2014山西省山大附中5月高考模拟数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分: 150分一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求） 1．已知集合{2,0,1,4}A =，集合{04,R}=<≤∈B x x x ，集合C A B =．则集合C可表示为 A ．{2,0,1,4}B ． {1,2,3,4}C ．{1,2,4}D ． {04,R}x x x <≤∈2．复数5)z i i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i + 3. 设γβα,,为平面，n m ,为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 A ．n m n ⊥=⋂⊥,,βαβα B ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,m C ．αγββα⊥⊥⊥m ,, D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,4．阅读如下程序框图，如果输出4i =，那么空白的判断框中应填人的条件是A ．?10≤SB ．?12≤SC ．?14≤SD ．?16≤S5．220sin2x dx π=⎰ A ．0 B ．142π- C ．144π- D ．12π-6．右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为A ．11B ．11.5C ．12D ．12.5 7．()9a b c ++的展开式中，432a b c 项的系数为A ．126B ．420C ．630D ．12608．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为A ．23πB ．3πC ．29π D．169π 9．过抛物线24y x =焦点F 的直线交其于,A B 两点，O 为坐标原点．若||3AF =，则AOB ∆的面积为A B C D ．10．由()y f x =的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到12sin(3)6y x π=-的图象，则()f x 为A ．312sin()26x π+B ．12sin(6)6x π-C ．312sin()23x π+D ．12sin(6)3x π+ 11．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象（部分）如下：A ．①④③②B ．①④②③C ．④①②③D ．③④②①12．定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x xe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量)1,(z x a -=，),2(z y b +=，且b a ⊥，若变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥5231y x xy x ，则z 的最大值为 ． 14．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为______．15．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，则这一行的4张卡片所标数字之和等于10的概率为 ．16．设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点,,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边,已知2220b b c -+=,则BC AO ⋅uu u r uuu r的范围是___________________．三、解答题： 17．（本小题满分12分）已知数列}{n a 中，51=a 且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n N ∈）．（Ⅰ）证明：数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．x公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》于2013年1月1日起正式实施，新规实施后，获取驾照要经过三个科目的考试，先考科目一（理论一），科目一过关后才能再考科目二（桩考和路考），科目二过关后还要考科目三（理论二）．只有三个科目都过关后才能拿到驾驶证．某驾校现有100名新学员，第一批参加考试的20人各科目通过的（Ⅰ）估计该驾校这100名新学员有多少人一次性（不补考）获取驾驶证；（Ⅱ）第一批参加考试的20人中某一学员已经通过科目一的考试，求他能通过科目二却不能通过科目三的概率；（Ⅲ）该驾校为调动教官的工作积极性，规定若所教学员每通过一个科目的考试，则学校奖励教官100元．现从这20人中随机抽取1人，记X 为学校因为该学员而奖励教官的金额数，求X 的数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，,//,,22,,PA AD AB CD CD AD AD CD AB E F ⊥⊥===分别为,PC CD 的中点，DE EC =（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面BEF ；（Ⅱ）设PA a =，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角[,]43ππθ∈，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知椭圆1C 的中心为原点O ，离心率e =2:C 22y px =的准线上，若抛物线2C 与直线: 0l x y -+=相切．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）当点(,)Q u v 在椭圆1C 上运动时，设动点(,)P v u u v 2-+的运动轨迹为3C ．若点T 满足：OT MN OM ON =+2+uu u r uuu r uuu r uuu r，其中,M N 是3C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为1-2，试说明：是否存在两个定点,F F 12，使得TF TF 12+为定值？若存在，求,F F 12的坐标；若不存在，说明理由．已知函数()(1)xf x x e-=+（e 为自然对数的底数）。

