例谈不完全归纳法在初中数学中的运用
郧西县城关镇城北中学 徐华进
不完全归纳法是指从一个或几个(但不是全部)特殊情况作一般性的结论的归纳推理。
这种归纳法是用一定数量数值为基础,进行分析探究,从中找出规律,并将此规律推广应用到一般情况下的计算和证明．在初中数学教材中，经常会用这种方法进行定义、公式、法则、定理的推导．学生在学习中,若能正确运用不完全归纳法,可提高分析、解决问题能力，发现、探索问题的能力。
下面略举几例说明它的运用；
一. 在推导法则、定理中的运用
1．利用不完全归纳法推导分式乘方的运算法则 根据乘方的意义和分式乘法法则，可得：
①222)(b a bb aa b a == ②bbb aaa b a =3)(=33b a ③7
7
7)(b a bbbbbbb aaaaaaa b a ==……
由此可推出，当n 为正整数时，=
n
b
a
)( b
a
n b a b a b a 个
···⋯⋯=n
n b
n a n b
a b bb a aa =⋯⋯⋯⋯ 个个····(b ≠0)
即分式乘方要把分子、分母分別乘方
２．利用不完全归纳法推导凸多边形内角和定律 将教材的推导过程整理成下表：
通过引导学生填写上表内容,分析概括,总结归纳出多边形内角和定理:n 边形内角和等于1800
×(n-2). 说明：本定理的推导，还可以在多边形内（或一边上）取任一点，分别连接多边形的顶点，也可仿照上述方法，得到同样的结论，可让学有余力的学生在课外去探讨。
二.在解题中的应用
1 . 从计算结果中探究规律
例 计算:⑴211- = 3 ⑵221111-=33 ⑶222111111-=333 ⑷222211111111-=3333 请根据上述规律写出下式的结果:
2
1
222....222211......11111个个n n -=______________. 分析：①从⑴至⑵式的左边可以看出：被开方数中被减数1的个数是减数2的二倍，其结果中3的个数是减数2的个数。
解： 2
1
222....222211......11111个个n n -=
3
333个n ⋯ 说明：解此类题目关键是正确分析归纳出题中的结果数字与算式中数字之间的特殊关系，再从特殊推
广到一般.
2.从图形的特征中探究规律
例1 下列各三角形图案是由若干个五角星组成的，每条边（包括两个顶点）有n （n>1）五角星,每个图案中五角星的总数为s.按此规律推断:s 与n 的关系.
★ ★ ★
★ ★ ★ ★ ★ ★
★ ★ ★ ★ ★ ★ …… ★ ★ ★ ★ n=2，s=3 n=3 s=6 n=4，s=9 图(1) 图(2) 图(3
分析方法一:由于每条边上的五角星数包括了两个顶点,若每边按n 个计算,则重算了三角形三个顶点上的三个。
故有s=3n-3.
分析方法二：由图可知，每个图案上的五角星总数，随着各边上五角星的增多而增多，且前面一个图案中五角星总数总比其后面一个图案中五角星总数少3，因此可猜想：s=b n +κ，根据图（1）、图（2）中的条件就能求出k ，b 的值，再验证是否满足图（3）的条件。
解：设s=b n +κ，
把n=2，s=3；n=3，s=6分别代入上式，得
⎩⎨
⎧=+=+6
33
2b k b k 解得⎩
⎨
⎧=-=33
k b
∴s=3n-3
经检验：n=4，s=9也满足s=3n-3 所求s 与n 的关系为s=3n-3
例2 如图，ABC ∆中，A 1、A 2、A 3、……A n 是边AC 上不同的n 个点，首先连接BA 1，图中有3个不同的三角形，再连接BA 2图中共有6个不同的三角形
（1）连接到A n 时，请用n 的代数式表示图中共有三角形的个数。
（ 2）若出现45个三角形，则共需连接多少个点？
分析：通过观察图知，当AC 上有1个点A 1时，连接点B ，所得三角形的个数为（2+1）个；当AC 上有2个点A 1、A 2时，分别连接点B ，所得三角形的个数为（3+2+1）个，当AC 上有3个点A 1、A 2、A 3时，分别连接点B ，所得三角形的个数为（ 4+3+2+1）个；…… 由此可以推测出：当AC 上有n 个点A 1，A 2、A 3……A n 时，分别连接点B ，所得三角形的个数为[（n+1）+n+（n-1）+ ……+3+2+1 ]个
解：（1）当连接到A n 时，所得三角形总个数为： （n+1） +n+（n-1）+（n-2）+……+4+3+2+1 =[（n+1）+1]+（n+2）+（n-1+3）+……]
= )2(2
1
)]2()2()2[(++++⋯++++n n n n n 个 =
2
)
2)(1(++n n
（2）由题意，得2
)
2)(1(++n n =45
原方程化为：n 2
+3n-88=0
即（n+11）（n-8）=0
∴ n=8或n=-11 （负值不合题意，舍去） 答：当出现45个三角形时，共连接8个点。
说明：从例1、例2可以看出,解此类题目常常是先考虑特殊情况,由特殊情况下的结果,推导出一般情况下的结果,它是从特殊到一般的归纳推理,因此必须要求学生对所得出的结论要做出合理性的验证.学生往往会因所选取的数值不具有全面的代表性,使得结论产生错误.如下面的例子就说明了这一点.如：
∵552=
87.087.02= 002= …… ∴a a =2
这里学生忽略了a<0的情况,导致最后的结论不正确.
在初中数学的学习过程中，学生能够合理地运用数学不完全归纳法，能使所解决的问题变得简捷，并能够有效地提高探索发现问题的能力。
为此，教师应鼓励学生从多层次多角度去分析、思考，敢于大胆进行猜想，并通过观察、判断、归纳等一系列探索活动得出正确的结果。
二〇一八年十一月一日
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A A 1 A2 A3 An。