习题13-1设太阳是黑体，试求地球表面受阳光垂直照射时每平方米的面积上每秒钟得到的辐射能。

如果认为太阳的辐射是常数，再求太阳在一年内由于辐射而损失的质量。

已知太阳的直径为1.4×109 m ，太阳与地球的距离为1.5×1011 m ，太阳表面的温度为6100K 。

【解】设太阳表面单位面积单位时间发出的热辐射总能量为0E ，地球表面单位面积、单位时间得到的辐射能为1E 。

()484720 5.671061007.8510W/m E T σ-==⨯⨯=⨯22014π4πE R E R →=太阳地球太阳()()()29232102110.7107.85 1.7110W/m 1.510R E E R→⨯==⨯=⨯⨯太阳2地球太阳太阳每年损失的质量()()()790172287.851040.710365243600 1.6910kg 3.010E S t m c π⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯∆∆===⨯⨯太阳 13-2 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐出度为22.8 W/cm 2，试求炉内温度。

【解】由40E T σ=得()1/41/440822.810 1.416 K 5.6710E T σ-⎛⎫⨯⎛⎫=== ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭13-3黑体的温度16000T = K ，问1350λ= nm 和2700λ= nm 的单色辐出度之比为多少？当黑体温度上升到27000T =K 时，1350λ= nm 的单色辐出度增加了几倍？【解】由普朗克公式()5/1,1hc k TT eλρλλ-∝-34823911 6.6310310 6.861.3810600035010hc k T λ---⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯ 21123.43 5.88hc hck T k T λλ==()()11 3.48 6.8621,700 1.03,350T e T ρλρλ-==()()12 6.86 5.8811, 2.66,T e T ρλρλ-==13-4在真空中均匀磁场（41.510B -=⨯T ）内放置一金属薄片，其红限波长为2010λ-=nm 。

今用单色γ射线照射时，发现有电子被击出。

放出的电子在垂直于磁场的平面内作半径为0.10R = m 的圆周运动。

假定γ光子的能量全部被电子吸收，试求该γ射线的能量、波长和频率。

【解】电子逸出功hcA λ=34814116.6310 3.010 1.98910 J 10---⨯⨯⨯==⨯ 电子运动半径mv R qB=光子能量212RqB h m A m ν⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()219414310.1 1.610 1.510 1.9891029.110----⨯⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯141.98910 J -≈⨯1419341.98910 3.010 Hz 6.6310ν--⨯==⨯⨯ 1110m=0.01 nmcλν-==13-5以钠作为光电管阴极，把它与电源的正极相联，而把光电管阳极与电源负极相联，这反向电压会降低以至消除电路中的光电流。

当入射光波长为433.9 nm 时，测得截止电压为0.81 V ，当入射光波长为312 nm 时，测得截止电压为1.93 V ，试计算普朗克常数h 并与公认值比较。

【解】11hcA eU λ-= （1）22hcA eU λ-= （2）解得()212111e U U hc λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()()211221e U U h c λλλλ-=- ()()1918891.610 1.930.81433.9312103.010433.931210---⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯-⨯ 346.6310 J s -⨯⋅13-6若有波长为0.10λ= nm 的X 射线束和波长为31.8810λ-=⨯ nm 的γ射线，分别和自由电子碰撞，问散射角为π/2时，（1）波长的改变量为多少？（2）反冲电子的动能是多少？（3）入射光在碰撞时失去的能量占总能量的百分比。

【解】 24.810sin2θλ-∆=⨯（1） π2θ=2224.810 2.410 m λ--∆=⨯=⨯⎝⎭（2） 00011k E h h hc ννλλλ⎛⎫=-=-⎪+∆⎝⎭34891116.63103.010100.1000.1024k E -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭()174.6610J 291 eV -=⨯=348122116.63103.010101.88 1.88 2.4k E -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯ ⎪+⎝⎭()1455.9310J 3.710 eV -=⨯=⨯(3)110101k k E E E hcλ= 1793484.66100.110 2.34%6.6310310---⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ 220202k k E E E hcλ= 14123485.9310 1.881056%6.6310310---⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ 13-7在康普顿实验中，当能量为0.50 MeV 的X 射线射中一个电子时，该电子会获得0.10 MeV 的动能，若电子原来是静止的。

试求：（1）散射光子的波长；（2）散射光子与入射方向的夹角。

【解】 00.50.10.4 MeV k hch E E νλ==-=-=(1) 3486196.6310 3.0100.410 1.610hc h λν--⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ 123.110m -=⨯(2) 3486190 6.6310 3.0100.510 1.610hc E λ--⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ 122.4810m -=⨯1200.6210 m λλλ-∆=-=⨯()122.4101cos λθ-∆=⨯- cos 0.74θ= 42.27θ=o13-8一个波长λ=5 Å的光子与原子中电子碰撞，碰撞后光子以与入射方向成150º角方向反射，求碰撞后光子的波长与电子的速率。

