课程导报网 1第5期有效学案参考答案第5课时 12.3等腰三角形(1)【检测1】等边对等角；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高. 【检测2】提示：用“SAS ”证明△ADB ≌△ADC . 【问题1】证明：∵AB ＝AC ，AO ＝AO ，OB ＝OC ． ∴△AOB ≌△AOC (SSS)． ∴∠OAB ＝∠OAC ． ∵AB ＝AC ，∴AO ⊥BC .【问题2】设∠ACD ＝α，则∠EDC ＝α，∠A ＝∠AED ＝2α， ∠ACB ＝∠B ＝∠BDC ＝∠A ＋∠ACD ＝3α． 在△ABC 中，由内角和定理得2α＋3α＋3α＝180°， ∴α＝22.5°．∴∠A ＝2α＝45°. 1．D. 2．D .3．40°，40°；30°，120°或75°，75°. 4. 25. 5．105°. 6.（1）70°；（2）40°. 7．∠A=∠E ．理由：∵CB=CE ，∴∠E=∠CBE ．又∵AD ∥BC ，∴∠A=∠CBE ，∴∠A=∠E ． 8．∵DB=DC ，∴∠DBC=∠C=40°， ∴∠ADB=∠DBC+∠C=80°． ∵AB=DB ，∴∠A=∠ADB=80°． ∴∠ABD=180°-∠A-∠ADB=20°． 9．解：此题分三种情况．(1)当底边上的高与一腰的夹角是40°时，如图①，顶角是80°，从而两个底角是50°，50°；(2)当一腰上的高与另一腰的夹角是40°且高在三角形内部时，如图②，顶角是50°，从而两个底角是65°，65°；(3)当一腰上的高与另一腰的夹角是40°且高在三角形外部时，如图③，顶角是130°，从而两个底角是25°，25°．综上所述，三个角的度数为80°，50°，50°或50°，65°，65°或130°，25°，25°.10．（1）∵DA= DC ，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠CDB=60°．∵DB=DC ，∴∠B=∠DCB=60°，∴∠ACB=90°； （2）∠ACB=90°；（3）不论∠A•等于多少度（小于90°），∠ACB 总等于90°. 11．B.12．证明：连接DE ，DF ．∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ． 又∵BD ＝CF ，BE ＝CD ，∴△BDE ≌△CFD (SAS)． ∴DE ＝DF ．∵EG ＝GF ，∴DG ⊥EF ．第6课时 12.3等腰三角形(2)【检测1】D.【检测2】证明：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ． ∵∠B ＝∠C ，∠ADB ＝∠ADC ，AD ＝AD ， ∴△ADB ≌△ADC (AAS)．∴AB ＝AC ；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等或“等角对等边”.【问题1】已知：如图，∠DAC 是△ABC 的外角，且∠DAC ＝2∠B ． 求证：△ABC 是等腰三角形．证明：∵∠DAC ＝2∠B ，又∵∠DAC ＝∠B ＋∠C ， ∴∠B ＝∠C ．∴△ABC 是等腰三角形 【问题2】∵BD ⊥EF ，∴∠F ＋∠FCD ＝90°，∠B ＋∠E ＝90°. ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB. ∵∠FCD ＝∠ACB,∴∠B ＝∠FCD.∴∠E ＝∠F.∴AE ＝AF.∴△AEF 是等腰三角形. 1．是. 2．C. 3．D. 4．2cm. 5．∵PD ∥OB ，∴∠DPO=∠BOC ． ∵OC 平分∠AOB ，∴∠BOC=∠AOC.∴∠DPO=∠AOC ．∴DP=DO ，即△DOP 是等腰三角形 . 6．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ．又∵AD ∥EG ，∴∠G=∠CAD ，∠AFG=∠BAD.∴∠G=∠AFG ，∴△AGF 是等腰三角形． 7．连接CD ．∵AD ＝BC ，AC ＝BD ，DC ＝CD ． ∴△ADC ≌△BCD ．∴∠ACD ＝∠BDC ．∴OD ＝OC .CABD ① ② ③40︒BD ACCADB40︒C AD B 40︒28．6.9．证明：在DC 上截取DE ＝DB ，连接AE ．则AB ＝AE ， ∴∠B ＝∠AEB ．∵∠B ＝2∠C ，∴∠AEB ＝2∠C ． ∵∠AEB ＝∠C ＋∠EAC ，∴∠C ＝∠EAC ． ∴AE ＝EC ．∴DC ＝DE ＋EC ＝BD ＋AB . 10．D.11．