[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：抛物线方程化为普通方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1， 所以|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.故选C. 答案：C2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t －e －t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支解析：∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2.∴表示双曲线的右支． 答案：B3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中，参数t ∈R)上的点的最短距离是( )A ．0B ．1 C. 2D ．2解析：方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t表示抛物线y 2＝4x 的参数方程，其中p ＝2，设点M (x ，y )是抛物线上任意一点，则点M (x ，y )到点P (1,0)的距离d ＝(x －1)2＋y 2＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|≥1，所以最短距离为1，选B.答案：B4．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( )A ．直线x ＋2y －2＝0B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析：将曲线的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2,0≤y ≤1)． 答案：D5．已知某条曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，y ＝12⎝⎛⎭⎫a －1a (其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分解析：将所给参数方程的两式平方后相减， 得x 2－y 2＝1.并且由|x |＝12⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥1，得x ≥1或x ≤－1， 从而易知结果． 答案：C6．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22·y sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________．解析：圆心轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θcos θ，y ＝－(sin θ＋cos θ).消去参数得： y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)．答案：y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)7．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)， 直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切， 由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2.答案： 28．曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec α，y ＝b tan α(α为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a tan β，y ＝b sec β(β为参数)的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec α，y ＝b tan α(α为参数)的离心率e 1＝a 2＋b 2a， 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a tan β，y ＝b sec β(β为参数)的离心率e 2＝a 2＋b 2b，∴e 1＋e 2＝a 2＋b 2(a ＋b )ab ≥22abab＝2 2.当且仅当a ＝b 时取等号，所以最小值为2 2. 答案：2 29．已知抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p ＞0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2，求M ，N 两点间的距离．解析：由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)， 所以|MN |＝ (2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2 ＝(2pt 1－2pt 2)2＝2p |t 1－t 2| ＝2p (t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4p 2.故M ，N 两点间的距离为4p 2.10.如图所示，O 是直角坐标系的原点，A ，B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，A ，B 在什么位置时△AOB 的面积最小？最小值是多少？解析：根据题意，设点A ，B 的坐标分别为A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)(t 1≠t 2，且t 1t 2≠0)，则|OA |＝ (2pt 21)2＋(2pt 1)2＝2p |t 1|t 21＋1， |OB |＝(2pt 22)2＋(2pt 2)2＝2p |t 2|t 22＋1.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即2pt 21·2pt 22＋2pt 1·2pt 2＝0，所以t 1·t 2＝－1. 又因△AOB 的面积为： S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12·2p |t 1|t 21＋1·2p |t 2|t 22＋1＝2p 2|t 1t 2|(t 21＋1)(t 22＋1)＝2p 2t 21＋t 22＋2＝2p 2t 21＋1t 21＋2≥2p 22＋2＝4p 2.当且仅当t 21＝1t 21，即t 1＝1，t 2＝－1或t 1＝－1，t 2＝1时，等号成立． 所以A ，B 的坐标分别为(2p,2p )，(2p ，－2p )或(2p ，－2p )，(2p,2p )时，△AOB 的面积最小，最小值为4p 2.[B 组 能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)解析：由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 答案：A2．参数方程⎩⎨⎧x ＝⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ)(0＜θ＜2π)表示( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝⎛⎭⎫1，12 B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝⎛⎭⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎫－1，12 解析：∵x 2＝(cos θ2＋sin θ2)2＝1＋sin θ＝2y ，∴方程x 2＝2y 表示抛物线．又∵x ＝⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π4， 且0＜θ＜2π， ∴0≤x ≤ 2，故选B. 答案：B3．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝t ，关于直线x ＋y －2＝0对称的曲线的焦点坐标是________．解析：抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 的普通方程为y 2＝x ，是以x 轴为对称轴，顶点在原点，开口向右的抛物线，当关于直线x ＋y －2＝0对称时，其顶点变为(2,2)，对称轴相应变为x ＝2，且开口方向向下，所以焦点变为⎝⎛⎭⎫2，2－14，即⎝⎛⎭⎫2，74.答案：⎝⎛⎭⎫2，74 4．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：先将参数方程与极坐标方程化为普通方程，再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a ，b ，c 的等式，再结合a 2＝b 2＋c 2求得离心率．由已知可得椭圆标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m ，又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，可得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)，整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e ＝63. 答案：635.如图，自双曲线x 2－y 2＝1上一动点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 中点P 的轨迹方程．解析：设点Q 的坐标为(sec φ，tan φ)，(φ为参数)． ∵QN ⊥l ，∴可设直线QN 的方程为x －y ＝λ.① 将点Q 的坐标代入①得：λ＝sec φ－tan φ. 所以线段QN 的方程为x －y ＝sec φ－tan φ.② 又直线l 的方程为x ＋y ＝2.③由②③解得点N 的横坐标x N ＝2＋sec φ－tan φ2.设线段QN 中点P 的坐标为(x ，y )，则x ＝x N ＋x Q 2＝2＋3sec φ－tan φ4，④4×④－②得 3x ＋y －2＝2sec φ.⑤ 4×④－3×②得 x ＋3y －2＝2tan φ.⑥⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.6．已知曲线C 的方程为⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )cos θ，y ＝12(e t－e－t)sin θ.(1)当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？(2)当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？(3)两曲线有何共同特征？解析：(1)将原参数方程记为①，将参数方程①化为⎩⎪⎨⎪⎧2xe t ＋e－t＝cos θ，2ye t－e－t＝sin θ.平方相加消去θ，得x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫e t ＋e －t 22＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫e t －e －t 22＝1.②因为(e t ＋e －t )2＞(e t －e －t )2＞0，故方程②的曲线为椭圆，即C 为椭圆．(2)将方程①化为⎩⎨⎧2xcos θ＝e t ＋e －t ，2ysin θ＝e t－e－t .平方相减消去t ，得x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1.③所以方程③的曲线为双曲线，即C 为双曲线．(3)在方程②中⎝ ⎛⎭⎪⎫e t ＋e －t 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫e t －e －t 22＝1，则c ＝1，椭圆②的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，因此椭圆和双曲线有共同的焦点．。