for(i=0;i<G.vexnum;++i){ 0 1 G.vertices[0] v1 3 2 1 ^ v1 v2 p=G.vertices[i].firstarc; G.vertices[1] v2 ^ while (p){ 2 3 G.vertices[2] v3 4 1 ^ k=p->adjvex; v3 v4 ++indegree[k]; G.vertices[3] v4 4 ^ p=p->nextarc; 4 G.vertices[4] v5 ^ 5 v6 v5 } G.vertices[5] v6 4 3 ^ } 另外增设一个存放各顶点的入度值的一维数组indegree: }//FindInDegree
1.引例：现有计算机课程12门，如下表所示：
课程编号 c1
c1 c4
课程名称
c2
c5
先修课程 无 c1 c1,c2 c1 c3,c4 c11 c5,c3
c8 c7
程序设计基础 离散数学 数据结构 c3 汇编语言
c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 c10 c11 c12
c11 c10
语言的设计和分析 c12 计算机组成原理 编译原理 操作系统 高等数学 线性代数 普通物理 数值分析
0
v1
v2
1
s
3
v4 v3
2
2 3
5
4
v5
v6
4号、1号顶点的入 另外增设一个存放各顶点的入度值的一维数组indegree: 度分别减1
indegree[0..5] 0 0 1 1 0 2 0 3 2 4 0 5
二、拓扑排序
4.算法说明：为了使说明过程简单起见，我们以下 图为例：
G.vertices[0] v1 G.vertices[1] v2 ^ G.vertices[2] v3 G.vertices[3] v4 G.vertices[4] v5 ^ G.vertices[5] v6 4 3 ^ 4 4 ^ 1 ^ 3 2 1 ^
0
v1
v2
1
s
3
v4 v3
2
1
3 ^
5
4
v5
3
v6
另外增设一个存放各顶点的入度值的一维数组indegree:
indegree[0..5] 0 0 0 1 0 2 0单起见，我们以下 图为例：
G.vertices[0] v1 G.vertices[1] v2 ^ G.vertices[2] v3 G.vertices[3] v4 G.vertices[4] v5 ^ G.vertices[5] v6 4 3 ^ 4 4 ^ 1 ^ 3 2 1 ^
0
v1
v2
1
s
3
v4 v3
2
5
4
v5
3
v6
另外增设一个存放各顶点的入度值的一维数组indegree:
indegree[0..5] 0 0 0 1 0 2 0 3 1 4 0 5
4号顶点的入度减1 4.算法说明：为了使说明过程简单起见，我们以下 图为例： 打印G.vertices[3].data
0
v1
v2
1
s
3
v4 v3
2
1 3
5
4
v5
v6
另外增设一个存放各顶点的入度值的一维数组indegree:
indegree[0..5] 0 0 0 1 0 2 0 3 1 4 0 5
二、拓扑排序
4.算法说明：为了使说明过程简单起见，我们以下 图为例： 打印G.vertices[1].data
G.vertices[0] v1 G.vertices[1] v2 ^ G.vertices[2] v3 G.vertices[3] v4 G.vertices[4] v5 ^ G.vertices[5] v6 4 4 4 ^ 1 ^ 3 2 1 ^
data
firstarc
adjvex nextarc
0
v1
v2
1
3
v4
v3
2
5
4
v5
v6
另外增设一个存放各顶点的入度值的一维数组indegree:
indegree[0..5] 0 0 2 1 1 2 2 3 3 4 0 5
二、拓扑排序
一维数组初值的程序： 求indegree一维数组初值的程序： 一维数组初值的程序 4.算法说明：为了使说明过程简单起见，我们以下 FindInDegree(ALGraph G,indegree[0..G.vexnum-1]{ 图为例：
拓扑序列： c1 c2 c3 c4 c5 c7 c9 c10 c11 c6 c12 c8
二、拓扑排序
4.算法说明：为了使说明过程简单起见，我们以下 图为例：
G.vertices[0] v1 G.vertices[1] v2 ^ G.vertices[2] v3 G.vertices[3] v4 G.vertices[4] v5 ^ G.vertices[5] v6 4 3 ^ 4 4 ^ 1 ^ 3 2 1 ^
G.vertices[2] v3 G.vertices[3] v4 G.vertices[4] v5 ^ G.vertices[5] v6 4 3 ^ 4 4 ^ 1 ^