(1)证明：∵AB ＝BA ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90°，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)．∴∠EAB ＝∠EBA ．∴AE ＝BE . (2)∵∠AEC ＝45°，∠C ＝90°，∴∠CAE ＝45°．∴∠CAE ＝∠CEA ．∴CE ＝AC ＝1.第7课时 12.3等腰三角形(3)【检测1】相等，60；等边三角形，60，60. 【检测2】一，三，作图略.【问题1】∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=60°． 又∵AD=AE ，∴△ADE 是等腰三角形． ∴△ADE 是等边三角形．【问题2】DE=DB ，理由：∵CD=CE ，∴∠E=∠EDC ． 又∵∠ACB=60°，∴∠E=30°．又∵∠DBC=30°，∴∠E=∠DBC ，∴DB=DE ． 1．都. 2．150m. 3．4．4．C. 5．D.6．∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°． ∵AD ⊥BC ，∴∠DAC =30°．∵AE =AD ， ∴∠ADE =12×(180°－30°)=75°． ∴∠CDE =∠ADC －∠ADE =15° .7．∵AP ＝PQ ＝AQ ，∴△APQ 是等边三角形． ∴∠P AQ ＝∠APQ ＝∠AQP ＝60°． ∵AP ＝BP ，∴∠BAP ＝∠B ＝12∠APQ ＝30°． 同理，∠CAQ ＝30°．∴∠BAC ＝∠BAP ＋∠P AQ ＋∠CAQ ＝30°＋60°＋30°＝120°. 8．证明：如图，延长AE 到M ，使EM ＝AB ，连接DM ． ∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝60°，且AB ＝AC ．∴EM ＝AC ．∵CD ＝AE ，∴CD ＋AC ＝AE ＋EM ．即AD ＝AM ． ∴△ADM 是等边三角形． ∴DA ＝DM ，且∠M ＝60°． 在△DAB 和△DME 中，,,,DA DM A M AB ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△DME (SAS)． ∴DB ＝DE .9．(1)∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形， ∴CA ＝CD ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°． 于是∠DCE ＝60°．∠ACE ＝∠DCB ＝120°． ∴△ACE ≌△DCB (SAS). ∴AE ＝DB . (2)由第(1)问的结论得∠CAE ＝∠CDB ． ∵CA ＝CD ，∠ACG ＝∠DCH ＝60°． ∴△ACG ≌△DCH (ASA)． ∴CG ＝CH ．而∠DCE ＝60°． ∴△CGH 是等边三角形. 10．B.11．证明：(1)∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠BCD ＝90°．∵△PBC 和△QCD 是等边三角形， ∴∠PBC ＝∠PCB ＝∠QCD ＝60°.∴∠PBA ＝∠ABC －∠PBC ＝30°， ∠PCD ＝ ∠BCD －∠PCB ＝30°． ∴∠PCQ ＝∠QCD －∠PCD ＝30°． ∴∠PBA ＝∠PCQ ＝30°．(2)∵AB ＝DC ＝QC ，∠PBA ＝∠PCQ ，PB ＝PC ，∴△P AB ≌△PQC ，∴P A ＝PQ ．第8课时 12.3等腰三角形(4)【检测1】一半. 【检测2】4cm.【问题1】连接AD ．∵AB ＝AC ，点D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝60°．从而∠ADE ＝30°. ∴AD ＝2AE .由∠B ＝30°得AB ＝2AD . ∴AB ＝4AE ，BE ＝3AE ． ∴AE ∶EB ＝1∶3. 【问题2】有触礁的危险． 过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C ． ∵∠BP A ＝∠PBC －∠A ＝15°，∴∠BP A ＝∠A ，∴AB ＝PB ＝15×2＝30． 在Rt △PBC 中，PC ＝12PB ＝15海里＜18海里. 故不改变方向，继续向前航行有触礁的危险. 1.2cm. 2．18cm ，120°. 3．4． 4．2cm ． 5．1．6．∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°． ∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ＝60°．C ADBEM课程导报网 3∵CD ⊥AD ，∴∠ACD ＝90°－∠DAC ＝30°． ∴AD ＝6AC 21＝cm. 7．连接AE ，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°－∠BAC ＝90°－60°＝30°. ∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE. ∴∠EAD ＝∠B ＝30°.∴∠CAE ＝30°. ∴AE ＝2CE ＝3×2＝6cm.∴BE=6cm. 8．能求出PD 的长. 过点P 作PE ⊥OB.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，∴PD ＝PE ． ∵PC ∥OA ，∴∠CPO ＝∠POA ＝15°．∴∠ECP ＝∠BOP ＋∠CPO ＝15°＋15°＝30°． ∴PE ＝2421PC 21＝＝⨯．∴PD ＝2． 9．(1)当∠BQP ＝90°时，BQ ＝12BP ．即t ＝12(3－t )，t ＝1(s )；(2)当∠BPQ ＝90°时，BP ＝12BQ ．即3－t ＝12t ，t ＝2(s )．故当t ＝1 s 或t ＝2 s 时，△PBQ 是直角三角形.10．225a . 提示：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ．则∠BAD ＝30°，BD ＝12AB ＝15m.11．(1)如图2； (2)∵l 垂直平分AB ，∴∠EDB ＝90°，EA ＝EB ．∴∠EBA ＝∠A ＝30°． ∵∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝60°．∴∠EBC ＝∠EBD ＝30°．∴DE ＝CE ＝12BE ．又∵∠F ＝90°－∠ABC ＝30°，∴EF ＝2CE ．∴EF ＝2DE ．12．3测试题基础巩固1．D. 2．D. 3．B ．4．C ．5．A ．6．B ． 7．480．8．等腰. 9．1．10．85°．11．∵AB ＝AC ， BD 平分∠ABC ，∴∠C ＝∠ABC ＝2∠DBC ． 在△DBC 中，∠C ＋∠DBC ＋∠BDC ＝180°， ∴2∠DBC ＋∠DBC ＋84°＝180°． ∴∠DBC ＝32°．∴∠ABD ＝32°．∴∠A ＝∠BDC －∠ABD ＝84°－32°＝52°． 12．证明：∵BA=BC ，∴∠A=∠C ．又∵DF ⊥AC ，∴∠A +∠D =90°，∠C+∠CEF =90°． ∴∠D =∠CEF ．又∵∠CEF=∠BED ，∴∠D =∠BED ，∴BD=BE ． 13.∵CD 平分∠ACB ，∠ACB=120°， ∴∠1=∠2=12022ACB ∠︒==60°． ∵AE ∥DC ，∴∠4=∠2=60°，∠E=∠1=60°， ∴∠3=∠4=∠E=60°，∴△ACE 是等边三角形． 14．证明：连接F A ，∵AB ＝AC ，∠A ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°． ∵EF 垂直平分AC ，∴F A ＝FC .于是∠F AC ＝∠C ＝30°，∠BAF ＝90°． 在Rt △BAF 中得，∵BF ＝2F A ．∴BF ＝2CF ．15．过点D 作DG ∥AE 交BC 于点G ．则∠DGB ＝∠ACB ． ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ． ∴∠B ＝∠DGB ．∴DB ＝DG ． ∵BD ＝CE ，∴DG ＝CE ．∵∠FDG ＝∠FEC ，∠DFG ＝∠EFC ， ∴△FDG ≌△FEC ．∴DF ＝EF ． 能力提高 1．D ．2．C ．提示：两条对角线的交点P 0满足条件．以AB 为边向正方形内作等边三角形P 1AB ，则P 1也满足条件．同理可作出P 2、P 3、P 4．因此，在正方形内共可找到5个满足条件的点P (注：在正方形外还可以找到4个满足条件的点P ) ．3．40°．提示：∠APQ ＋∠AQP ＝2(∠B ＋∠C )＝2(180°－110°)＝140°．4．①②③④．提示：连接AC ，由SAS 知△PCA ≌△PCB ，于是可知PC 平分等腰三角形CAB 的顶角，所以PC ⊥AB ．5．解：过点A 作AG ⊥DE 于点G ，则 AG ∥BC ，∠FGA ＝∠FEB ，∠AFG ＝∠BFE ．l图2D EFBAC∵FA＝FB．∴△FAG≌△FBE．