dr
(2) (1) Fn dr
w1 w2 wn
不同坐标系里的功
（1）平面直角坐标系
y
F
Fxiˆ
Fy
ˆj, dr
dxiˆ
dyˆj,
y
r0
(where iˆ iˆ ˆj ˆj 1,iˆ ˆj 0)
O
dw Fxdx Fydy.
（2）平面“自然”坐标系
(where tˆtˆ nˆ nˆ 1,tˆnˆ 0)
d dt
(mr2)
可以变化
Mz
d dt
(I)
Fx
d dt
(mx)
直角坐标：
Lz xpy ypx mxy myx M z xFy yFx mxy myx
请自己证明：
M
z
dLz dt
M
d
L
dt
N
i1
Mi
d dt
L
动量矩(角动量）守恒
N
当 M外 Mi 0
L
i 1
0,
或 L2 L1 0
M F
o rA
S
M=Frsin
•力对轴上任意一点力
矩在该轴上的投影等
于力对该轴的力矩。
M
r
F
力对参考点o的力矩M：受力质点相对 于o点的位置矢量r与力F矢量的矢积。
动量矩(角动量）定理—平面运动
Fr mar mr mr 2
F
ma
mr
m2r
m1 r
d dt
(r 2 )
rF
m
d dt
(r 2 )
m
m
体作质功心G占系m主里mm要，MM内 地(力位1a 的。b1)功与质量成r10反 比Mm。m对a,小r1'质M量m物m b
有W关引2 ，力G与的M路功m径只mM与 无M 物关(1a 体。 b1系) 统的初始和最终相对位置
W1
W2
GmM ( 1 a
1) b
W
W1 /W2 m / M
保守力做功
求两壁之间距离为x时的速度u。小球与壁面相继两
次碰撞的时间间隔为 t 2x u
每一次碰撞速度的增量为 2ｖ
小球速度的速度增加率 du u uv dt t x (dx vdt)
xdu uvdt udx
积分得
ux C
u v0l / x
F
mv02l 2 x3
mu 2 F 2muf
x
利用以上结论还容易证明，把表面从距 离l推近到距离x 时所做的功等于球的 动能的增加
质心的速度
v2
m1 m1u1
m2 m2u 2
e
m1 m2 m1(u1 u2)
.
m1 m2
m1 m2
m2 m1
v1
m1u1 e m2u1 eu1,
m2
m2
请考虑情况：
u2 0
v2 m1u1 e m1u1 0.
m2
m2
m2 m1 u2 0
m1=m2的完全弹性碰撞
求练
解习
对 心 碰 撞
M
m
b
In Frame M
a
W
b a
GrM2mdr
GMm(
1 a
1 b
)
Solution II:
r1
r2
r1' r2 '
Re. center of m ass
C
M:
r1
M: F12
dW1
m:
dW2
m: r2
GMm r122
er12
F12 dr1
F21 dr2
G G
GMm (r1 r2 )2
关于轴线的动量矩
L
r
mv
r
p
Lz xpy ypx
mxy myx
S
质点对轴的动量矩等于对轴上任意
一点的动量矩在该轴上的投影。
Bz
py p y
Cx
px
y Ax
力对线的力矩
• 极坐标系
• 直角坐标系
B F F
F C
z
B Fy
F
y
C x Fx
S A
MAB F
S
y Ax
Mz xFy yFx
力对于参考点的力矩
势能
WAB VA VB
或 VA WAO
V O
F
A
dr
Gravitational potential energy
Wab
GMm( 1 ra
1 rb
) Va
Vb
Elastic potential energy
Wab
1 2
k ( xa2
xb2 )
Va
Vb
V GMm r
V mgh?
