课堂教学的特色、创新与点评——在“第二届初中数学名师创新型课堂研修会”上的发言罗增儒（陕西师范大学数学与信息科学学院）老师们：下午好．很荣幸，两天来我们马不停蹄地欣赏了六位老师关于“立体图形与平面图形”（概念教学，女）、“整式的乘法”（法则教学，男）的“同课异构”，聆听了六位老师关于课堂特色、课堂创新的“主题演讲”．首先，让我们对来自浙江（郑瑄）、北京（张苏）、安徽（章昀、董建功）、山东（刘乃志）、上海（孙琪斌）、江苏（庞彦福）七位老师的精心准备和流畅展示表示由衷的感谢；对三位主持老师（董建功、王俊和孔琳）的辛勤劳动表示崇高的敬意．我看到了，本次活动是以大家风范的“同课异构”为载体的；是以名师引领的“课堂研修”为主题的；是在“特色”和“智慧”的旗帜之下打造优效教学的．所以，我的发言也就环绕同课异构、教学特色、教学创新、教学智慧和数学案例五个主题词来展开．先谈理论认识（铺以故事来作说明），再从实践与理论的结合上谈本次活动中的课例和演讲．1 理论认识数学课堂上存在着各种各样的教学，有的精雕细刻，面面俱到；有的大刀阔斧，突出重点、难点和观点；有的任性热闹、但数学浅薄得一无所有；有的质朴无华、却内容揭示得入木三分；有的工于抽象思维，有的富于形象直观；有的是教师的独角戏，有的是师生的二重唱；有的是课堂的催眠曲，有的是心灵的净化剂；听有的课是受罪、听有的课是享受，不同的教学有不同的效果，我们追求有特色、有创新、有智慧、从而是高效率、优效果、强效益的教学．1-1 同课异构（1）同课异构的界定．“同课异构”中的“课”指教学内容，“构”指教学设计．“同课异构”这一名称借鉴了化学学科中的同分异构，化学上，同分异构体是一种有相同化学式、有同样的化学键却有着不同原子排列的化合物．有些同分异构体有相似的性质，但也有的相差很大．同样，“同课异构”有的风格迥然不同，有的只是“同课异人”．（2）同课异构的方式．同课异构有两种方式：一种方式是同一教学内容由不同教师作不同的处理、组织为不同的课堂教学；另一种方式是同一教师对同一教学内容在不同教学班级作不同的处理，组织为不同的课堂教学．通常所说的同课异构大多指第一种（本活动），也就是不同的教师选用同一教学内容，根据学生实际、现有的教学条件和教师自身的特点，对教学内容进行合理的教学安排和不同的教学设计．（3）同课异构的作用．不同教师的教学风格，教师对课程资源的组合能力以及教师对教材的处理艺术，在“同课异构”中均能得到充分的展示．对不同教师执教同一教学内容的教学案例进行充分比较、多方探讨，①是提高教师专业水平、提升校本教研实效性的一条有效而便捷的途径；②也是促进教学创新的一条有效而便捷的途径．（4）同课异构的特点．“同课异构”作为校本教研的新方式，具有四个特点：①由以教材教法为中心的文本教研转向以师生共同发展为中心的人本教研．②由以接受为主的指导性教研转向以互动探究为主的反思性教研．③由过去学与习脱节、研与训分离向学与习结合、研与训一体化转变．④由单一封闭的个人研究模式转向多维互动的群体研究模式，授课教师与听课教师都在比较中互相学习．（5）同课异构的实施．“同课异构”的教研形式主要分为以下四个步骤：①确定课题，自主备课．首先，由相关方面确定进行“同课异构”的授课教师及教学内容（这一步，主要由主办方统筹了）．然后，由授课教师面对同一课题，各自备课．备课时，要求教师认真钻研教材，查阅资料，挖掘各种可用的教学资源，深入了解学生的学习基础，广泛收集相关课题的资料，再根据自己对教材的个性解读和本人教学优势制订教学目标，预设教学过程，提出具有教学特色的设计．