3
v4
v3
2
5 0
5
4
v5
v6
另外增设一个存放各顶点的入度值的一维数组indegree:
indegree[0..5] 0 0 2 1 1 2 2 3 3 4 0 5
c6
c9
c3,c6 无 c9 c9 c9,c10,c1
二、拓扑排序
2.拓扑排序：
c4 c5 c2 c1 c3 c7
c12 c9 c10 c8
c6 c11
偏序是指集合中仅有部分元素可比较大小(或先后)； 全序是指集合中所有元素均可比较大小（或先后）。
二、拓扑排序
2.拓扑排序：
c4 c5 c2 c1 c3 c7
0 1 2 3 4 5
拓扑排序算法思想： 拓扑排序算法思想： 4.算法说明：为了使说明过程简单起见，我们以下 设一个栈S，入度为0的顶点的序 ①设一个栈 ，入度为 的顶点的序 图为例：
二、拓扑排序
4.算法说明：为了使说明过程简单起见，我们以下 图为例：
G.vertices[0] v1 G.vertices[1] v2 ^ G.vertices[2] v3 G.vertices[3] v4 G.vertices[4] v5 ^ G.vertices[5] v6 4 3 ^ 4 4 ^ 1 ^ 3 2 1 ^
二、拓扑排序
4.算法说明：为了使说明过程简单起见，我们以下 图为例：
G.vertices[0] v1 G.vertices[1] v2 ^ G.vertices[2] v3 G.vertices[3] v4 G.vertices[4] v5 ^ G.vertices[5] v6 4 3 ^ 4 4 ^ 1 ^ 3 2 1 ^
c11
c10
c8
二、拓扑排序
3.方法：
c4 c5 c2 c1 c3 c7
c12 c9 c10 c8
c6 c11
拓扑序列： c1 c2 c3 c4 c5 c7 c9 c10 c11 c6 c12 c8
二、拓扑排序
3.方法： 注意1：从某种意义下来说，拓扑排序的结果是不 唯一的。 注意2：这种以顶点表示活动的有向无环图称为活 AOV(Activity 动在顶点的网，简称AOV(Activity On Vertex Network)网。
有向无环图 及其应用
一、定义
一个无环的有向图称为有向无环图，简写为 DAG（directed acycline graph）。 与有向二叉树相比，有向无环图是更一般的特 殊有向图。 实例：
有向树 有向无环图 有向图
教材179页给出了有向无环图的一个简单应用： 用有向无环图描述算术表达式。
二、拓扑排序
c12 c9 c10 c8
c6 c11
拓扑排序是指将一个偏序关系转化为全序关系的过程 的特殊操作。
二、拓扑排序
3.方法： ①在有向图中选择一个没有前驱（即 c4 c5 入度为0）的顶点并输出之。
c2 c7 c3 ②在有向图中删除刚刚输出的顶点及 所有以该顶点为尾的弧。 c12
c1
c9
③图中若不再有入度为0的顶点，则 结束；否则转①。 c6
v6
另外增设一个存放各顶点的入度值的一维数组indegree:
indegree[0..5] 0 0 1 1 0 2 0 3 2 4 0 5
二、拓扑排序
4.算法说明：为了使说明过程简单起见，我们以下 图为例：
G.vertices[0] v1 G.vertices[1] v2 ^ G.vertices[2] v3 G.vertices[3] v4 G.vertices[4] v5 ^ G.vertices[5] v6 4 3 ^ 4 4 ^ 1 ^ 3 2 1 ^
indegree[0..5] 0 0 2 1 1 2 2 3 3 4 0 5
二、拓扑排序
号进栈。 ， 进栈。 号进栈。如0，5 进栈。count=0(打 打 0 1 G.vertices[0] v1 3 2 1 ^ v1 v2 印顶点个数计数器)。 印顶点个数计数器 。 G.vertices[1] v2 ^ 当栈S不空时 不空时， ②当栈 不空时，出栈一个元素并 2 3 打印相应顶点； 4 加 。 打印相应顶点；count加1。1 ^ G.vertices[2] v3 v3 v4 该顶点的所有邻接点的入度减1， 该顶点的所有邻接点的入度减1， G.vertices[3] v4 4 ^ 后入度为0的顶点的序号进栈 减1后入度为 的顶点的序号进栈。 后入度为 的顶点的序号进栈。 4 G.vertices[4] v5 ^ 5 重复第二步，直至栈空时转④ v6 v5 ③重复第二步，直至栈空时转④。 G.vertices[5] v6 4 3 ^ ④若count=G.vexnum,则拓扑排序 则拓扑排序 成功；否则图中必有环路， 成功；否则图中必有环路，拓扑排 另外增设一个存放各顶点的入度值的一维数组indegree: 序失败。 序失败。 indegree[0..5] 0 2 1 2 3 0