医 学 统 计 学
第三章 正态分布与医学参考值范围
流行病与卫生统计学教研室
祝晓明
第一节 正态分布
正态分布（normal distribution）
又称为高斯分布。首先由德国数学家
和天文学家德·莫阿弗尔提出，高斯
虽然发现稍晚，但他迅速将正态分布
应用于天文学，并对其性质作了进一 步的研究，使正态分布的应用价值广 为人知。
图3-1 某地成年男子红细胞数的分布逐渐接近正态分布示意图
f ( X ) ( f i / n ) / X i f (X )
正态分布有两个参数：
1
和 ， 分别表示均数和标准差。
2
e

( X )2 2 2
X
二、正态分布的特征
如果随机变量X的分布服从以下函数
频数
2 6 11 25 32 27 17 13 4 2 1 140
频 率(%)
1.4 4.3 7.9 17.9 22.9 19.3 12.1 9.3 2.9 1.4 0.7
累积频率(%)
1.4 5.7 13.6 31.5 54.4 73.7 85.8 95.1 98.0 99.4 100.0 100.0
化成 0 和
1 的标准正态分布。
Z变换也称随机变量的标准化变换。
图 标准正态分布及曲线下面积
可以利用标准正态分布表求出与原始变量X 有关的概率值。
概率密度函数
概率分布函数
正 态 分 布 标 准 正 态 分 布
1 f (X) e 2
1 X2 2
1 X FX ( ) e 2
2 1 X 2
d x
1 z e 2
2 z
2
1 e z 2
z
2 z
2
d z
如何根据概率分布函数去求阴影部分面积？ Z转换的目的？
( Z ) 1 ( Z )

σ
是形状参数，决定着正态曲线的分布形状
1
2
3
-4
-3
-2
-1
01
1
2 2
2
3
3 4
3
5
6
7
-5
-4
-3
-2
1

1
-1
0
1
2

2
3
3
4
5
图3-3 三种不同均值的正态分布
图3-4 三种不同标准差的正态分布
4.正态曲线下的面积分布有一定的规律
问题：曲线下面积的含义？ 如何计算？
4.70 4.81 4.93 5.04 4.40 5.27 4.63 5.50
5.24 4.97 4.71 4.44 4.94 5.05 4.78 4.52 4.63 …… 5.02 4.76
表2-2 某地140名正常男子红细胞数的频数表
红细胞数
3.80～ 4.00～ 4.20～ 4.40～ 4.60～ 4.80～ 5.00～ 5.20～ 5.40～ 5.60～ 5.80～ 6.00 合计
图3-5 图3-6
正态曲线下某一区间的面积占总面积
的百分数有何意义？
1.该区间的例数占总例数的百分数（频数分布） 2.观察值落在该区间的概率 3.从此总体随机抽得该区间观察值的概率
图 正态曲线面积分布示意图
三、标准正态分布
对任何参数的正态分布，都可以通过一个简单的变量 变换 z
X
问题：s=? σ=? 那当μ和σ已知时z=？
2 N ( , ) 例3-1 若X～ ，试计算X 取值在区间
1 .9 6 上的概率。
1 . 9 6 X 1 z 1 . 9 6 1
1 . 9 6 X 2 z 1 . 9 6 2
概率密度函数
1 f (X) e 2
1 X2 2
概率分布函数
X 1 F (X ) e 2
2 1 X 2
d x
则称连续型随机变量X服从正态分布，记为X～ X的取值范围理论上没有边界
N ( , 2 )
正态分布的主要特征：
1.单峰分布，以 X 为中心，左右完全对称。 以X轴为渐近线，两端与X轴永不相交。
2.在 X 处有最大值，其值为 f( ) 1( 2 )； X越远离对称轴，y越小。
正态曲线在 X 处有拐点，呈现为钟型
3.正态分布由两个参数 和
σ
决定
是位置参数，决定着正态曲线在X轴上的位置
查附表1
(2 . 0 5 ) 0 . 0 2 0 2 ，表明该地成年男子红
细胞计数低于 4×102/L 者约占该地正常成年男子总
卡尔·弗里德里希·高斯
（C.F.Gauss，1777-1855）
例2-1 某地用随机抽样方法检查了140名成年男子的红细胞
数，检测结果如表所示：
4.76 5.26 5.61 5.95 4.46 4.57 4.31 5.18
4.92 4.27 4.77 4.88 5.00 4.73 4.47 5.34
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第一节 正态分布(Normal Distribution)
一、正态曲线
f ( X ) 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.8 4.2 4.6 5.0 5.4 5.8 X
f ( X ) 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.8 4.2 4.6 5 5.4 5.8 X
f (X )1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6 X
P 1 . 9 6 z 1 . 9 6 1 . 9 6 1 . 9 61 1 . 9 6 1 . 9 6
1 2 1 . 9 6 1 2 0 . 0 2 5 0 . 9 5
例3-2 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似 服从正态分布，X =4.78×1012/L，S =0.38×1012/L。① 该地正常成年男子红细胞计数在4.0×1012/L以下者 占该地正常成年男子总数的百分比；
X X4 . 0 4 . 7 8 z 2 . 0 5 S 0 . 3 8