(1) 内、 外导体间的电场强度E及电通量密度D; ; (2) 导体表面上单位长度的带电量ρl。
第二章 静 电 场
［解］ 因为同轴圆柱是轴对称结构, 故只有沿半径ρ方向的电 场。图(a) 结构中, 电场垂直于介质与空气的交界面, 根据两介质交 界面上法向分量电通量密度相等的边界条件, 可知道不同介质内D 的表示式相同。而在图(b)结构中, 电场平行于介质与空气交界面, 由交界面上电场强度切向分量连续的边界条件, 得知不同介质内E 的表示式相同。
即 1E1n 2 E2n
结论: 当ε1≠ε2时, E的法向分量不连续, 其原因是交界面上有束缚面电荷密度
第二章 静 电 场
二. E满足的边界条件
静电场的无旋性: E dl 0 l
nˆ (E1 E2 ) 0 或 E1t E2t
结论： 在介质交界面上,电场强度的切向分量始终连续
2U
c 1
1n
b
(C / m)
a 0 c
内导体带电量为+ρl ，外导体带电量为-ρl
第二章 静 电 场
(2) 图(b)结构: 当φ=0时,
E1 E2
当0< φ< φ1
D1

l1 1
ˆ
E1

D1


l1 1
ˆ
当φ1< φ< 360。时
D2

(2
l2 1 )
y
vd 2 80
(V )
根据公式 E d yˆ 可求得三个区域的电场分布:
dy
E1

vd 2 0
yˆ
(V / m)
d y 2
E2

v y 0
yˆ
(V / m)
d yd
2
2
E3


vd 2 0
yˆ
(V / m)
yd 2
第二章 静 电 场
ˆ
E2

D2
0

(2
l2 1)0
ˆ
b
b
U0 a E1 dl a E2 dl
第二章 静 电 场
所以
b
U
l1 d ,
a 1
l1

1U
1n b
a
b
U
l2
d ,
a (2 1)0
因而得
E1

E2

U
1n
b
a
l2

(2
2.6 分界面上的边界条件
※ 场量在不同媒质分界面上各自满足的关系
将场量在分界面上分解成:
法向normal分量 (以下标n表示) ----- 垂直于分界面
切向tangency分量 (以下标t表示) ----- 平行于分界面
E

nˆEn
tˆEt

nˆ

n
tˆ

t

D nˆDn tˆDt (nˆEn tˆEt )
由静电场基本方程的积分形式: D dS q S
E dl 0
l
两种不同媒质分界面的边界条件
第二章 静 电 场
两种不同媒质分界面的边界条件
法向边界条件
S D dS q
切向边界条件
l E dl 0
(1) 图(a)结构: 当ρ=c时,
D1n D2n
D1 D2
令内、外导体表面上单位长度电量分别为+ρl、-ρl(C/m), 根 据高斯定理可得
第二章 静 电 场
a＜ρ＜c时,
D1

l 2
ˆ
(C / m2 )
E1

D1


l 2
ˆ
(V / m)
c＜ρ＜b时,
D2

l 2
2
n
第二章 静 电 场
四、介质分界面上电场方向的关系
当两种介质分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则
边界条件:
D1n D2n
E1t E2t
改写: 两式相除:
1E1 cos1 2E2 cos2 E1 sin1 E2 sin2
tg1 1 r1 tg2 2 r2
r2
2
r


0
将上述两个方程分别积分两次可得φ1、φ2的通解:
1


v 6 0
r2

A r

B
2


C r

D
第二章 静 电 场
(2) 根据边界条件, 求出积分常数A、B、C、D:
边界条件是: ;
①r=a, φ1=φ2; ;
②r=a,
0
1
r

0
2
r
;
③r→∞, φ2=0(以无限远处为参考点); ;
第二章 静 电 场
一. D满足的边界条件
法向边界条件
S D dS q
第二章 静 电 场
高斯通量定理
D dS q
S
D1 nˆS D2 nˆS q S S
n (D1 D2 ) S
或 D1n D2n S
结论: 若两种媒质交界面上有自由电荷, 则D的法向分量不连续 若界面上无自由电荷分布，即在ρS=0时:
第二章 静 电 场
拉普拉斯算子在不同坐标系中的计算公式
2
直角坐标系中:
2


aˆx
x
aˆ y
y

aˆ z
z
aˆx

x

aˆ y

y
aˆz

z

2 2 2
2x 2y 2z
第二章 静 电 场
(2) 由边界条件确定常数: 边界条件为:
①
yd 2
时, φ1=φ2;
0
d1
dy
0
d2
dy
(交界面上无自由面电荷);
②y=0, φ2=0 因体电荷板无限大, 不能选择无限远处为参考 点, 这里选择y=0处为参考点。
第二章 静 电 场
③由场分布的对称性, φ2(y)=φ2(-y) ;
D E E E E 2
D E
E
当 场中无电荷分布
(即 0)的区域:
2
电位 满足的泊松方程
2 0
拉普拉斯方程
2 拉普拉斯算子
第二章 静 电 场
三 . 电位φ满足的边界条件
D1n D2n S
1
1
n
2
2
n

s
E1t E2t 1 2
(1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体;

1
n

s
(2) 两种介质都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即ρs2
------静电场的折射定理
电场方向在 交界面上的曲折
第二章 静 电 场
边界条件
• 构成边值问题必不可少的条件; • 判断不同媒质界面两侧场量的大小、方向及连续、突变;
第二章 静 电 场 例 1 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b， 其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的介电 常数为ε2，如图 所示。设内、外导体带电分别为q和-q， 求内外 导体之间空间的电位移矢量和电场强度。
由条件②、 ③可得:
C4 0,C3 0
由条件①可得
C1
d 2

C2


v 2 0

d 2
2

C1


vd 2 0
C2

vd 2 8 0
1


vd 2 0
y
vd 2 8 0
(V )
2
vd 2 0
y2
(V )
第二章 静 电 场
3

vd 20
23

d 23
dy2
0
d y 2
d yd
2
2
yd 2
第二章 静 电 场 将上面三个方程分别分两次可得
1 C1 y C2
2
v 2 0
y2
C3 y C4
3 C5 y C6
由场分布的y=0平面对称性，可知φ3(y)= φ1(-y)，所以我们 只需求解φ1和φ2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4。
n (D2 D1) 0
或
D2n D1n 0
第二章 静 电 场 ☆ 两种特殊情况
(1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体; 静电场中导体内部电场为零, 故
nˆ D1 s或D1n s
(2) 两种介质都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则
nˆ (D1 D2 ) 0或D1n D2n
平板形体电荷的几何关系
第二章 静 电 场
［解］设①、 ②、 ③区域的电位函数分别为φ1(y)、φ2(y)、 φ3(y)。
(1) 分别列出三个区域的电位方程。 在①、 ③两个区域内 电位满足拉普拉斯方程, 而第②区域的电位满足泊松方程:
21

d 21
dy2
0
2 2

d 22
dy2
v 0
④r=0, Er=0)。
1
r
0
(因为电荷分布球对称,
球心处场强E1=0,
即
由上述条件, 确定通解中的常数: