微分方程和解的表达方式
由
k n m
，和
c c cc 2mn 2n m cc m m
原来的微分方程可以改写成：
x 2n x x 0
2 n
2 s 1 n 特征根： 1,2


大阻尼情况的讨论
当 1，方程的特征根
作业3
有粘性阻尼的弹簧质量系统，无阻尼振动的 固有频率为 n ，从平衡位置拉开 x0 后释放， 初速度为零。 （1）求 1.25 和 1 时的系统运动情况。 （2）自己设定 n 和 x0 的值，用MATLAB 画出系统的运动曲线，打印。
小阻尼系统的运动特点
当 1 ，特征方程的根
振幅
小阻尼振动曲线 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0 5 10 时间 15 20
n
阻尼振动的特点
由于有衰减项的存在，因此阻尼振动既不 是简谐的，也不是周期的。 而是随着时间t趋于无穷时，振幅逐渐衰减 为零，系统趋于静止。 这是阻尼自由振动和无阻尼自由振动的主 要区别之一。
cc 2 km 2mn
阻尼比
c c c 令 ，称为阻尼比或者相 cc 2 km 2mn
是一个重要 对阻尼系数。是一个无量纲的数， 振动参数。 表征一个振动系统阻尼的大小： 1 表示大阻尼， 1 表示临界阻尼， 1 表示小阻尼。
以物体的平衡位 置为原点，水平 方向为x轴正向， 建立如图所示的 坐标系。
O k m c x kx m · cx x
微分方程的建立
根据受力分析，和初始条件，可以得到下 面的微分方程。
mx cx kx 0 x(0) x0 , x(0) x0
方程求解
由于方程为齐次的，因此，方程的解具有 如下形式：
阻尼振动的数字特征
习惯上，将函数 cos(d t ) 的周期称为衰 减振动的周期，故衰减振动的周期和频率 分别为： 2 T 2 Td d 1 2 1 2 n
1 n d 2 fd 1 f 2 2
2
阻尼对频率和周期的影响
2
微分方程的通解
微分方程的通解为： x
Ae A2e 1
s1t
s2t
A1 , A2 为任意常数，由运动的初始条件决定。 而解的形式，决定于 s1 , s2 。随着阻尼系数 的不同，特征方程可以有两个不等的负实 根，相等的负实根和一对共轭复根。
临界阻尼系数
使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数 值，称为临界阻尼系数（critical damping coefficient）记为 cc
s1,2 n j 1 2 n
s1,2 j
x t et C1 cos t C2 sin t
令：
d 1 n
2
解的三角形式
方程可以写成：
x ent C1 cos d t C2 sin d t Aent cos(d t )
对e
2
2
进行Taylor展开 2 3 4 8 2 e 1 2
2! 3!
当阻尼很小的时候，
1 ， 2
2
1
U 4 2 8 3 2 U1 2! 3!
作业5
通常应用跌落式悬架装置检测台来测试车辆悬架参数。 测试中，先通过举升装置将车升起一定高度，然后突然松开支撑 机构，车辆落下产生自由振动。 用位移传感器测得车体振动位移曲线如图1所示，请分析车身的固 有频率和悬架阻尼比。
车辆中广泛存在的阻尼
在车辆当中，广泛存在的阻尼有，悬挂/悬 架系统的减振器，轮胎的橡胶和其他各种 橡胶支撑，液体（浸没在液体中振动物 体），摩擦表面（离合器），金属橡胶等。
液压减振器工作原理
活塞缸 活塞运动方向
液流方向 活塞 阻尼孔
轮胎的阻尼
轮 胎 恢 复 力
压缩 复原
O
轮胎变形量
单自由度粘性阻尼的自由振动
大阻尼系统的运动特点
xe 可以证明，
nt
Ae
1
的次数至多有一次。
x · x0 x · x0 x0 t x x0 t x0
· x0 t
临界阻尼情况的讨论
当 1 ，特征方程的根 s1,2 n n
阻尼定义
阻尼是用来衡量系统自身消耗振动能量能 力的物理量 。
线性阻尼
又称粘性阻尼，由粘性阻尼引起的粘性阻 尼力的大小与相对速度成正比，方向与速 度方向相反。阻尼系数为常数。 为了研究方便，通常将阻尼进行线性化， 线性化的方法是等效原则。即在运动过程 中，线性阻尼和原非线性阻尼吸收的能量 一样多。
x1 Ae nTd 可得： n t1 Td e x2 Ae
在一个周期后，幅值缩减到原来的
nt1
1 e
nTd
衰减数据
在 0.05 的情况下，在一个周期振幅减小了27%， 经过10个周期，振幅减小到原来的4.3%。 可见：只要有微弱的阻尼，就可以使振动迅速衰减。 从上式可以看出，如果两个振动系统的固有频率相 同，则阻尼比较大的系统自由振动衰减的较快，这 也说明阻尼比表示了系统消耗振动能量的能力。
由微分方程的理论，方程的解为：
x Ae 1
nt
A2te
nt
代入初始条件可得：
A1 x0 ,
A2 x0 n x0
临界阻尼系统的运动特点
可见：临界阻尼下的系统的运动也不是振动； 但在相同的条件下，临界阻尼的系统的自由 运动最先停止； 因此，仪表都将系统的阻尼设置为临界阻尼。
1 n n
对数缩减率的作用
由
2 1
2
，可以求出

