0
) h ( M 0 ) d τ 0 − ∫∫
∂G f (M 0 ) dσ ∂n0
(6)
⎧ΔG = −δ ( M − M 0 ) (3) ⎨ ( 4) ⎩G σ = 0
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G(M , M 0 ) = G(M 0 , M )
§5.2泊松方程的狄氏问题
习题 5.2：1（2）
[(1) ⋅ G − (3) ⋅ u ] 在[τ − τ ε ]中积分有 :
∫τ τ [GΔu − uΔG]dτ =∫τ τ uδ (M − M
−
ε
−
ε
0
)dτ − ∫
τ −τ ε
Gh(M )dτ
对左边用格林第二公式有：
∂G ∂u ∫σ +σ ε (G ∂n − u ∂n )dσ = ∫τ −τ ε uδ ( M − M 0 ) dτ − ∫τ −τ ε Gh ( M )dτ ∂G ∂u ∫σ (G ∂n − u ∂n )dσ − u ( M 0 ) = − ∫τ G ( M , M 0 ) h ( M ) dτ
( 2).我们要求解的三类数值 方程中均含有 Δ, 格林公式是将未知函数 , 从微分算符 Δ下 解脱出来的工具 .
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一、格林公式
§5.2泊松方程的狄氏问题
2、格林第一公式 ∂v ∫τ uΔvdτ + ∫τ∇u ⋅ ∇vdτ = ∫σ u ∂n dσ (3) ∂u ∫τ vΔudτ + ∫τ∇u ⋅ ∇vdτ = ∫σ v ∂ndσ (4) 3、格林第二公式 ∂v ∂u (5) ∫τuΔvdτ − ∫τ vΔudτ = ∫σ (u ∂n − v ∂n )dσ ∂v ∂ u ( 意义：1) 将u , v, Δu , Δv的值与 u , v, , 的边值联系起来 . ∂ n ∂n
2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
= −G ( M 1 , M 2 ) + G ( M 2 , M 1 )
(2), (4)
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G(M1, M 2 ) = G(M 2 , M1 )
§5.3格林函数的求法
Good-by!
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0
M0 r
（2）显然
u(M 0 , t0 ) = lim u (r, t0 )
r→0
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二、பைடு நூலகம்分公式－格林函数法 §5.2泊松方程的狄氏问题
1、(三维）狄氏积分公式
M , M 0 ∈τ
⎧ Δ u = − h ( M ) (1) ⎧ΔG = −δ ( M − M 0 ) (3) ⎪ ⎨ ⎨ ( 4) (2) ⎪u σ = f ( M ) ⎩G σ = 0 ⎩ 1 则(3) → G = (5.3.4), r = ( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2 ( z − z0 ) 2 4π r
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附：证明
G(M 1, M 2 ) = G(M 2 , M 1 )
⎧ ΔG ( M , M 1 ) = −δ ( M − M 1 ) (1) ⎨ (2) ⎩G ( M , M 1 ) σ = 0
2 1
⎧ΔG ( M , M 2 ) = −δ ( M − M 2 ) (3) ⎨ (4) ⎩G ( M , M 2 ) σ = 0
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三、小结：
§5.2泊松方程的狄氏问题
∂v ∂u 1、 uΔvdτ − vΔudτ = (u ∫τ ∫τ ∫σ ∂n − v ∂n )dσ
2、
u(M ) =
⎧Δu = − h(M ) , M ∈ τ ⎪ ⎨ ⎪u σ = f ( M ) ⎩ (1) (2)
σ
(5)
∫∫∫τ G ( M , M
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二、积分公式－格林函数法 §5.2泊松方程的狄氏问题
1、(三维）狄氏积分公式
狄氏格林函数
⎧ Δ u = − h ( M ) (1) ⎧ΔG = −δ ( M − M 0 ) (3) ⎪ ⎨ ⎨ ( 4) (2) ⎪u σ = f ( M ) ⎩G σ = 0 ⎩ ∂G ∂u ∫σ (G ∂n − u ∂n )dσ − u ( M 0 ) = − ∫τ G ( M , M 0 ) h ( M ) dτ 将边界条件(2)(4): Q G(M , M 0 ) = G(M 0 , M ) ∂G u ( M 0 ) = ∫ G ( M , M 0 ) h ( M )d τ − ∫ f ( M ) dσ τ σ ∂n ∂G u ( M ) = ∫ G ( M , M 0 ) h ( M 0 )d τ 0 − ∫ f ( M 0 ) dσ τ σ ∂n0
∫ ∫∫τ [(1) ⋅ G(M , M ) − (3) ⋅ G (M , M )] dτ : ∫ ∫∫τ [G(M , M ) ⋅ ΔG(M , M ) − G(M , M ) ⋅ ΔG(M , M )]dτ = ∫∫∫ [−G ( M , M )δ ( M − M ) + G ( M , M )δ ( M − M )]dτ τ ∂ ∂ ∫∫σ [G(M , M ) ∂n G(M , M ) −G(M , M ) ∂n G(M , M ) ]
§5.2泊松方程的狄氏问题
Dirichlet Problem for the Poisoon’s Equations
⎧Δu = −h(M ) , M ∈τ ⎨ ⎩u σ = g (M )
(1) (2)
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一、格林公式 1、为何引入格林公式
§5.2泊松方程的狄氏问题
(1)积分公式的起点是通过直接积分或分部积分将 未知函数从微分号下解脱出来
－狄氏积分公式
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二、积分公式－格林函数法
2、狄氏积分公式的物理意义：
§5.2泊松方程的狄氏问题
第一项：体内源产生的场的和。 第二项： 边界面上源产生的场的和。 3、(二维）狄氏积分公式 ⎧Δu(M ) = −h(M ) M ∈σ ⎨ ⎩u |l = f (M )
∂G u ( M ) = ∫∫ G ( M , M 0 ) h ( M 0 )d σ − ∫ f ( M 0 ) dl σ l ∂n0
(2 ) u, v 对称
(3) 若已知 v , Δ v = 0, 及 v σ ,
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⎧Δu = −h(M ) (1) 之解。 ⎨ 则由格林公式可能求得 ⎩u σ = g (M ) (2)
一、格林公式
§5.2泊松方程的狄氏问题
3、球面平均值公式 r （1）定义 • s M 1 u (r , t ) = u(M , t )ds 2 ∫∫ M0 4π r sr 1 ds = ∫∫srM0 u(M , t )dΩ dΩ = r 2 = sinθ dθ dϕ 4π M0 －u(M , t )在以M 0为中心，r为半径的球面 sr 上的平均值。