3-3
(记
1 2

1 2
)
10
1
第三章 多元正态总体参数的检验
由“1.结论6”知ξ与η相互独立
1 2 1 2 1 2 1 2

CD O A B O AB O
11
第三章 多元正态总体参数的检验
3-4 试证明Wishart分布的性质(4)和T2分布的性质(5).
C [CAx C ]1 C ( X ) n(n 1)( X )
n(n 1)( X ) Ax 1 ( X ) Ty
16
第三章 多元正态总体参数的检验
对单个p维正态总体Np(μ,Σ)均值向量的检验问题， 试用似然比原理导出检验H0:μ=μ0(Σ=Σ0已知)的似然比 统计量及分布. P66当Σ=Σ 已知μ的检验
第三章 多元正态总体参数的检验
Ay (Y( i ) Y )(Y(i ) Y )
i 1 n i 1
Y CX d , n
记y C d
C[ ( X ( i ) X )( X (i ) X )]C CAx C
Ay 1 (Y y ) T n(n 1)(Y y ) 2 y
3-7 设总体X～Np(μ，Σ) (Σ＞0), X(α) (α＝1,…,n)(n＞p)为来自p
1 0 , 0 1( p 1) p 则上面的假设等价于H0：Cμ=0p-1,H1：Cμ≠ 0p-1 0 0
1 C 1
试求检验H0 的似然比统计量和分布.
Ax 1 ( X ) T n(n 1)( X ) 2 ~ T ( p, n 1). 2 x
令
其中C是pp非退化常数矩阵，d是p1常向量。 则 Y ~ N (C d , CC) (i 1,2,...,n)
(i ) p
15
Y(i ) CX (i ) d (i 1,..., n)
则
12
第三章 多元正态总体参数的检验
证明: 设 1 1 X (()) r X (()) ~ N r (0, 11 ), X ( ) ( 2 ) X p r , 则 X ( 2 ) ~ N (0, ), ( ) p r 22 ( )
记 X xij X (1) | X (2) , 则 n p nr n( p r )
(n 1)n(CX r )CAC (CX r ).
1
A ( X (i ) X )( X (i ) X ).
i 1
n
22
第三章 多元正态总体参数的检验
维正态总体X的样本，样本均值为X，样本离差阵为A.记μ＝ (μ1,…,μp)′.为检验H0:μ1=μ2=…=μp ,H1:μ1,μ2,…,μp至少有一对不 相等.令 1 1 0 0
1
当Σ12 =O 时,对α＝1,2,…,n,
独立.故有W11与W22相互独立.
X 与X
(1) ( )
( 2) 相互 ( )
14
第三章 多元正态总体参数的检验
性质5 在非退化的线性变换下,T2统计量保持不 变. 证明:设X(α) (α＝1,…,n) 是来自p元总体 Np(μ,Σ)的随机样本, X和Ax分别表示正态总体X 的样本均值向量和离差阵,则由性质1有
性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X(α) ～ Np(0,Σ) (α ＝1,…,n)相互独立，其中
又已知随机矩阵
W11 W X ( ) X ( ) W21 1
n
11 12 r 21 22 p r W12 r p r ~ Wp (n, ) W22
3-5
(n＞p)为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为
解:总体X～Np(μ ,Σ 0)(Σ 0＞0),设X(α)(α =1,…,n)
0
max L( 0 , 0 ) max L( , 0 )
0
1 1 n 1 分子 exp ( X ( ) 0 )0 ( X ( ) 0 ) n/2 | 20 | 2 1
其中
T (n 1)n(CX )[CAC ] CX
2 1
~ T (n 1, p 1).(H 0下)
2
(注意:3-6中的k在这里为p-1)
24
第三章 多元正态总体参数的检验
3-8 假定人体尺寸有这样的一般规律:身高(X1),胸围
(X2)和上半臂围(X3)的平均尺寸比例是6∶4∶1.假设 X (α)(α＝1,…,n)为来自总体X=(X1,X2,X3)′的随机样本.并 设X～N3(μ,Σ)，试利用表3.5中男婴这一组数据检验三 个尺寸(变量)是否符合这一规律(写出假设H0,并导出检 验统计量). 解：检验三个尺寸(变量)是否符合这一规律的问题 可提成假设检验问题.因为
3
第三章 多元正态总体参数的检验
其中非中心参数为

4
第三章 多元正态总体参数的检验
3-2 设X～Nn(μ,σ2In), A，B为n阶对称阵. 若AB ＝0 ,证明X′AX与X′BX相互独立.