V
1 2
kx2
After collision： T 1 mv2 e2 1 m(u1 u2)2
2
2
e=1, T=0; e<1, T<0
Therefore： T T (e2
资用能：available energy,
1) 1 m(u 2
对撞机
1
u
2
)
2
角
角动
动量
量 守
与
恒
匀速直线运动的
一个守恒量
掠面速度:
例．在水平桌面上有一卷质量为m 、长为l 的链条，其一端用手以恒速v竖直向上提 起（如图所示），当提起的长度为x时，
(1) 求手的提力为多少？做功多少？
(2) 链条获得的机械能为多少？
(3) 比较以上功与机械能变化是否相等，你 能解释吗？
v
x
解: 取提起的这一段链条为研究对象，它受到的合力为
手的提力与这一段自身的重力之和，即
动量守恒原理
m1u1 m2u2 m1v1 m2v2
碰撞前
碰撞后
碰撞过程
压 缩 阶 段
m1v m1u1 I m2v m2u2 I
(u1 u2) I ( 1 1 ) m1 m2
I m(u1 u2)
I 1 : I 常数e v2 v1 e(u1 u2)
恢复系数 0 <= e <= 1
j
k
)U
x y z
例（P221）：质量为m的人造卫星在环绕地球的 圆轨道上,轨道半径为,求卫星的势能\动能和机械 能.(不计空气阻力)
（1）势能 V mgR2 / .
（2）动能 T mv2 / 2
mv2 / mgR2 / 2.
R O
v2 gR2 / T mv2 / 2 mgR2 / 2. E T V mgR2 / 2.
F mgx / l
链条在dt时间内，一段长度为dx=vdt的链条由静止加速到 v，其动量的增量为
vdm v dm dx vm dx
dx
l
(F mgx / l)dt vm dx l
F mg x vm dx mg x mv 2
l l dt
ll
该力做功为 A x Fdx mgx 2 / 2l mv 2x / l 0
关于点的动量矩定理
由质点动力学方程
r
F
r
d
(mv)
动矩于的o量d点r(时r矩的d间dt定m力(变mv理矩)v化)。:率dd质rtd=就(点r0m等对vm于参v质r)考点d点(所dmot的受vd)t动力量对
dt
dt
M
r
F
d
(r mv)
M
d
L
dt
dt
有心力
•运动的质点所受力的作用线始 终通过某个定点。
s0
dw (Fttˆ Fnnˆ) dstˆ Ftds.
F
r r1
x
x
F
s s1
功的性质
(1) 功是过程量，一般与路径有关。 (2)功是标量，但有正负。 (3) 合力的功为各分力的功的代数和。
w w1 w2 wn
引力的功 与路径无关
两个质点之间在万有引力作用下相对运动时 ，以 M所在处为原点, M指向m的方向为矢径r的正方向。 m受的引力方向与矢径方向相反。m在M的万有引力
：
试 在 质
心
系
中
交换速度
两体问题的动能 About kinetic energy
T T 0 T 1 m0v2 1 mv2 2 02
T
'
1 2
m1v'12
1 2
m2v'22
Before collision：
T 1 mv2 1 m(u1 u2)2
2
2
Relative velocity, after collision e(u1 u2)
的冲量为2mvo，单位时间内的碰撞次数
（碰撞频率）为f=vo/2l,单位时间墙壁受
到的总冲量即是墙壁受到的平均作用力，
所以 •
F
2mv0 f
mv
2 0
l
(2)设两个壁面之间距离为x时小球的速度为u,与上
一问类似，碰撞频率为f=u/2x，每一次碰撞墙壁
受到的冲量为2mu，所以 F 2muf mu 2 x
向另一个表面，则回跳频率由于碰撞间距离的
减少以及球从运动的表面碰回时，小球的速率 增大而增加，求出用表面的距离x来表示的力F。 （3）证明：把表面从距离l推近到距离x 时所 做的功等于球的动能的增加。
v0
m
v
x
l
（1）因为是完全弹性碰撞，小球反弹的速
度还是vo，所以小球每一次与壁面碰撞
动量的变化是2mvo, 即单次碰撞墙壁受到
Mm (r1 r2 )2
Mm (r1 r2 )2