（这一步，六节课都努力做了）②说课交流，修改教案．在自主备课的基础上，请各位授课教师根据各自的教学设计情况进行说课．把自己对同一课题的教学目标的设置、采用的教学方法、教学过程的预设以及设计理念进行阐述，重点说明教学流程和希望产生的效果，也可提出自己的困惑供大家讨论．（本活动难以做到）③上课展示，点评研讨．由各位授课教师分别进行课堂教学的展示．全体教师深入课堂听课，体验教学设计在课堂中的实施情况及实际效果，并随着课堂的进程，将自己的思考记录下来．教师们既要听出“同课”的“同”来，更要听出“异构”的“异”来．课后，授课教师和听课教师进行坦诚的交流，展开思维的碰撞．授课教师应就本课的设计意图和上完课后的得失进行剖析，交流教后感悟和体验；听课教师应进行会诊式研讨，详细剖析教学中的行为，分析各位授课教师教学方法的特色、闪光点与商榷之处，通过集体的智慧进行再次比对，找出同一教材内容的不同处理方式，挖掘教学的亮点，找出需要完善的地方．（这一步，现在正在做）④反思总结，共同提高．根据大家的讨论，授课教师修改原来的教学设计，写出教学反思，作为教研组活动的资料积累起来．反思文本可以围绕以下三个方面来展开：●教学过程，记录本次课堂教学的教学流程；●精彩回眸，记录自己认为教学过程中最精彩的片断，并进行剖析；●病历记载，揭示本次教学存在的问题．（这一步，下来认真做，投寄到“中数参”发表）故事1：两节“同课异构”课．我在一所中学听过两节课，都是讲“向量在几何中的应用”（高中），一节是年轻教师上，教案很完整，讲解很规范，一类一类的题目，一步一步的方法，与发到手上的教（学）案非常一致．另一节是特级教师上，他只带了一个脑袋和作为引子的一道题目来，我向他要教（学）案时，他说要等上完课之后才有，他介绍了上课的基本思路（腹稿）：先给出一道题目，让学生做，然后提问题，由此展开，学生有什么问题就环绕“向量在几何中的应用”解决什么问题，学生提不出问题时，教师提．两节课都上得挺成功，都演绎了“向量在几何中的应用”，但教学风格迥然不同（同课异构）：①一个更体现教学的共性，一个更体现教学的个性．②一个以教定学，一个以学定教．③一个更重视教学的预设，一个更重视教学的生成．④一个是认认真真地执行教学规范，一个是洒洒脱脱地展示教学智慧．（不是教师没有备课，而是“以学定教”备了很多课）1-2 教学特色（1）教学特色的含义．①界定：教学特色是一个教师区别于其他教师的教学活动方式．（特色设计参见案例1-2、案例3）②理解：它是教师的教学思想、教学风格、个性特点、教学技术等在教学过程中独特的、和谐的结合与经常性的表现．教学特色的形成是一个教师在教学艺术上趋于成熟的重要标志．（2）教学特色形成的三个途径．途径并不唯一，主要有如下三个、并可以交叉：①摸爬滚打型：教师在教学实践中不断积累、并在教师群体内部自主交流，逐步形成个人的教学特色．（我是）②理论指导型:教师自觉地运用先进的教育思想于各个教学环节，整体构建、并最终形成自己独特鲜明的教学特色．③博采众长型:教师博采众长，先部分地移植大家的长处，利用综合优势，再蜕变出本人的教学特色．（3）教学特色形成的四个阶段．一般来说，教学特色的形成通常要经历“模仿、选择、定向、创新”四个阶段．①模仿．通过观察被模仿对象的行为，获得相应的表象，从而产生类似行为的过程，叫做模仿．学写字从模仿开始，学写作从模仿开始，学绘画从模仿开始，学音乐舞蹈从模仿开始，学数学解题等也都从模仿开始．数学教师亦是参照成熟教师的教学行为，学会“教什么，怎么教”的，这是形成教学特色的第一步．但模仿不是目的，而是对不同教学特色的广泛了解、不断熟悉、为创新打好基础．