证明的思路：记rk(A)=r. 因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得 Γ ′AΓ=diag(λ1,…,λr 0,..,0) 令Y＝Γ′X，则Y～Nn(Γ′μ,σ2In),
Yr 1 X BX Y Γ BΓΓ Y HY (Yr 1 ,, Yn ) H 22 Yn
i 1
r
由于Y1，…,Yr ,Yr+1 ,…,Yn相互独立，故 X′AX与X′BX相互独立.
9
第三章 多元正态总体参数的检验
设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵, 试证明 (X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)相互独立 ΣAΣBΣ＝0p×p.
令
r
由AB＝O可得DrH11＝O ， DrH12＝O . 因Dr为满秩阵,故有H11＝Or×r，H12＝Or×(n-r) . 由于H为对称阵，所以H21＝O(n-r)×r .于是
8
第三章 多元正态总体参数的检验
H Γ BΓ
令Y＝Γ′X，则Y～ Nn(Γ′μ,σ2In), 且
AX ( ΓY ) AΓΓ Y Γ AΓΓ iYi 2 X
应用多元统计分析
第三章习题解答
第三章
多元正态总体参数的假设检验
3-1 设X～Nn(μ,σ2In), A为对称幂等 阵,且rk(A)=r(r≤n),证明
证明 因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的
特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正 交阵Γ(其列向量ri为相应特征向量)，使
2
第三章 多元正态总体参数的检验

1 1 1 exp tr[0 A ] n/2 | 20 | 2
18
第三章 多元正态总体参数的检验
max L( 0 , 0 ) max L( , 0 )
1 1 1 1 exptr[ 0 A] tr[ 0 ( A n( X 0 )( X 0 )] 2 2 n 1 exp tr[( X 0 )0 ( X 0 )] 2 n 1 exp ( X 0 )0 ( X 0 ) 2
因 X ~ N ( , 1 ), p 0 0 n
H 0下
n ( X 0 ) ~ N p (0, 0 )
H 0下
所以由§3“一﹑2.的结论1”可知
2 ln ~ ( p).
2
20
第三章 多元正态总体参数的检验
3-6 (均值向量各分量间结构关系的检验) 设总体
X～Np(μ ,Σ )(Σ ＞0),X(α)(α ＝1,…,n)(n＞p)为 来自p维正态总体X的样本，记μ ＝(μ 1,…,μ p)′.C 为k×p常数(k<p),rank(C)=k,r为已知k维向量.试给出 检验H0:Cμ ＝r的检验统计量及分布.
解： H 0 : 1 2 p , H1 : 1 , 2 ,, p 至少有一对不相等.
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第三章 多元正态总体参数的检验
H 0 : C 0, H1 : C 0,
利用3-6的结果知，检验H0的似然比统计量及分 布为： H 下
n ( p 1) 2 0 F T ~ F ( p 1, n p 1), (n 1)( p 1)
X (1) X (1) W X X X (2) X (1) X (1) X (2) W11 W12 W W , X (2) X (2) 21 22
即
W11 X (1) X (1), W22 X (2) X (2)
13
第三章 多元正态总体参数的检验
19
1 1 1 1 exptr[ 0 A] tr[ 0 A0 ] 2 2
0

第三章 多元正态总体参数的检验
n 01 ( X 0 ) ln ( X 0 ) 2
2 ln n( X 0 )01 ( X 0 ) def
X AX ( ΓY ) AΓΓ Y Γ AΓΓ iYi 2 且
i 1
5
r
第三章 多元正态总体参数的检验
又因为 X′BX=Y′Γ′BΓ Y= Y′HY 其中H=Γ′BΓ 。如果能够证明X′BX 可表示为Yr+1，…,Yn的函数，即H只是右 下子块为非0的矩阵。 则X′AX 与X′BX相互独立。
n 1 1 1 exp tr[0 ( X ( ) 0 )( X ( ) 0 )] n/2 | 20 | 1 2
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第三章 多元正态总体参数的检验