随堂练习
1.如图,l1//l2, l3⊥l4 ， ∠1=42°，那么∠2的 度数（ A ）
A 48°
分析
B 42°
C 38°
l4D 21°l3 Nhomakorabea1
先根据两直线平行，同位 角相等求出∠3，再根据 直角三角形两锐角互余即
3
l1 l2
2
可求出∠2．
2.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是 AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°， 则∠BPC的度数是（ B ）. A.150° B.130°
2
如图，取线段AB的中点D，连结CD，即CD为Rt△ABC 斜边上的中线， 则有CD 1 AB BD. 2 又已知 BC 1 AB ， 2 所以CD=BD=BC，即△BDC为等边三角形.
所以∠B=60°.
又Rt△ABC中，∠A+∠B=90°， 所以∠A=30°. 在直角三角形中， 如果一条直角边等于 斜边的一半，那么这 条直角边所对的角等 于30°.
例题精讲
例2 如图，在A岛周围20海里(1海里=1852m)
水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，
发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距 30 3
海里，若该船继续保持航向不变，有触暗礁的
危险吗？
取轮船航向所在的直线为OB.过
分析
点A作AD⊥OB, 垂足为D.AD长 为A岛到轮船航道的最短距离 , 若AD大于20海里, 则轮船由西向 东航行就不会有触礁的危险.
湘教版（初中二年级） 八年级数学下册全套 PPT课件
直角三角形的性质和判定（Ｉ）
新知探究
01 思考
问题1：小学我们对直角三角形有哪些认识？ 问题2：直角三角形作为一种特殊的三角形， 除了具有一般三角形的性质外，它还会具有哪些特 殊的性质？
02 探究1
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于 多少呢？
在Rt△ABC中，因为
∠C=90°，由三角形内角和
定理，可得∠A +∠B=90°.
结论
直角三角形的两个锐角互余.
02 探究2 有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？
已知：△ABC中，∠A+∠B=90°.
求证： △ABC是直角三角形.
在△ABC中， ∵ ∠A +∠B +∠C=180°，∠A +∠B=90°， ∴∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形 (直角三角形定义).
E
A D
易证△BED≌△ACD.
∴∠BED=∠ACD，BE=AC.
B
C
∵Rt△ABC中，∠ACB=∠ACD+∠ECB =90°. ∴∠BED+∠ECB =90°. ∴△BCE是直角三角形. 从而可证△BEC≌△CAB. ∴EC=AB. 1 1 ∴CD= EC= AB. 2 2
例题精讲
例1 如图，已知CD是△ABC的AB边上的中线， 且 CD 1 AB . 2 求证：△ABC是直角三角形.
∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB有什么关系呢?
如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD 1 AB BD. 2 ∵ ∠BCA=90°，且∠A=30°， ∴ ∠B=60°.
在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一 半.
证明：∵CD 1 AB= BD= AD ， 2 ∴∠1=∠A，∠2=∠B (等边对等角) 根据三角形内角和性质，有
∠A+∠B+∠ACB
=180°，
即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°， ∴2(∠A+∠B)=180°. 所以 ∠A+∠B =90°.
∴△ABC是直角三角形
（有一个角是直角的三角形的直角三角形）.
B
C
∴ 点D 是斜边上的中点，即 CD 是斜边 AB 的中线.
从而 CD与CD重合，且 CD
1 AB. 2
结论
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
这个定理还可以怎么证明？
已知：如图，Rt△ABC中，CD是斜边的中线.
1 求证：CD= AB. 2
证明：延长CD到E，使DE=CD，连接BE.
结论
有两个角互余的三角形是直角三角形.
02 探究3 如图，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上的
中线CD，比较线段CD与线段AB之间的数量关系，
你能得出什么结论？
线段CD 比线段AB 短.
1 我测量后发现CD = AB. 2
1 对于任意一个Rt△ABC，是否都有CD = AB 成立呢？ 2
1 如图，Rt△ABC中，如果中线CD = AB，则 2
30 3
60° 东 D B
随堂练习
1.如图，一颗树在一次强风中，从离地面5m处折
∴ △BDC为等边三角形.
∴BC BD= 1 AB. 2
还有其他方法证明这个结论吗？
延长BC到D，使CD=BC，连接AD，构成 等边三角形.（将或△ABC沿AC对折，得到轴
对称图形△ADC，从而也构成等比三角形.）
A
可证得：AB=AD=BD=2BC，
300
600 C
1 即：BC= 2
AB
D
B
探究5 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如 果 BC = 1 AB，那么∠A=30°吗？
CD=BD=AD，于是有∠DCA =∠A . 故作DCA=A 时，可证得CD = BD = AD.
Rt△ABC中，过直角顶点C作射线 CD交AB于D，使
DCA=A.
又∵∠A
DCA+ DCB 90 ， +∠B=90° ，
D'
A
∴ B DCB. ∴ CD = BD. 故得 CD = AD = BD = 1 AB. 2
解 轮船在航行过程中，如果与A岛的距离始终大于20
海里，则轮船就不会触暗礁. 在图中，过A点作AD⊥OB，垂足为D. 在Rt△AOD中， AO =30 3 海里，∠AOD=30°. 于是 AD = 1 AO 2 北 = 1 30 3 2 ≈ 25.98( 海里 ) .
>20（海里）
所以轮船不会触礁.
C.120°
D.100°
解 因为BE，CD是ABC的高， 所以∠BDP=90°，∠BEA=90°. 又∠A=50° ， 所以∠ABE=90°-∠A=90°-50°= 40°. 所以∠BPC =∠ABE +∠BDP = 90° + 40°= 130°. 故应选择B.
新知探究
探究4
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果