②选择．在熟悉众多的教学特色后，根据个人的兴趣、爱好、特长、心理、生理条件等选择适合自身个性发展的恰当模式．③定向．在选择了某种教学模式之后，对自己的教学风格的发展方向进行设计，并在教学中努力实践．④创新．在确定方向并努力实践的过程中，形成独特的风格和经常性的表现，创造出自己的特色．（4）教学特色的特征．教学特色一旦形成，会有四个方面的特征．①教学的艺术性．指教师在教学过程中技能技巧的运用恰到好处，充满着艺术感染力．②风格的创造性．教师在教学内容的处理、教学方法的选择和教学过程的组织上具有独特性，人无我有、人有我新．③效果的良好性．教学突出了重点、突破了难点，学生原有的知识经验与新输入的知识之间建立起非人为的、实质性的联系，教学效果良好．④表现的稳定性．教师的教学艺术、教学创造和良好效果不是偶尔的、临时的个别表现，而是一贯的、全方位的经常表现，已成为教师一种良好的、鲜明的、稳定的个性特征．故事2：一个中国教师在世纪之交，借鉴国外“小组学习、合作交流”的教学模式，先是观察、模仿、学习；经过一段时间的熟悉之后，根据自身的启发式教学积累，逐渐形成以学生为主体、以教师为主导、关注数学本质的自我风格；这种风格在教学实践中不断磨练、稳步发展，形成新课程理念与数学教育中国道路相结合的教学模式．这里就有非常明显的四个阶段：模仿、选择、定向、创新．教学特色直接与教学创新相联系，并落脚于创新．1-3教学创新（1）教学创新的含义．教学创新是教师对教学再创造的教学，它经历从模仿的量变积累到升华的质变过程，表现为对模仿的超越和对常规的突破，核心是“新”——新的结构、新的方式、新的良好效果等（上面说过：人无我有、人有我新）．教学创新是推进优效教学、实现高效课堂的永恒动力！（2）教学创新需要艰苦的努力．这是因为：①创新意味着质变．推陈出新有一个量变的积累过程，才能达到更本质、更深刻的飞跃，这个过程常常是漫长而艰苦的．②创新意味着付出．因为惯性的作用，超越和突破需要强大的力量，这个力量就是创新者艰苦而巨大的付出、稳定而健康的心理；有时，还需要社会的支撑与扶持．③创新意味着风险．任何新的东西、新的做法都存在失败的可能，需要我们敢为人先，标新立异，勇于提出问题，善于探索调整．（3）课堂教学中创新精神的培养：关键是激发好奇，培养兴趣，激励质疑、引导探索：①好奇是的萌芽，是唤起创新意识的起点；②兴趣是的营养，是支撑创新思维的感情；③质疑是创新行为的，是开启的力量；④探索是创新学习的进程，是进行创新学习的行动．故事3：反思“曹冲称象”（1）故事简介．这是一个传颂千古的故事：曹操获得一头大象，与大家一边看一边议论，“大象到底有多重呢”由于当时没有这么大的秤杆，没有先进的仪器，这就成了一个问题，一个非常规应用问题．存在不同水平的“问题解决”．有人提议把大象宰了，一块一块地称，这是一种“化整为零”的策略，重量虽然出来了，但珍贵的大象却不复存在了．曹操的儿子曹冲才7岁，他提出一个聪明的办法：先把大象赶到一艘大船上，看船身下沉多少，就沿着水面，在船舷上画一条线．然后，把大象赶上岸，往船上装石头，直至船下沉到画线的地方为止．最后，称一称船上的石头，石头有多重，就知道大象有多重了．理解曹冲方案需要物理知识（没有阿基米德定律不能保证石头与大象等重，难保不会出现“刻舟求剑”的错误），下面的分析不涉及物理定律，纯粹数学教育的视角．（2）问题解决分析．我们从数学上分析曹冲的“问题解决”过程主要有两个步骤：第1步，把“整体”的大象对应为等价物：“零散”的石头(映射——化整为零)；第2步，称一小块一小块石头得出：大象的重量(逆映射——集零为整)．