第9章《振动》习题解答9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动.已知刚体质量为m ，其重心C 和轴O 间的距离为h ，刚体对转动轴线的转动惯量为I.问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐运动？如果是，求固有频率，不计一切阻力.【解】刚体受力如图所示，规定逆时针为转动正方向，φ为与OC 铅垂线（为平衡位置）的夹角，由对O 的转动定理； 因φ很小故sin φφ=9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m ，轻弹簧的劲度系数为1k 和2k ，支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率.【解】以物体m 为隔离体,水平方向受12,k k 的弹性力12,,F F 以平衡位置为原点建立坐标系O x -，水平向右为x 轴正方向。
设m 处于O 点对两弹簧的伸长量为0，即两个弹簧都处于原长状态。
m 发生一小位移x 之后，弹簧1k 的伸长量为x ，弹簧2k 被压缩长也为x 。
故物体受力为：1212---()x F k x k x k k x ==+ （线性恢复力） m 相当于受到刚度系数为12k k k =+的单一弹簧的作用 由牛顿第二定律：9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m ，弹簧的劲度系数为1k .若在振子和弹簧1k 之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半.串联上的弹簧的劲度系数2k 应是1k 的多少倍？【解】未串时：平衡位置 1mg k=串联另一刚度系数为2k 的弹簧：此时弹簧组的劲度系数为?k = 已知：2ωω='解得：2113k k =9.2.4 单摆周期的研究.（1）单摆悬挂于以加速度a 沿水平方向直线行驶的车厢内.（2）单摆悬挂于以加速度a 上升的电梯内.（3）单摆悬挂于以加速度a (<g)下降的电梯内.求此三种情况下单摆的周期.摆长为.【解】（1）以车为参照系，摆锤为隔离体，受重力W ，摆线张力T ，惯性力f ma *=-。
平衡位置处有：0T mg f *++= 由此可得平衡位置时摆线铅直夹角atg gα=(1) 由平衡位置发生小角位移θ由牛顿第二定律:在切线方向的分量式即 (sin cos cos sin )(cos cos sin sin )g a a ταθαθαθαθ-++-=θ角很小,故sin ,cos 1θθθ==.于是得: 利用(1)式,sin cos ,g a αα=则 22(cos sin )d g a a dt τθααθ-+== 即 22cos sin 0d g a dtθααθ++=因为sin αα==所以 0ω==(2)以电梯为参照系,惯性力与重力沿铅垂方向,同于的分析摆线为铅垂位置时为平衡态.(3) 同(2)的分析得:9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为310/s .设想各原子之间彼此以弹簧连结.一摩尔银的质量为108g 且包含236.02?10个原子.现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数.【解】 由9.2.2知0ω=这里 12k k k ==9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为=9.8N/m k ，物体质量为20g 现将弹簧自平衡位置拉长并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0m/s ，求该振子的运动学方程(SI).【解】以平衡位置为原点建立坐标系O-x,水平向右为正方向。
弹簧振子的运动方程为:故07(/)rad s ω== 0t =时，00),7.0(/)x x cm cm s νν====0t =时，000cos sin x A A ανωα=⎫⎬=-⎭→0.34()rad α=-弹簧振子的运动方程：9.2.7 质量为31.010g ⨯的物体悬挂在劲度系数为61.010dyn/cm ⨯的弹簧下面.（1）求其振动的周期.（2）在=0t 时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm ，速度为+15cm/s ，求其运动学方程.【解】以平衡位置为原点，建立坐标系O-x ，竖直向下为正方向。
（1）0220.199()T s πω=== （2）设运动方程为：即 000cos 0.726sin 0.688x A A αναω⎧==⎪⎪⎨⎪=-=--⎪⎩ 故 0.759()43.49rad α=-=- 所以运动学方程为：9.2.8 （1）一简谐振动的运动规律为π=5cos(8+)4x t ，若计时起点提前0.5s ，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？ （2）一简谐振动的运动学方程为=8sin(3-)x t π.若计时起点推迟1s ，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？（3）画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后=0t 时旋转矢量的位置.【解】（1） 5cos(8)4x t π=+ （1）计时起点提前0.5，则0.5t t '=+，代入（1）式，运动方程为： 设计时起点提前0t 秒，可使初相为零，即0t t t ''=+，代入（1）式得：有 0080,432t t ππ-+==即，即提前32π秒时计时可使其初相为零。
