,
例 3：已知 a, b R 且 a b 2, 则
a 2 2 b2 的最小值是_______. a b 1
a 2 2 b2 2 1 2 1 a (b 1) 2 1 a b 2, a b 1 a b 1 a b 1 a 2 1 1 1 2(b 1) 1 2(b 1) a 解： ( ) (a b 1) 1 [3 ] 1 [3 2 ] a b 1 3 a b 1 a b 1 3 3 3 2 2 62 2 1 . 3 3
检验等号成立的条件. 练习:1.(2015 通泰淮扬)已知正实数 x，y 满足 x ▲ ． 提示:
2 4 3 y 10 ，则 xy 的取值范围为 x y
10 x 10 x
2 4 1 1 1 1 1 1 3 y x y y y 1010 xy 1 x y x y y y y xy 2 4 x x 2 3y 3y 3y 4 4 4 3 xy 8 3y 1010 xy . x y 2 2 x 4 4 4 3y 3y 3y 8 3
,
a 2 2 b2 的最小值是_______. a b 1
1 a 2 2 b 2 a 2 2 (2 a ) 2 2 a b 2, b 2 a, 1 3 a a b a a 3 a 解：由 62 2 3
（最后一步权方和轻松搞定，当然也可以通过求导来做。） 例 10:（群里老师问过这个题目）已知 x, y, z R, x y z 1, x y z 3, 则 xyz 的最
例 6.设 x 0, y 0. 不等式
1 1 m 0 恒成立，则实数 m 的最小值是_______. x y x y
1 1 y x y x m ( x y )( ) 2 , 2 4 m 4 解：很容易得到 x y x y x y m 4.
2 2 2
大值是______. 解： 由
x y z 1,
x y 1 z x y 1 z （这里是韦达定理的形式） 2 2 2 2 2 2 2 x y z 3, x y 3 z xy z z 1
x, y是t 2 (1 z )t ( z 2 z 1) 0 的两根。 5 5 0 1 z . xyz ( z 2 z 1) z , 1 z . 三次函数，求导画图就可以求出最 3 3 5 值了 . 27
x y 最大值为_________。 2x y 2x 3y
3a b x a 2 x y 3a b b a 4 令 原式 2 3 b x y b a 4 2b a y 2 5 5 2 b a ( ) 4 4a 2b 4 2
多元变量的常见处理方法
多变量最值问题是一种常见的题型，也是高考的热点 . 本文给出了解决多变量最值问 题的常见求解策略， 从例题的解答和分析中可以看出， 解答这类问题的关键是能运用数学基 础知识、数学思想方法，灵活解决问题. 一:基本不等式法. 例 1.已知 x 0, y 0, x 2 y 2 xy 8. 则 x 2 y 的最小值是_____. 解： x 2 y 2 xy 8. 8 ( x 2 y ) x2 y (
1
2.(2015 苏州 13)． 设 x, y 均为正实数， 且
1 1 1 则 xy 的最小值为 11+6 2 ▲ ． ， 1+x 2 y 3
二：变量分离法。 多元变量问题中， 常用的方法之一就是将其中的一个变量分离出来， 通过对一边表达式 的范围的确定得到另一边的范围。 例 5. 不 等 式 | x _________.
1 1 + 1 ，则 a + 5b 的最小值为 2a + b b + 1
7 2
(注意等号成立的条件) 例 16：(2015 前黄中学)若 a 0, b 0 ，且 ▲ ． 方法一:可以用前面的消元法; 方法二:可以用整体换元; 方法三:基本不等式法, 方法四:分母整体换元 解
:
令
x y 1 2a b x a x 1 y x 9y 9 a 5b 5( y 1) 2 2 2 2 b 1 y b y 1 1 9 1 1 1 9 1 9y x 9 1 9y x 9 7 ( x 9 y )1 ( x 9 y )( ) [1 9 ] [10 2 ] 2 2 2 x y 2 2 x y 2 2 x y 2 2
8 2y 8 2y (2 y 1) x 2y 2y 2y 1 2 y 1 2 y 2 y 1 9 9 9 解： 1 2 y 1 2 y 1 1 2 2 y 1 2 y 1 2 y 1 2 y 1 x 2 y 2 xy 8 x 2 2 9 (2 y 1) 4. 2 y 1 y2 的最小值是______. xz
练习:已知不等式 xy ≤ 实数 的取值范围是 ，若对任意 且 ，该不等式恒成立，则
[1, ). ．
三：消元法 多元变量最值问题的难点很多时候在于变量的个数,如果研究条件等式,发现很多情况下 可以对变量做个减法,三元变二元 ,二元变一元,就可以化归为我们熟悉的问题了. 例 7.已知 x 0, y 0, x 2 y 2 xy 8. 则 x 2 y 的最小值是_____.
