12
11
1011
13
12
1100
14
13
1101
15
14
1110
16
15
1111
17
16
10000
20
17
10001
21
18
10010
22
十六进制
9 A B C D E F 10 11 12
3. 非十进制数之间的相互转换
表1-4列出了4种数制中数的对应关系。从表中 可以看出，1位八进制数对应3位二进制数，而1 位十六进制数对应4 位二进制数。因此，二进制 数与八进制数之间、二进制数与十六进制数之间 的相互转换便十分容易。
制小数不能精确地用二进制小数来表示。
3. 非十进制数之间的相互转换
表1-4 4种数制中数的对应关系
十进制
二进制
八进制
十六进制
0
0
0
0
1
1
1
1
2
10
2
2
3
11
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
8
1000
10
8
表1-4续 4种数制中数的对应关系
十进制
二进制
八进制
9
1001
11
10
1010
C++程序设计
第1章 计算机基础知识与基本操作
1.1* 计算机的发展与应用(略，自学)
1.1.1 计算机的过去、现在与未来 1.1.2 计算机的特点、分类与应用
1.2 数制
1.2.1 数制的基本概念及常用数制
1. 数制的基本概念
什么是数制？简单地说，数制就是用一组固 定的数码和一套统一的规则来表示数值的方法。 数制也称计数制。人们在日常工作和生活中，经 常使用不同的数制。例如十进制，使用10个数码 （0，1，2，3，4，5，6，7，8，9）并按照逢十 进一的规则进行计数；钟表计时采用60秒等于1 分、60分等于1小时的六十进制；在计算机中使 用仅有0和1两个数码的二进制。可见，数制的种 类是多种多样的。
• 简易性 与十进制数相比，二进制数的运算规则简单得多。 • 逻辑性 二进制中的1和0可以分别表示逻辑值“真”和
“假”，容易实现逻辑运算。
• 可靠性 二进制使用的数码少，传输和处理时不易出错，
因而可以保障计算机具有很高的可靠性。
1.3.1 数据的单位
计算机中数据的单位有3种：位、字节和字。
1. 位（bit）
1.3.3* 定点数与浮点数
计算机中的数除了整数之外，还有小数。 如何确定小数点的位置呢？通常有两种方法： 一种是规定小数点的位置固定不变，称为定 点数。另一种是小数点的位置不固定，可以 浮动，称为浮点数。在计算机中，通常用定 点数来表示整数和纯小数，分别称为定点整 数和定点小数。对于既有整数部分、又有小 数部分的数，一般用浮点数表示。
0.43 ×2
0 ………… 0.86 ×2
1 ………… 1.72 0.72 （整数部分已取走） ×2
1 ………… 1.44 0.44 （整数部分已取走） ×2
0 ………… 0.88 不难看出，再继续乘下去，小数部分也不会等于0。这 时可根据计算精度的要求在适当的位数上截止。例如，取 4位小数，得到一个近似值0.0110B。此例表明，某些十进
= 8+0+2+1+0.5
= 11.5
【例1-2】将八进制数(257)8转换成十进制数。 (257)8 = 2×82+5×81+7×80 = 128+40+7
= 175 【例1-3】将十六进制数(2CF.4)16转换成十进制数。
(2CF.4)16 = 2×162+12×161+15×160+4×16–1 = 512+192+15+0.25
权都是以基数为底的整数幂。
2. 常用数制
计算机领域中常用的数制有4种：即十进制、 二进制、八进制和十六进制。关于十进制大 家早已熟悉。二进制是计算机中使用的基本 数制，由于数值较大的二进制数的位数很多， 给书写和阅读带来不便，所以经常用十六进 制数或八进制数表示，我们可以把八进制和 十六进制看成是二进制的压缩形式。表1-2列 出了常用4种数制中的数码、基数、位权及后 缀。
i
5
4
3
2
1
0
-1
-2
2i
32
16
8
4
2
1
0.5 0.25
8i
4096 512 64 8
1 0.125
16i
65536 4096 256 16
1 0.0625
1.2.2 不同数制之间数的相互转换 1. 非十进制数转换成十进制数 非十进制数转换成十进制数的方法是将非十
进制数按权展开求和。
【例1-1】将二进制数(1011.1)2转换成十进制数。 (1011.1)2 = 1×23+0×22+1×21+1×20+1×2–1
各种数制有一个共同的特点，即在一个数 中，同一个数码处于不同位置则表示不同的 值。例如，十进制数131.18中有3个数码1， 它们所表示的值从左到右依次是100、1和0.1。 该数可表示为：