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()()'()xx xf x tf x e ϕ-=++，存在12,[0,1]x x ∈，使得成立122()()x x ϕϕ<成立，求实数t 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）. （Ⅰ）设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；（Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值．23．（本小题满分10分）选修4 – 5：不等式选讲 设函数()|21||2|f x x x =--+ （Ⅰ）求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式2()3f x t t ≥-在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围．山西大学附中山西大学附中2013—2014学年高三第二学期5月下数学试题（理科）答案一、选择题： CADAB CDDCB BA 二、填空题： 13．3 14．4π 15．935 16．1[,2)4- 三、解答题：17．解：（Ⅰ） ∵51=a 且1221nn n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）．∴设12n n na b -=，则： 15122b -==1111122n n n n n n a a b b +++---=-()111212n n n a a ++=-+⎡⎤⎣⎦()1112112n n ++⎡⎤=-+⎣⎦1=， ………4分由上可知，数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列． …………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()1111122n na a n --=+-⨯，即：()121nn a n =+⋅+． ……7分 ∴()()()()12122132121121n nn S n n -⎡⎤=⋅++⋅+++⋅+++⋅+⎣⎦．即()1212232212n n n S n n n -=⋅+⋅++⋅++⋅+．令()1212232212n n n T n n -=⋅+⋅++⋅++⋅， ①则()23122232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅． ② …………9分②－①，得()()12312222212n n n T n +=-⋅-+++++⋅12n n +=⋅．∴()11221n n n S n n n ++=⋅+=⋅+． …………12分18．解：（Ⅰ）由表中数据可知一次性（不补考）获取驾驶证的频率为110，估计这100名新学员中有100×110=10人； .................................................................... 3分 （Ⅱ）设―通过科目一、二、三‖分别为事件A ，B ，C ，则P =P (B C |A )=21126=....... 6分............................ 8分EY =0×25+1×25+2×110+3×110=910.................................................................................. 10分而X =100Y ，所以EX =100EY =100×910=90 ..................................................................... 12分 19．解： (Ⅰ) ,//CD AB ,AD CD ⊥22===AB CD AD ，F 分别为CD 的中点，ABFD ∴为矩形，BF AB ⊥ ················· 2分 EF DC EC DE ⊥∴=, ,又EF AB CD AB ⊥∴,// ⊥∴=AE E EF BF , 面BEF ,⊂AE 面ABE , ∴平面ABE ⊥平面BEF ·················· 4分(Ⅱ) EF DC EC DE ⊥∴=, ,又EF PD //，PD AB CD AB ⊥∴,//又PD AB ⊥,所以⊥AB 面PAD ,PA AB ⊥ ··················6分 建系AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴, 则)0,2,0(),0,0,1(D B ),0,0(a P ，)0,2,2(C ,)2,1,1(aE平面BCD 法向量1(0,0,1)n =，平面EBD 法向量)2,,2(2-=a a n ··········9分 ∴]22,21[452cos 2∈+=a θ，可得]5152,552[∈a . ·············12分 20．解：（I）由22220-0y pxy py x y ⎧=⎪⇒-+=⎨+=⎪⎩，抛物线2:C 22y px =与直线: -0l x y +=相切，240p p ∴∆=-=⇒=分∴抛物线2C 的方程为：2y =，其准线方程为：x =，离心率e =∴c e a ==∴2222, 2a b a c ==-=， 故椭圆的标准方程为 12422=+y x ……4分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(,)P x y ''，(,)T x y则2x v u y u v '=-⎧⎨'=+⎩1(2)31()3u y x v x y ⎧''=-⎪⎪⇒⎨⎪''=+⎪⎩当点(,)Q u v 在椭圆1C 上运动时，动点(,)P v u u v 2-+的运动轨迹3C2222111[(2)]2[()]44233u v y x x y ''''∴+=⇒-++= 2 2212x y ''⇒+=3C ∴的轨迹方程为：22212x y += (6)分由OT MN OM ON =+2+uu u r uuu r uuu r uuu r 得212111221212(,)(,)2(,)(,)(2,2),x y x x y y x y x y x x y y =--++=++12122,2.x x x y y y =+=+设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知12121,2OM ON y y k k x x ⋅==-因此121220,x x y y +=…………………………………………8分因为点,M N 在椭圆22212x y +=上，所以22221122212,212x y x y +=+=， 故222222121212122(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++2222112212121212(2)4(2)4(2)604(2).x y x y x x y y x x y y =+++++=++所以22260x y +=，从而可知：T 点是椭圆2216030x y +=上的点，∴存在两个定点,F F 12，且为椭圆2216030x y +=的两个焦点，使得TF TF 12+为定值，其坐标为12(F F ． (12)分21．解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R ，()xxf x e '=-……………………….2分 ∴当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<。