【解】 ()122.4101cos150λ-∆=⨯-o()124.4810nm -=⨯9120510 4.4810λλλ--=+∆=⨯+⨯5.0048 nm =k hchcE λλ=-＝3489116.63103.010105 5.0048-⎛⎫⨯⨯⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭203.810J=0.238 eV -⨯由于0.51 MeV k E =（电子的静电能） 因此，采用非相对论方式2031022 3.8109.110k E v m --⨯⨯==⨯52.910 m/s =⨯13-9设0λ和λ分别为康普顿散射中入射与散射光子的波长，k E 为反冲电子动能，ϕ为反冲电子与入射光子运动方向夹角，θ为散射光子与入射光子运动方向的夹角，试证明： （1）00k E hcλλλλ-=； （2） 当π2θ=时，20arccos 1()ϕλλ=+。

【证】（1） 00k hchcE h h ννλλ=-=-hcλλλλ-= （2） 由动量定理cos cos90e ex hhp p ϕλλ+==osin sin 90e ey hp p ϕλ==o()()22220cos //exex eyp ph h ϕλλ==++ϕ= 证毕13-10 根据玻尔理论计算氢原子中的电子在第一至第四轨道上运动的速度以及这些轨道的半径。

【解】 ()260112.1810 m/s 2n e v h n nε=⋅=⨯⋅()220200.0529 nm n h r n n m eεπ=⋅=62 1.0910 m/s v =⨯ 537.2710 m/s v =⨯ 54 5.4510 m/s v =⨯20.2116 nm r = 30.4761 nm r = 40.8464 nm r =13-11 在氢原子被外来单色光激发后发出的巴耳末系中，仅观察到三条光谱线，试求这三条谱线的波长以及外来光的频率。

【解】 43220111()8me h c m n λε=-巴耳末系的三条谱线为2m =；3,4,5n =711111.09737310()49λ=⨯⨯- 1656 nm λ=721111.09737310()416λ=⨯⨯- 2486 nm λ=731111.09737310()425λ=⨯⨯- 3434 nm λ=13-12 动能为20 eV 的电子与处于基态的氢原子相碰，并使氢原子激发，当氢原子返回基态时，辐射出波长为121.6 nm 的光子，求碰撞后电子的速度。

【解】 200.51 MeV k E m c ==，可以用非相对论近似212k hc mv E λ=-v =3481923192 6.6310 3.010[20 1.6109.110121.610⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯1－－－－（-）] 61.85410 m/s ⨯13-13 具有能量为15 eV 的光子，被氢原子中处于第一玻尔轨道上的电子所吸收，然后电子被释放出来，试求放出来电子的速度。

【解】 200.51 MeV k E m c ==，可以用非相对论近似211||2mv E E =-光 1513.58 1.42 eV =-=v =57.0710 m/s =⨯13-14 原则上讲，玻尔理论也适用于太阳系，地球相当于电子，太阳相当于核，而万有引力相当于库仑力。

（1）求地球绕太阳运动的允许半径公式；（2）地球运行实际半径为1.5×1011 m ，与此半径对应的量子数n 多大？ （3）地球实际轨道和它的下一个较大可能轨道半径差值多大？ （M 地=5.98×1024 kg ，M 日=1.99×1030 kg ，G =6.67×10-11 N·m 2/kg 2）【解】（1） 22M M v G M r r⋅=日地地 2M v r GM M =⋅日地地 （1）由角动量守恒条件2πhL M vr n ==⋅地 （2） ()()12消去r ：21nGM M v h n π⋅=⋅日地()()221消去v ：2224πn h r r n GM M ==⋅日地（3）（2） ()()2341221130246.63104π 6.67101.9910 5.9810r --⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯1382.310 m -=⨯21n r n r =742.5510n ==⨯ （3） 由（3）式：12r r n n ∆=⋅∆令1n ∆=138742.3102 2.5510r -∆=⨯⨯⨯⨯631.17310m -=⨯13-15 一质子经206 V 的电压加速后，德布罗意波长为12100.2-⨯m 。

试求：（1）质子的质量?=p m（2）如果质子的位置不确定量等于其波长，则其速度的不确定量必不小于多少？ 【解】（1）h p λ===()2342219246.631022 1.610206410p hm eV λ---⨯==⨯⨯⨯⨯⨯ ()271.66710kg -⨯（2） 因为质子的位置不确定量等于其波长，即x λ∆=由不确定关系x p x x p x m v ∆⋅∆=∆⋅∆≥h ，取等号计算，可得3427121.05101.667102.010x p p v m x m λ---⨯∆===∆⨯⨯⨯h h()43.1510 m/s =⨯13-16 若已知运动电子的质量比其静止质量大1%，试确定其德布罗意波长。