131.18=1×102+3×101+1×100+1×10–1+8×10–2
我们把以基数为底的整数幂称为位权。 从小数点开始，整数位的位权依次是100、101、 102等，而小数位的位权依次是10–1、10–2、 10–3等。上式称为按权展开式。
余数
2 13 ………… 0 低位
2 6 ………… 1
2 3 ………… 0
2 1 ………… 1
0 ………… 1 高位
转换结果是：26=11010B。
【例1-5】将十进制数26.125转换成二进制数。 首先将整数部分26按上述方法转换为二进制数 11010B；再将小数部分0.125连续乘以基数2，直 到小数部分等于0为止。然后，将每次相乘所得 到的整数按正序从左到右排列：
2. 字节（Byte） 为了表示字母、数字及各种专 用符号，需要用7位或8位二进制数，因此，人 们规定8位为一个字节，用Byte表示，记作B。
字节是计算机中用来表示存储空间大小的最
基本的容量单位。例如，计算机内存的存储容
量、磁盘的存储容量都是以字节为单位的。除 了用字节表示存储容量外，还经常用KB、MB、 GB和TB等表示存储容量。它们之间的关系是：
【例1-8】将二进制数(11101110.00101) 2转换成 八进制数。
(11101110.00101) 2 =( 011 101 110 . 001 010) 2 = (356.12)8
十六进制数转换成二进制数的方法是：将 每一位十六进制数直接写成相应的4位二进制
数。而二进制数转换成十六进制数的方法则 是以小数点为界，向左或向右将每4 位二进制 数分成一组，若不足4位，则用0补足4位。然 后，将每一组二进制数直接写成相应的1位十 六进制数。
又如，用8个二进制位表示–36，其格式为：
10100100 ↑ 符号位（1表示负数）
需要指出的是：机器数所表示的数的范 围受到字长和数据类型的限制。字长和数据 类型确定之后，机器数所能表示的数的范围 也就确定了。例如，如果表示一个整数，字 长为8 位，则最小值是(11111111)2 = –127，最 大值是(01111111)2 =127，即用8个二进制位表 示有符号整数时，它所能表示的数的范围是– 127～127（原码表示法，见1.3.4节）。如果 数值超过这个范围，就会发生“溢出”。
+a2×R2+a1×R1+a0×R0+a–1×R–1+…
+a–m×R–m
n 1
a i R i im
其中ai为R进制的数码。
不难看出，以上几种数制的共同特点是： • 每一种数制都有一个固定的基数R （Radix），并且按照“逢R进一”的规则进 行计数。 • 每一种数制都有自己的位权，每一位的位
八进制数转换成二进制数的方法是：将每一 位八进制数直接写成相应的3位二进制数。反之， 二制数转换成八进制数的方法是：以小数点为界， 向左或向右将每3 位二进制数分成一组，若不足 3位，则用0补足3位。然后，将每一组二进制数 直接写成相应的1位八进制数。
【例1-7】将八进制数(714.53)8转换成二进制数。 (714.53)8 = (111001100.101011)2
1KB＝210B＝1024B 1MB＝220B＝1024KB 1GB＝230B＝1024MB 1TB＝240B＝1024GB
3. 字（word）
在计算机中，通常用若干个二进制位表示 一个数或一条指令，把它们作为一个整体来 存储、处理和传输。这种作为一个整体来处 理的二进制位串称为字，用word表示。也就 是说，字是计算机进行数据存储和数据处理 的单位。1个字由若干个字节组成。例如，字 长为16位的计算机，1个字由2个字节组成； 字长为32位的计算机，1个字由4个字节组成。
0.125
整数
×2
二进制小数首位 0 ……2
二进制小数末位 1 ………… 1.000 转换结果是：26.125=11010.001B。
【例1-6】将十进制数0.43转换成二进制数。
0.43为纯小数，转换成二进制数采用“乘 基取整法”。在运用该方法的过程中，应注 意每次只将小数部分乘以基数，而不能将积 的整数部分乘以基数，我们可以认为整数部 分已经被取走。算式如下：
计算机中最小的数据单位是二进制的 一个 数位 ， 简称 位 ，用 bit表示 ， 音译为 “比特”。一个二进制位可以表示21种状 态，即0和1；两个二进制位可表示22种状 态，即00，01，10和11，n个二进制位可以 表示2n种状态。显然，位数越多，所能表 示的状态就越多，即所表示数的范围就越 大。