4
2 2
当在

1 的时候， 2 ， 2
1 1 xt n ln n n xt n
通常由 为了便于测量，
获得
例子
试证明：在衰减振动中，在相邻两个位移 最大值消耗的机械能U ，与开始时的机械 能 U1 之比为常量。在阻尼很小的时候，
xe
st
将解的形式带入微分方程：
k st 2 c s s e 0 m m
特征方程及其解
由于 e 0 ，因此，要想方程成立；
st
c k 必须： s s 0 称为微分方程 的特 m m 征方程 可以解出它的两个根：
2
c k c s1,2 2m 2m m
忽略阻尼影响的条件
根据上述展开，大家可以口算当 0.05和 0.3 时，系统的周期和频率变化幅度。 所以，当时 0.3 ，通常忽略阻尼对固 有频率和周期的影响。
阻尼对振幅的影响
阻尼对振幅的影响却非常大。设 x1 和 x2 分别 t1 是相邻两次的振幅，对应的时间分别为： 和 t2 ，则： t2 t1T d
对数缩减率
前后相邻的任意两次振动的振幅之比的自 然对数，称为对数缩减率，记为：
x1 ln nTd x2
由于： Td 当在
T 1
2
可得：
2 1
2
1 的时候，有 2
作业4
证明：第t次与第t+n次振动的振幅对数缩减 率为 n ，第t次与第t+1次振动的振幅对数 缩减率为 ，则：
可见，阻尼的存在，使系统的振动频率降 低，振动周期延长。 但在 很小的情况，阻尼的存在对于周期 和频率的影响，可以略去不计。
1 2 2 1 x o( x ) 2 2 1 x 1 2 2 2 1 x 1 x o( x ) 2
f ( x) ~
n 0
1
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n n!
U 2 有： U1
证明
设第一个位移最大值 x1 ，相邻的位移最大 值 x2 ，则相应的机械能为：
1 2 U1 kx1 2
1 2 U 2 kx2 2
2
x2 U U 1 U 2 1 U1 U1 x1
证明
x2 x1 2 e 由 ln ，从而 x2 x1
2-2单自由度系统阻尼自由振动
引言
惯性体由于任何外力原因离开平衡位置之 后，只受到和位移成比例的恢复力作用， 惯性体将在平衡位置附近按照其固有频率 进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统 的机械能保持守恒。振动无限期的进行下 去。
引言
对于实际的振动系统，由于不可避免的存 在各种阻尼，振动系统的机械能不断转化 为其他形式的能，造成振幅衰减，以致最 后振动完全停止。
， ，
由初始条件，
C1 x0
x0 n x0 A x d
2 0 2
C2
x0 n x0
d
x0 n x0 tan d x0
1
小阻尼的运动曲线
如图所示的为衰减振 动。在 cos(d t ) 1 的时候，物体的运动 曲线和曲线： n t x Ae 相切， 在切点的x值的绝对 值 Ae t 称为振幅。
xe
nt
s1,2 2 1 n ，
均为实数，方程的通解为：


Ae
1
2 1nt
A2e
2 1nt

A1, A2 与初始条件 x0 , x0 有关，
1 x0 n x0 A1,2 x0 2 2 1 n
单自由度系统自由振动部分作业
P51 P52 2.1 2.6 2.7 2.12 作业1~作业5 共9题