高等数学II 试题
一、填空题（每小题3分，共计15分）
1．设(,)z f x y =由方程xz
xy yz e -+=确定，则 z
x ∂=
∂ 。
2．函数
23
2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大。
3．L 为圆周224x y +=，计算对弧长的曲线积分⎰+L ds y x 2
2= 。
4．已知曲线23
,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则
点P 的坐标为 或 。
5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为
210()01x f x x x -<≤⎧=⎨
<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分）
1．设) ,(y x f 连续，交换二次积分120
1(,)x
I dx f x y dy
-=⎰⎰
的积分顺序。
2．计算二重积分D
，其中D 是由y 轴及圆周
22
(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域。
3．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域，试将三重
积分
222()I f x y z dxdydz
Ω
=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分。
4．设曲线积分[()]()x
L
f x e ydx f x dy
--⎰与路径无关，其中()f x 具有一阶连
续导数，且(0)1f =，求()f x 。
5．求微分方程2x
y y y e -'''-+=的通解。
三、(10分)计算曲面积分
2
y dzdx zdxdy
∑
+⎰⎰，其中∑是球面
2224(0)x y z z ++=≥的上侧。
四、(10分)计算三重积分
()x y z dxdydz
Ω
++⎰⎰⎰，其中Ω由22
z x y =+与1
z =围成的区域。
五、(10分)求22
1z x y =++在1y x =-下的极值。
六、(10分)求有抛物面22
1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积。
七、(10分)求幂级数113n n
n x n -∞
=∑的收敛区间与和函数。
高等数学II 试题解答
一、填空题（每小题3分，共计15分）
1．设(,)z f x y =由方程xz
xy yz e -+=确定，则 z x ∂=∂xz xz
xe y ze
y --++-。
2．函数
23
2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l =(4,0,-12) 的方向导数最大。
3．L 为圆周2
2
4x y +=，计算对弧长的曲线积分⎰+L ds
y x 22=8π。
4．已知曲线23
,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则
点P 的坐标为(1,1,1)--或111(,,)
3927--。
5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为
210()01x f x x x -<≤⎧=⎨
<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于32。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分）
6．设) ,(y x f
连续，交换二次积分
120
1(,)x
I dx f x y dy
-=⎰⎰
的积分顺序。
解：
120
11
2
20
10
(,)(,)(,)x
y I dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx
--==+⎰⎰
⎰⎰⎰
7
．计算二重积分
D
，其中D 是由y 轴及圆周
22
(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域。
解：
2sin 220
16
9D
d r dr π
θ
θ==
⎰⎰
8．设Ω
是由球面z =
与锥面z =围成的区域，试将三重
积分
222()I f x y z dxdydz
Ω
=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分。
解：
()
()
dr
r r f d d dxdydz
z y x f I ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++=Ω
40
1
2220
222sin π
π
φφθ
9．设曲线积分[()]()x
L
f x e ydx f x dy
--⎰与路径无关，其中()f x 具有一阶连
续导数，且(0)1f =，求()f x 。
解：[()]x
P f x e y =-，()Q f x =-。
由[()]()x L f x e ydx f x dy
--⎰与路径无关，
得x y Q P ''=，即()()0x f x f x e '+-=。
解微分方程x y y e '+=，得其通解
12x x y ce e -=+。
又(0)1f =，得21=c 。
故x
x e e x f 21
21)(+=-
10． 求微分方程2x
y y y e -'''-+=的通解。
解：20y y y '''-+=的通解为12()x
y c c x e =+。
设原方程的一个特解*x
y ce -=，代入原方程，得
1
4c =。
其通解为
121
()4x x
y c c x e e -=++
三、(10分)计算曲面积分2y dzdx zdxdy ∑+⎰⎰
，其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧。
解：补上
22
1:0 (4)z x y ∑=+≤下侧。
1
1
2
22..............2(21)0............................................3216160.........................333y dzdx zdxdy y dzdx zdxdy y dzdx zdxdy y dxdydz ydxdydz dxdydz
ππ
∑
∑+∑∑Ω
Ω
Ω
+=+-+=+-=+=+
=⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对称性
分
分分
四、(10分)计算三重积分()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰，其中Ω由22
z x y =+与1
z =围成的区域。
解：
2211
()...........................200.. (83)
r
x y z dxdydz
xdxdydz ydxdydz zdxdydz zdxdydz d rdr zdz ππ
θΩ
Ω
Ω
Ω
Ω
++=++=++==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对称性
分
分
五、(10分)求22
1z x y =++在1y x =-下的极值。
解：
222
(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令420z x '=-=，得
12x =。
40z ''=>，1
2x =为极小值点。
故22
1z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)
22，极小值为32。
六、(10分)求有抛物面22
1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积。
解：
22
1 (0)z x y z =-->的面积为
2211
21
.............4............................2x y S dS d π
θ∑+≤==
==
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰分
分
分
平面0z =部分的面积为π。
故立体的表面积为π
+。
七、(10分)求幂级数113n n
n x n -∞
=∑的收敛区间与和函数。
解：收敛区间为[3,3)-。
设11()3n n n x s x n -∞
==∑，
1111
(())()333n n n n
n n x x xs x n x -∞∞==''===-∑∑。
故⎪⎩⎪⎨
⎧=≠--=0
31
0)
3ln(1
3ln )(x x x x x x s 。