↓图１请注意，曹冲先“化整为零”、再“集零为整”的做法，与愚蠢的“宰象”方案有思想方法上的共同性，曹冲的聪明之处在于，既从别人的不成功想法中吸取了合理成分，又用等价物代替大象．他的思维亮点：通过物理知识找出等价物．（3）反思曹冲方案．曹冲方案在实施等价物的时候，有一个大前提就是“大象自己上船、自己下船”，这当中若有一次大象不愿走动，那么抬大象的困难与称大象的困难几乎是类似的．大象自已走上走下对我们抬石头、称石头能带来什么启示呢就此，笔者与一位小学二年级学生进行了如下的对话．（微型实验）教师：假如我们这块地方是个平原，一马平川全是黄土，没有石头，你怎么办（把等价物从“石头”的传统认识中突破出来——不是唯一的）学生：那我就把黄土挑上船，直至船沉到画线的地方，然后称黄土的重量．教师：挑黄土上船、下船，既费工又费时，有没有既省工又省时的更简单办法（寻找更方便的等价物）学生：用电子秤直接称大象．教师：这不行，不能改变当时的技术条件．学生：组织围观的人代替黄土，让人自己走上船、自己走下船过秤，既省工又省时，要不，赶一群羊上船也可以．（4）反思的启示．这个办法确实比曹冲的强，由此，可以得出3个结论：①即使是“智慧典范”的解题过程也有创新的空间．②即使是对小学生作解题过程的分析与启引，也能开发出解题智慧来．③找回被浪费的重要信息是解题分析获得进展的一个有效途径．在曹冲方案中，“大象自己上船、下船”本已存在，只不过是在使用石头等价物时被浪费了，“小学二年级学生”无非是“找回被浪费的重要信息”．（创造性：“人无我有、人有我新”．曹冲是人家没有“等价物”他有，小学二年级学生是突破已有的“等价物”，找出新的等价物）我们现在讲这个故事是想导出这样一个话题：一个小学二年级学生都能想出来的办法，我们作为成年人、作为教师为什么没有想过多少年来我们是不是存在一种认识的自我封闭、缺少自我反思的敏感类似地，我们天天进行教学，是不是也缺少一种对教学反思的强烈敏感是不是也缺少一种教学创新或教学再创造的自觉意识应该看到，教学处处有创新的空间！再说一个小学生也有创新的例子：圆的面积．一般方法是把圆转化为长方形：图2新方法：如图3，作同心圆，然后沿虚线剪开、一层一层拉直，开始是一个一个小梯形（近似），最后一个是等腰三角形，最终把圆变形为等腰三角形（近似），其底为圆的周长2r π、高为圆的半径r ，面积为2122S r r r ππ=••=，故圆的面积为2S r π=．图3这个设计是可以操作的：取一个由布料或塑料带子缠绕而成的圆盆，其纵截面为一个圆面．如图3，沿虚线将带子剪开、一层一层拉直，可把圆面变形为等腰三角形（同时也把一个圆柱变为一个三棱柱），这个三角形的底为圆的周长2r π、高为圆的半径r ，面积为圆的2122S r r r ππ=••=，故圆的面积为2S r π=．（圆柱的体积也等于三棱柱的体积）这里已经有微积分的思想了．还要指出，当学生出现的时候，我们老师不能叶公好龙．举个很简单的例子（继续参见案例2-1）：故事4 看图写数（如图4），一年级时，两串苹果、每串2个，学生写2或4．（《小学数学教师》2011第7～8期刊文“2还是4”P174）图4 图5到三年级时（如图5），三串葡萄、每串10个，看图写数，学生全写30，因为写3老师会判错．解释：这里有一个量与数的关系问题，凡是可以测量、计数、计算的东西，都叫做量．图4、图5的东西可以计数，当然是量．凡是量，都可以用同类的量做单位，来度量它的大小，度量的结果就得到数．