意时刻老鼠的数量; b 为出生率; d 为自然死亡率;d n 是第n 次投药后老鼠死亡率;C 表示老鼠与天敌的接触几率;六、模型的建立与求解模型一：对草原鼠的数量进行预测（1）不考虑鼠的迁移，建立某一区域鼠的增长预测模型我们从所得资料知，鼠的最大年龄为2~3年（即24~36月），最大年龄为m=3; ()x t i为第t 月有i 个月大的鼠数量，()d t i为第t 月有i 个月大的死亡率。

由鼠的死亡率数据为所占该类年龄段的百分比。

鼠在第t 月有i 个月大的死亡率为：,0,1,2, (1)0,1,2...i m t =-=则第(t+1)月有(i+1)月大的数量为：(1)(1())()1x t d t x t i ii +=-+ （1）记()d t i为该区第t 月有i 个月大母鼠生育率，该生育率表示所有i 个月母平均生育鼠个数，生育率为该年龄母鼠生育子女与该类年龄母鼠的百分比，,12i i⎡⎤⎥⎢⎦⎣为育龄区间（根据资料知7月大到36月（3岁）大为育龄区间），()k t i为该区第t 月有i 个月大母鼠的数量比率，则该区第t 月的出生个数f(t)为：2()()()()1i f t b t k t x t i i i i i =∑= （2）考虑到鼠子并不是全部都能活到t 月，其中有些由于母鼠死亡无人喂养而死，能活到七月的鼠子数是()0x t ,因此，()()0f t x t -就是1t -年到t 月的鼠子死亡数，记鼠子的死亡率为()c t ,则()()0()100%()f t x t c t f t -=⨯于是第t 月的鼠子数：()(1())()0x t c t f t =- （3）由(1)(2)(3)式得在(t ＋1)年的一岁大的鼠的个数为：2(1)(1())(1())(()()())101i x t c t d t b t k t x t i i i i i +=--∑= （4）令()()()b t t h t i iβ= （5）其中，()h t i 是生育模式，用以调整育龄母鼠在不同年龄时的生育率高低：2()11i h t i i i =∑= ()t β是该区母鼠的总和生育率：记()(1())(1())()()0b tc td t h t k t i i i *=--得，2(1)()()()11i x t t b t x t i i i iβ*+=∑=则我们得到该区鼠的个数差分方程模型为：()(1())()02(1)()()()11(1)(1())()1x t c t f t i x t t b t x t i i i ix t d t x t i i i β=-*+=∑=+=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 表示为矩阵形式为：()()()()0000121()00001()00()0001()00010t b t t b t i id t i d t A t i d t m m mββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦*--=--⨯记则，(1)()()X t X t A t +=模型二：完成任务1即对三种灭鼠方案的评估： 多次使用灭鼠药后鼠的增长率： 第一次投药后鼠量的增长率：()11bq d q b d q dt=-=- 01t t t ∈第二次投药后鼠量的增长率：()2dqb d q dt=- [,]12t t t ∈第n 次投药后鼠量的增长率：()dqb d q n dt=- [,]1t t t n n ∈-由于鼠对一种药的抗药性，使得有如下关系式：引入天敌后鼠量变化率：11121dqbq cq q dq dt=--22dqm q dt= 植草后鼠量变化率：aq dt=， 0a >在不引进天敌和用药的情况下，不断种草相当于给老鼠储粮，老鼠数量将持续增加，在草没有对老鼠造成危胁之前，草种已经被老鼠当粮食吃掉。

单从分别利用方案（1）（2）（3）后老鼠增长率这个指标看，短期内使用灭鼠药是可行的，但是考虑到抗药性以及食用中毒老鼠的动物的二次中毒，方案（1）是不宜多次或长期使用的。

