用待定系数法求三角函数最值
武增明
用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件，从何处入手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实既“活”又“巧”，对此问题，现利用待定系数法探析。

例1. 设x ∈（0，π），求函数x
sin 22x sin y +=的最小值。

分析：拿到此题，很容易想到下面的解法。

因为 sinx ＞0， 所以2x
sin 22x sin 2x sin 22x sin y =∙≥+=。

故y min =2。

显然，这种解法是错误的！错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。

由
x
sin 22x sin =得sinx=2，这样的x 不存在，故为错解。

事实上，此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，又能使“=”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这
个问题，为此，先引入一个待定系数λ（0＜λ＜2，使x
sin 2x sin 2x sin y λ-+λ+=。

由均值不等式及正弦函数的有界性，得λ-+λ≥λ-+λ∙≥22x
sin 2x sin 2x sin 2y 。

当且仅当x sin 2x sin λ=且sinx=1，即λ=21时，上式等号成立。

将λ=21代入，得y min =2
5。

另解：y=)x
sin 4x (sin 21+。

令sinx=t(0＜t ≤1＝，易证)t 4t (21y +=在（0，1]上单调递减，所以25)141(21y min =+=。

例2. 当x ∈(0，2π)时，求函数x
cos 2x sin 36y +=的最小值。

分析：因为x ∈(0，
2
π)，所以sinx ＞0，cosx ＞0，引入大于零的待定系数k ，则函数x cos 2x sin 36y +=可变形为x cos 1x cos 1x sin k x sin 33x sin 33y 2++++=+kcos 2x －k ≥
33k 27+3k 3－k=12k k 3-，等号成立当且仅当⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==32232222k 1
x cos k 3x sin ，x cos k x cos 1,x sin k x sin 33即，时成立。

由sin 2x+cos 2x=1,。

得1k 1
332=+，即k 2=64，又k ＞0，所以k=8。

故函数y 的最小值为168212k k 123=-⨯=-，此时x=
3π。

例3. 设x ∈(0，2π)，求函数y=sinx+x
sin 12的最小值。

分析：因为x ∈(0，2π)，所以sinx ＞0，y=sinx+x sin 12可变形为x
sin 12x sin 2x sin y 2++=。

由均值不等式得32413x sin 12x sin 2x sin ≥++。

但x
sin 12x sin 2≠，故上式不能取等号。

下面引入待定系数k 进行配凑解之。

解：因为x ∈(0，
2π)， 所以sinx ＞0。

因为，1＜k＜0,x
sin k 1x sin k x sin 1222-+= 故x sin k 1)x sin k 2x sin 2x sin (
y 22-+++= ≥1
k 14k 33-+， 等号当且仅当
x sin k 2x sin 2=且sinx=1，即k=21时等号同时成立。

从而21k 14k 33=-+，故函数y=sinx+
x
sin 12的最小值为2。

例4. 求函数y=sin 2x ·cos 2x+x
cos x sin 122∙的最小值。

分析：易得x 2sin 44x 2sin y 22+=，由均值不等式得2x
2sin 44x 2sin 22≥+。

但x
2sin 44x 2sin 22≠，故上式不能取等号。

于是引入待定正实数λ，μ，且λ+μ=4，则有x
2sin 44x 2sin y 22+= =x
2sin x 2sin 4x 2sin 222μ+λ+ ≥x
2sin x 2sin 4x 2sin 2222μ+λ∙ ≥μ+λ。

当且仅当x
2sin 4x 2sin 22λ=且sin 22x=1时等号同时成立，此时415，41=μ=λ，所以当sin 22x=1时，y 有最小值为
4
17。