数学试卷 第1页（共10页） 数学试卷 第2页（共10页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：柱体的体积h V S =,其中是柱体的底面积,h 是柱体的高.球的体积343R V π=,其中R 是球的半径.一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.1.已知集合{}1,2A =,{}2,3B a a =+.若AB={1},则实数a 的值为________.2.已知复数(1)(12)z i i =++,其中i 是虚数单位,则z 的模是________.3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.4.右图是一个算法流程图.若输入x 的值为116,则输出y 的值是________.（第4题）5.若1tan()46πα-=,则tan α=________. 6.如图,在圆柱12O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱12O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是________.（第6题）7.记函数()f x =的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是________.8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是1F ,2F ,则四边形12F PF Q 的面积是________.9.等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==，,则8a =________.10.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是________. 11.已知函数31()2x xf x x x e e =-+-,其中e 是自然对数的底数.若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是________.12.如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的夹角为α,且tan 7α=,OB 与OC 的夹角为45°.若=m OC OA nOB +（m,n R ∈）,则6m n +=________.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共10页） 数学试卷 第4页（共10页）（第12题）13.在平面直角坐标系xOy 中,(12,0)A ,0,6B （）,点P 在圆O ：2250x y +=上.若PA ·PB20≤,则点P 的横坐标的取值范围是________.14.设f x （）是定义在R 上且周期为1的函数,在区间[)0,1上,()2,,x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1,n D x x n N n +-⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭,则方程()lg 0f x x -=的解的个数是________.二、解答题：本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）如图,在三棱锥A BCD -中,AB AD ⊥,BC BD ⊥,ABD BCD ⊥平面平面,点E 、F （E 与A ,D 不重合）分别在棱AD ,BD 上,且EF AD ⊥. 求证：（1）EF ABC ∥平面； （2）AD AC ⊥.（第15题）16.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )x x =a,([]30πx =∈，，b . （1）若∥a b ,求x 的值；（2）记()·f x =a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆:102222x y +=(a b )a b ＞＞E 的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ,2l 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.（第17题）数学试卷 第5页（共10页） 数学试卷 第6页（共10页）18.（本小题满分16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm ,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14 cm 和62 cm .分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12 cm .现有一根玻璃棒l ,其长度为40 cm .（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处,另一端置于侧棱1GG 上,求l 没入水中部分的长度.（第18题）19.（本小题满分16分）对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111......2=2n k n k n n n k n k n n a a a a a a ka ka --+-++-+++++++=对任意正整数n n k >（）总成立,则称数列{}n a 是“p k （）数列”. （1）证明：等差数列是“p （3）数列”； （2）若数列{}n a 既是“p （2）数列”,又是“p （3）数列”,证明：{}n a 是等差数列.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共10页） 数学试卷 第8页（共10页）20.（本小题满分16分）已知函数32()1(0b )f x x ax bx a -+++∈R ＞，有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域； （2）证明：2b 3a >；（3）若()f x ,'()f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值范围.数学II （附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图,AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ,AP PC ⊥,P 为垂足. 求证：（1）PAC CAB ∠=∠；（2）2AC AP AB =.（第21-A 题）B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵A=[0110],B=[1002].（1）求AB ；（2）若曲线1C ：22y =182x +在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ,求2C 的方程.数学试卷 第9页（共10页） 数学试卷 第10页（共10页）C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a b c d ，，，为实数,且224a b +=,2216c d +=,证明：8ac bd +≤.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22.（本小题满分10分）如图,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA ABCD ⊥平面,且2AB AD ==,1AA =120BAD ∠=︒.（1）求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值； （2）求二面角1B A D A --的正弦值。
(第22题)23.（本小题满分10分）已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球（2,m n N ∈,2n ≥）,这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m n +的抽屉内,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉（1,2,3k m n =+，…，）.（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P ；（2）随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E x （）是x 的数学期望,证明x )(1)nEm n n +-（）＜（.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------。