第（2）种方案会明显限制老鼠的增长率，但是一次性引入天敌的数量不易掌握。

第（3）种单独使用不能控制鼠患。

鼠患主要由两方面造成： （1）天敌被大量捕杀;（2）天气干旱，牧草稀少，为了长期有效解决鼠患问题，我们提出以下方案：在种草最佳时机靠前一段时间投放鼠药（有一个最佳投放量），初见药效随之种草，在药效衰减到不能间接危害到老鼠天敌的时候引入银狐来灭鼠。

三种方案的层次分析图：由我们现阶段所得的材料和知识我们分阶段实施三种方案，且三种方案搭配实施。

10个，横轴表示实施方案的时期上图纵轴表示鼠的数量级数是7长度。

我们在初始开始投放鼠药（即0——1阶段），紧接着种草（即1——9阶段），当我们检测到鼠药失效后引进鼠的天敌（据我们推测大约在6——10阶段）。

在实施第一种方案后，鼠的鼠量急剧下降，使鼠患问题暂时解决。

但是，这种状态是不长久的。

实施第一种方案后鼠的数量变化图如下：负值部分表示鼠的减少量，即浅蓝色部分。

正值部分表示鼠患数量。

综上，根据我们的方案可以很好的消除鼠患。

七、模型的优点和缺点我们分析了所给三种方案的好坏，并且给出了合理的实施方案。

层次分明、模型合理。

缺点还是有的，我们的数据不够完整，没有对模型定量的进行检测。

八、参考文献【1】姜启源叶其效等数学建模（原书第3版）北京：机械工业出版社，2005.1【2】张德丰Matlab数值分析与应用北京：国防工业出版社，2007.1【3】汪国强数学建模优秀论文案例选编广州：华南理工大学出版社，1998.8九、附录长爪沙鼠：寿命2～3年,生后3～4个月性成熟，通常5～6个月配种，性周期4～6天，妊娠期24～26天，哺乳期21天，成年雌鼠体重60～75克，雄性70～80克社会背景一：蒙宁甘草原区: 西部则干燥，蒸发强烈，只具有耐盐、耐旱的半灌木、灌木的生长条件。

本区是典型的季风气候。

冬季盛行大陆极地气团，寒冷干燥；夏季为热带海洋气团所控制，温湿多雨；春、秋两季正处于两者之间的过渡类型，气候变化多端。

年降水量由东部的300毫米降至西部的100毫米左右，内陆中心甚至在50毫米以下，而年蒸发量则高达1500～3 000毫米，为降水量的数倍至数十倍。

土壤为栗钙土、棕钙土、灰棕荒漠土等。

牧草种类丰富，饲用植物达900多种，其中优良牧草200多种，如羊草、披碱草、雀麦草，狐茅、针茅、隐子草、冰草、早熟禾、野苜蓿、草木栖、冷蒿、野葱、锦鸡儿等，青嫩多汁，营养丰富，各种牲畜都爱吃内蒙古草原是本区的主体西部和南部海拔1000～1500米，包括呼伦贝尔草原、锡林郭勒草原、乌兰察布草原和黄河南岸的鄂尔多斯草原以及西部的阿拉善荒漠草原。

社会背景二：内蒙古呼伦贝尔市新巴尔虎右旗牧民达木丁苏荣又在望着自己家承包的草场发愁。

到昨天为止，他家已经接了500只春羔，但春天育羔的草场却被老鼠吃得所剩无几。

进入4月中旬，呼伦贝尔大草原本应该是“草色遥看近却无”的时节，但是由于去冬今春降水量偏低，干旱严重，青草至今还看不到踪影。

而严重的干旱常常成了鼠害产生的温床。

有关部门调查，鼠害最为严重的是新巴尔虎右旗。

这个旗的鼠害面积达800多万亩，占全旗草场的40%。

当地草原工作站监测数据显示，新巴尔虎右旗生存着上亿只老鼠，每天可吃掉上千吨牧草。

本来春季牧草就十分短缺，如今加上严重的鼠害，已经形成老鼠和牛羊争牧草的局面在呼伦贝尔草原上为害的老鼠主要是布氏田鼠和长爪沙鼠。