解法 3. 0, t 4(4t 75)(t 25) 15t 700t 7500 0
2 2
50 t 30. 3
4
法四: 法五:
练习:设 x，y 都是正数，若 4 x y xy 2, 则， 2 x y xy 的最大值是
2 2
17 12
（等号成立的条件在这里不赘述了。） 例 4：设 x,y 均为正实数，且
3 3 1, 求 xy 的最小值。 2 x 2 y
3 3 1 3(2 y ) 3(2 x) (2 x)(2 y ) xy x y 8 解: 2 x 2 y 2 xy 8 xy 16.
例 11：设 x,y 均为正实数，且 解：
3 3 1, 求 xy 的最小值。 2 x 2 y
3 3 3( x 2) 3( x 2) 9 1 y 2, xy x[ 2] x 9 . 2 x 2 y x 1 x 1 x 1 3 3 3 1andx, y 0, 0 1, x 1. 2 x 2 y 2 x 9 9 xy x 9 x 1 10 16( x 4时取=) x 1 x 1
1 || a 2 | sin y 对 一 切 实 数 x,y 均 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 x
1 1 | sin y | a 2 | .| x | sin y 2 1 1 解：变量分离得 x x | a 2 | 1 1 a 3. | x
5 10 15 3 x 2 y 2 20sin 2 sin 2 25cos 2 sin cos 3 3 65 1 cos 2 1 cos 2 5 15 25 sin 2 3 2 2 3 70 5 15 5 ( sin 2 cos 2 ) 3 3 3 70 20 sin(2 ). 3 3
当且仅当 y ( x y z ) xz 时，等号成立。 练习:1.(通锡苏学大密卷)
5
2.2014 常州信息卷 2.已知 a, b 均为正实数，若 ab(a b) 1, 则 a 2 ab 4b 的最小 值是__4___.
六：分母整体换元 例 15，（13 镇江改编）已知 x，y 为正数，则
胆子大的，就对称变量吧。
练习 ： 1.（2014~2015 宿迁剑桥中学）设正实数 x, y, z 满足 x 2 3 xy 4 y 2 z 0 ，则当
z 取得最大值时， x 2 y z 的最大值为______2___ xy
2.（2015 盐城）设 x 0 ， y 0 且 x 2 y 1 ，则 2 x 3 y 2 的最小值为 12 ▲
四:换元法
3
．
例 12.（群里老师问过这个题目）
4 x 2 xy y 2 25, 求 3 x 2 y 2 的最值.
x y 5cos x 15 2 15 2 2 解法 1. ( y ) x 25 y sin 5cos 2 4 3 x 2 15 sin 3
五：分解因式（参阅王耀老师的论文）
2 例 13.若 a, b, c 0且aபைடு நூலகம் ab ac bc 4, 则 2a b c 的最小值为______. 2 解：由 a, b, c 0且a ab ac bc 4, 得
(a c)(a b) 4. 2a b c (a b) (a c) 2 (a b)(a c) 4.
例 8.设 x,y,z 为正实数，满足 x 2 y 3 z 0, 则
x 3z 2 2 3 xz 2 ) ( ) x 3z y 2 2 解：由已知条件得 y 代入原式 3 。所以最小值为 3 2 xz xz xz
2
(
2
评析：多元变量往往通过减少变量的个数，转化成求函数值或者其他多元变量问题. 例 9:已知 a, b R 且 a b 2, 则
2
x 2y 2 ) x 2 y 4. 2
例 2.若 a, b, c 0, 且a 2ab 2ac 4bc 12. 则 a b c 的最小值是______.