可见，量与数既有联系又有区别，数与单位有关，同一个量使用不同的单位，得出的数是不同的（数可以不唯一、但实质相同）．因而，上述题目是开放的，只要能说出理由来都可以作为答案．如图4①2是指“串”，4是指“个”（4是怎么得出来的其理由可能也是开放的：1+1+1+12+22×2）；如果合为一个整体也可以是1“堆”苹果；如果2指“个”，4指“串”，那全都是错的．②如果作发散思考：●有学生写22时（两个2并列，并不比2+2别扭，可能比2×2更自然），你会认可吗你会叶公好龙吗●有学生写220时（两个2并列苹果后面再没有苹果了），你会认可吗你会叶公好龙吗●有学生写202时（两串苹果之间没有苹果），你会认可吗你会叶公好龙吗●有学生写2020时（两串苹果之间没有苹果，两串之后也没有苹果），你会认可吗你会叶公好龙吗总之，题目是开放的，不要当作结构良好的收敛题来处理，限制学生的思维．所出现的情况，对教师的数学功底和教学智慧都是挑战，要珍惜学生的思维闪光点．如果教师要作为收敛题，应注明单位．③还要指出，除了实际问题涉及单位换算之外，数学只关心“数”，5×2=10可以是5米的2倍等于10米，也可以是人的2只手共有10个手指头，这两件不同的事在数学上的抽象是一样的．④当然，有些量的单位是天然的，如42个人，3所学校，8本书，对这些量，教师也要向学生交代，特别是在第一次出现的时候，不要“潜在假设”．1-4教学智慧（1）教学智慧的含义．教学智慧是教师面临复杂教学情境所表现出来的一种准确判断和敏捷反应能力．常常出现在随机应变、灵活创造、成功处理教学意外事件的过程中，它是观察的敏锐性、思维的灵活性和意志的果断性三位一体的独特结合．是教师在千变万化的教学实际情景中，处理“预设”与“生成”关系所表现出来的一种实践智慧．我们知道，教学活动既是一种科学活动（必须符合教学活动的客观规律），又是一种艺术活动（蕴藏着丰富的人文性）．前者就会形成和发展我们所说的教学理论，并组成以严密的理性分析和逻辑推理为基础的内容体系，反映的是教学的必然性．后者就会形成和发展教师的教学智慧，即教师在教育情境中对个别的、特殊的教学现象的理解与处理，并成为教育实践性知识的重要内容，反映的是教学的偶然性．（2）教学智慧的特征．（参见案例1）①教学智慧的情境性．教师的教学智慧是教学经验与教学艺术长期积累基础上的创造性呈现，但在积累与呈现之间，需要复杂教学情境的激发，常常是在教师与学生之间互动合作的特定情境中才被激发出来．这个复杂的教学情境，不仅指教师对于教学的理解与把握来说是复杂的，而且还指教师养成教学智慧的过程与方法也是在复杂的情境中生成、又在复杂的情境中智慧的．②教学智慧的生成性．教学智慧常常不是预设的，而是在真实的情境中生成智慧、并在短暂的时间内选择最为恰当与艺术的一种解决办法．是教师在处理问题时的急中生智、大胆创新，可以体现教师的自制能力、应变能力和教学预见能力．③教学智慧的实践性．教学智慧是一种教学行动的形式，是教师与学生交往的方式．是在教学的实践中产生了教学智慧，同时，教学智慧又在教学的实践中发挥作用．案例1:在“三角形内角和定理”的课堂上．案例1-1：体现教学智慧的生成．第1、案例的呈现．[解说：“三角形内角和定理”的教学设计，人们已经谈了很多（还可参见案例1-2），但这并不影响教学的创造，有出息的教师依然在数学教育中国道路的推动下探索新的可能性，如图6，展示了教师对定理教学的精心设计，殊不料“突发事件”屡屡发生] 图6教师：如图6，用橡皮筋构成ABC ∆，其中顶点,B C 为定点，A 为动点，放松皮筋后，点A 收缩，产生一系列的三角形：1A BC ∆，2A BC ∆，3A BC ∆，……请观察内角和会发生怎样的变化 ［解说：教师的主观意图是让学生看到：00B ∠→，0C ∠→o ，0180A ∠→，这既孕育着极限的思想，又诱发出0180A B C ∠+∠+∠=，但是，学生发言了］ 学生1：内角和等于0180．