（2） 38sin(3)8cos(3)2x t t ππ=-=-（2） 计时起点提前0t 秒时0t t t '=+代入 038cos(33)2x t t π'=--若计时起点推迟一秒，则01t =-，此时初相为若要 03302t απ=--=，需02t π=-，即推迟2π秒计时时，可使初相为零。
（3） 见图a,b(a) (b)9.2.9 画出某简谐振动的位移——时间曲线，其运动规律为1=2cos2π(+)4x t （SI 制）【解】12cos 2()4x t π=+（SI 制）令14t t '=+ 则有2cos2x t π'=为周期引的余弦曲线。
画出 x t '- 曲线，再根据14t t '=-的关系。
将ox 轴右移14周期。
半径为R 的薄圆环静止于刀口O 上，令其在自身平面内作微小摆动.（1）求其振动的周期.（2）求与其振动周期相等的单摆的长度.（3）将圆环去掉23而刀口支于剩余圆弧的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比.【解】（1）该装置为物理摆，利用9.2.1对一般刚体得到的公式02T ω==为薄圆球质量。
h R = 根据平行轴定理： （2）根据单摆公式02T=由0,T T = 可得 2R =（3）该装置为物理摆，仍利用公式2T '= 由对称性可知，质心位于oo '上。
m '为剩余圆弧的质量，h oc '=。
根据平衡轴定理。
2220()C C I m R I m oc I m R h '''''''==+=+- 故22 1.T T T''=== 即T T '=可知不管圆环去掉多少，只要刀口高于剩余圆弧中央，其振动周期均不变。
1m 长的杆绕过其一端的水平轴作微小摆动而成为物理摆.另一线度极小的物体与杆的质量相等.固定于杆上离转轴为h 的地方.用0T 表示未加小物体时杆子的周期，用T 表示加上小物体以后的周期.（1）求当=50cm h 和=100cm h 时的比值TT .（2）是否存在某一h 值，可令0T =T ，若有可能，求出h 值并解释为什么h 取此值时周期不变.【解】（1）利用9.2.1得到的物理摆公式2T = 设0m 为杆质量，为杆长，未加小物体时，加小物体后，（2）由1TT =，即22232h h +=+可得：122,03h h == 讨论：由02T =，此物理摆的等效单摆长度为23。
在123h =处加另一物体，相当于使等效单摆的摆锤质量增加而摆长不变，故周期不变。
20h =，即小物体置于转动轴上，对运动无影响。
故周期不变。
天花板下以0.9m 长的轻线悬挂一个质量为0.9kg 的小球.最初小球静止，后另有一质量为0.1kg 的小球沿水平方向以1.0m/s 的速度与它发生完全非弹性碰撞。
求两小球碰撞后的运动学方程.【解】以小球12,m m 为物体系。
碰撞前后的过程始末，在过程中认为12,m m 仍在原小球2m 静止处。
水平方向动量守恒：碰撞后成为一个单摆作简谐运动，设其运动方程为以碰后小球12,m m 获得速度0.1(m/s)，而0θ=时为计时起点，即由cos 0α=，00sin 1,2A θπααω=-=-=- 故运动方程0.0337cos(3.3)2t πθ=-在θ很小的条件下，x θ=，所以用线量描述的运动方程为0.03cos(3.3)2x t θ=-。
求第四章习题4.6.5题中铅块落入框架后的运动学方程. 【解】以物体2m 为隔离体，根据自由落体的运动规律可知：2m 落至盘上的速度为00.30m x h ν==在以框架1m ，物体2m 为物体系。
完全非弹性碰撞前后为过程始末，因外力（弹簧弹性力，重力）内力，故可用动量守恒定律求近似解：设弹簧自由伸展的位置为a ，挂框架后平衡位置为b,碰后平衡位置为O ，O即为坐标系O-x 之原点.依题意00.10ab m ==因01012, ()()km g k bo m m g =+=+碰撞后系统为一数值悬挂的弹簧振子，舍弃运动方程为以碰撞之后1m ，2m 的共同速度x ν运动，而处于b 处时为计时起点，即： 由00cos 0.5,sin 0.866, 4.19(rad)A A ναααω--==-==-= 运动方程为：0.2cos(7 4.19)x t ==+可选择适当的计时起点使初项为零，则运动方程可表示为0.2cos7x t = 第四章习题 4.6.5题中的框架若与一个由框架下方沿铅垂方向飞来的小球发生完全弹性碰撞，碰后框架的运动学方程是怎样的？已知小球20g ，碰框架前的速度为10m/s.【解】以框架1m ，小球2m 为物体系。
以框架平衡位置为原点建立坐标系O-x ，竖直向下为正方向：以完全弹性碰撞前后为过程始末，设小球的碰撞前速度为2x ν，小球框架碰后速度为2,x x νν'，因外力内力，故可用动量守恒定律近似求解。
又因碰撞为完全弹性碰撞，碰撞前后总动能相等。
可以求得：20(m /s)11x ν=-在一框架为隔离体。
碰撞之后平衡位置不变，仍未O 点。
系统为一竖直悬挂的弹簧振子，设其运动方程为：以碰撞后，框架获得速度x ν，而处于O 点时为计时起点，即： 根据题意，弹簧刚性系数0,0.1mgk ==故009.9(rad/s)0.1ω==== 由000cos 0,sin 0x A A νααω===->知 1.57(rad)2πα==所以运动方程为0.184cos(9.9)2x t π=+质量为m 的物体自倾角为θ的光滑斜面顶点处由静止而滑下，滑行了远后与一质量为m '的物体发生完全非弹性碰撞.m '与劲度系数为k 的弹簧相连.碰撞前m '静止于斜面上，如图所示.问两物体碰撞后作何种运动，并解出其运动方程.已知o =5kg,=490N/m,=30,=0.2m m =m k θl '.【解】a 为弹簧自由伸展位置,b 为加m '后平衡位置，O 为,m m '发生完全非弹性碰撞后的平衡位置，以O 为原点建立坐标系O-x 如图：故1sin bo mg ab kθ== 以物体m 为隔离体，物体m 由斜面顶滑下，做匀加速运动滑行远后速度为0x ν再以,m m '为物体系。