∴FG＝FE＝3，AG＝BE＝4．易知△CDE是等腰直角三角形，从而可知△AGD是等腰直角三角形，∴DG＝AG＝4．∴DF＝DG＋FG＝4＋3＝7．6．答：AB与AF，CF之间的等量关系是：AB＝AF＋CF．证明：分别延长AE，DF相交于点M．则△EAB≌△EMC．∴AB＝CM，∠BAE＝∠FMA．∵∠BAE＝∠FAM，∴∠FAM＝∠FMA．∴AF＝FM．∴AB＝CM＝CF＋FM＝CF＋AF．第6期有效学案参考答案第9课时第十二章复习课【检测1】相等；相等；重合；两；两.【检测2】相等；相等；60°；三；三；60°.【检测3】（1）是轴对称图形，有3条对称轴；（2）是轴对称图形，有5条对称轴；（3）不是轴对称图形；（4）是轴对称图形，有1条对称轴；（5）是轴对称图形，有2条对称轴；（6）不是轴对称图形；（7）是轴对称图形，有1条对称轴；（8）是轴对称图形，有4条对称轴．【问题1】(1)∵∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝30°．∴∠ABC＝∠BAC．∴AC＝BC＝20，20÷10＝2(小时).故该船到达C处时的时间是13时30分.(2)∵∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，∴CD＝12BC＝10(海里)，10÷10＝1(小时).故14时30分到达海岛B的正南D点处.【问题2】连接OP．(1)由对称性可知MP＝MP1，NP＝NP2，∴P1P2＝△PMN的周长＝5(cm)．(2)△OP1P2是等边三角形，理由是：由对称性可知∠MOP＝∠MOP1，∠NOP＝∠NOP2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°．而OP1＝OP，OP2＝OP，∴OP1＝OP2，∴△OP1P2是等边三角形1．D. 2．3，－4. 3．B. 4．C. 5. 60°.6．如图1，点A关于MN的对称点A′与点A重合．过点B作BO⊥MN于点O，延长BO到B′，使OB′＝BO；同理作出点C关于MN的对称点C′．连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求.7．证明：连接AE，CE，∵NE垂直平分BD，∴BE＝DE．∵ME垂直平分AC，∴AE＝CE．∵AB＝CD，∴△EAB≌△ECD(SSS)．∴∠ABE＝∠CDE . 8．（1）20，45，60；（2）∠A=2∠DBC；（3）作AE⊥BC，垂足为点E.∵AB=AC，∴∠CAE=12∠BAC，∠CAE+∠C=90°.又∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90°.∴∠DBC=∠CAE=12∠BAC.9．如图2.10.（-1，3）.11．△AFC是等腰三角形．证明：∵ BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，∠B＝∠B，∴△BAD≌△BCE．∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCE，∴∠DAC＝∠ECA．∴F A＝FC．∴△AFC是等腰三角形．第十二章综合测试题(一)一、精挑细选，一锤定音1．Ａ. 2．B．3．C．4.Ａ. 5．D．6．D．7．D.8．D．9．B．提示：需经过6次反射．10．Ｂ.提示：AＯ既可以作底边，也可以作腰.二、慎思妙解，画龙点睛11．2.12．21∶05．13．20.14．答案不唯一，如BD＝CE或∠BAD＝∠CAE等．15.40°．16.5. 17.5cm.18．70°或20°．提示：有锐角三角形和钝角三角形两种情况．三、过关斩将，胜利在望19．如图1.图240︒40︒60︒60︒60︒60︒40︒60︒60︒30︒30︒30︒课程导报网 420．如图2.21．（1）图略；（2）A′（2，2），B′（3，1），C′（-1，-2）．22．延长AD，BC相交于点E，则△CDE是等边三角形．在Rt△ABE中，∵∠A＝30°，∴AE＝2BE．设CD＝x，则4＋x＝2(1＋x)．解得x＝2．故CD的长为2．23.同意. 理由：∵点E在BO的垂直平分线上，∴BE OE. ∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵OB平分∠ABC，∴∠OBE=∠ABO=30°.∴∠OBE=∠EOB=30°.∴∠OEF=60°. 同理∠OFE=60°.∴△OEF是等边三角形．24.（1）①与③；①与④；②与③；②与④.（2）答案不唯一，如选①与③.已知：∠EBO=∠DCO，BE=CD；求证：△ABC是等腰三角形。