教师：好，说说你是怎样观察出来的学生1：我不用观察，以前已经知道这个结论．［解说：老师有点失落，但立即又根据已经发生的情况，舍去“结论发现”的启发，马上转入“结论证明”的发现］教师：那我们探究一下三角形的内角和为什么是0180学生1：不用探究，这是定理，记住结论就可以了．教师：（教师随手在黑板上分别画了一个钝角三角形和一个直角三角形，问学生1）那么，这两个三角形的内角和是否相等学生1：这不好说．［解说：这些学生只关心结论性知识，其实并未真正理解定理．当初直观呈现或直接接受的知识，因为未加证明，所以并没有与原有的知识建立起非人为的、实质性的联系，这需要教师的引导（我把它叫做“僵尸数学”，谈不上智慧，谈不上特色，谈不上创新）］教师：是的，以前介绍过三角形的内角和等于180o ，但没有证明，由于实验可能会有误差，无穷个三角形也不能逐一检验，所以，我们要给出一个严格的证明．学生2：通过图6，我看到当点A 趋向于BC 时，,B C ∠∠趋向于0o ，而A ∠趋向于0180；合起来，三角形内角和趋向于180o ；同时，这个图形还告诉我们，这个结论怎样证明．教师：（很高兴）你说说证明．学生2：设三角形的内角和为x 度，在BC 上取一点D （相当于点A 的运动终点），联结AD （如图7），有11A B D x ∠+∠+∠=，（在ABD ∆中）22A C D x ∠+∠+∠=，（在ADC ∆中）相加 ()122A B C D D x ∠+∠+∠+∠+∠=．但 A B C x ∠+∠+∠=，12180D D ∠+∠=o ，（平角） 图7代入有 1802x x +=o ，得 180x =o ． 受学生2的启发，也有同学在三角形内取图一点P ，联结,,PA PB PC 分成三个三角形（如8），然后求内角和来证明． 图8[解说：这完全出乎教师的意料之外，一时间自己也弄不清正误，既无法立即表态，又不能表示出犹豫，教学在师生互动中出现“复杂教学情境”，教师的选择是“推迟判断”]教师：证明出来了，同学们好好看一看，做得对不对[解说：教师肯定了学生的行为，但没有肯定行为的性质，“推迟判断”是一种教学智慧．学生沉默片刻之后，大多表示认可，确实，一旦承认“三角形内角和为定值”，整个证明就无懈可击，但初中课本没有这样的定理，教师利用这段甩给学生的宝贵时间想通了，原来图6的设计给学生造成了这样的印象：1A BC ∆，2A BC ∆，3A BC ∆，……的内角和为常数，所以，学生认为图7中的ABD ∆，ADC ∆，ABC ∆内角和均为x ，其实，图6中变量的极限为180o 时，其变化过程可以单调上升，也可以单调下降，还可以是摆动的，更危险的是，可能变量根本就不取值180o ，但这怎能向初中生讲清楚还有本课的教学任务怎么完成]教师：是的，仔细审核每一步都推理有据，计算准确，但是（如图7），为什么ABD ∆，ADC ∆，ABC ∆的内角和都是x 呢课本中没有这样的定理．因此，还要先证“三角形的内角和为定值”才行．不过，这个方法向我们提供了一个思路，通过图中三角形的关系，并且利用平角等于180o 来证．对此，我们暂且按下不议．现在，让我们重新回到ABC ∆，看看拉紧皮筋（与放松相反），让点A 沿BA 方向运动的情况．如图9，当点A 变为BA 延长线上的1A ，2A ，……变化时，A∠。