绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标山）理科数学注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 •已知集合A= (x,y)| x2y21 , B= (x,y)| y x，贝y A I B中兀素的个数为A. 3B. 2C.1D. 02.设复数z满足(1+i) z=2i，则1 z 1 ：=A. 1B.亚C.2D. 2223•某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D. 各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4.(x + y )(2 x -y )5的展开式中x 3 y 3的系数为6.设函数f (x )=cos( x +_)，则下列结论错误的是3体积为A .nB. 3nC. -D.-4 2 49.等差数列a n 的首项为1，公差不为0.若a 2,a 3, a 6成等比数列，贝U a n 前6项的和A . -80B. -40C. 40D. 805 .已知双曲线C ：2y b 21 ( a > 0, b >0)的一条渐近线方程为且与椭圆2x122y31有公共焦点，则 c 的方程为 A .2乞1 8 10x 2B.2x C.52x D.4A . f (x )的一个周期为-2nB . y =f (x )的图像关于直线 x =8对称3C. f (x +n )的一个零点为 x =-6D. f (x )在(_ , n )单调递减27.执行下面的程序框图，为使输出 S 的值小于91,则输入的正整数 N 的最小值为A . 5 B. 4 C. 3 D. 2&已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的A . -24B. -3C. 3D. 8uuu uuurAB + AD ，贝U +的最大值为x y 0x y 2 0，则z 3x 4y 的最小值为y 014.设等比数列a n 满足a 1 + a 2 = - 1, ax 1 x 0 115•设函数f(x) x ' '则满足f(x) f (x -) 1的x 的取值范围是2x , x 0 , 2 --------------16. a , b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边AC 所在直线与a , b都垂直，斜边 AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ① 当直线 AB 与 a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ② 当直线 AB 与 a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③ 直线AB 与a 所成角的最小值为 45°; ④ 直线AB 与a 所成角的最小值为 60°;其中正确的是 _________ 。

（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共 60分。

17. （ 12 分）△ ABC 勺内角 A B, C 的对边分别为 a , b , c ,已知 sin A + .：3 cos A =0, a =2 . 7 , b =2. （1） 求 c ；（2） 设D 为BC 边上一点，且AD AC,求厶ABD 的面积.A,3 B.仝 3 C.辽3D. 1 311.已知函数f （x ） 2x 1x 2x a(ee x 1）有唯一零点，则a=A.1B.-C.-D. 123 212.在矩形 ABCD 中, AB=1, AD=2动点P 在以点C 为圆心且与2 210•已知椭圆C:与爲 a b1, （ a >b >0）的左、右顶点分别为 A , A ,且以线段AA 为直 径的圆与直线bx ay 2ab 0相切，则C 的离心率为 BD 相切的圆上.若AP =A. 3B. 2、. 2C.、、5D. 2、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。

13 .若x , y 满足约束条件 a 3 = - 3,贝H a 4 = ___________18. （12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20 , 25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19. （12 分）如图，四面体ABCDK △ ABC是正三角形，△ ACD是直角三角形，/ ABD/ CBDA&BD（1）证明：平面ACDL平面ABC（2）过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABC吩成体积相等的两部分，求二面角D-AE- C的余弦值.20. （12 分）2已知抛物线C: y=2x，过点（2,0 ）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上;(2)设圆M 过点P (4, -2 )，求直线I 与圆M 的方程. 21. ( 12 分)已知函数 f (x) = x - 1 - a ln x . (1) 若f (X )，求a 的值；11 1 (2)设m 为整数，且对于任意正整数 n , (1 + —)(1 +-^)X(1 + — ) < m 求m 的最小222n值.(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 -题计分。

22. ［选修4- 4 :坐标系与参数方程］(10分)(1)写出C 的普通方程;(2 )以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3 :p (cos 0 +sin 0 )- .2=0, M 为I 3与C 的交点，求 M 的极径.23. ［选修4- 5 :不等式选讲］(10分)已知函数 f (x ) = | x +1 | -|x - 2 | . (1) 求不等式f (x )>1的解集；(2) 若不等式f (x )> x 2- x + m 的解集非空，求 m 的取值范围.在直角坐标系xOy 中，直线11的参数方程为2+t, kt.(t 为参数)，直线l 2的参数方x 程为y2 m,m(m 为参数)k ,设l 1与l 2的交点为 P,当k 变化时, P 的轨迹为曲线C.3绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题正式答案、选择题 7.D 8.B 9.A 10.A 11.C12.A二、填空题 / 1 、13. -1 14. -8 15.（"；，）16三、解答题 17.解：（1 ）由已知得tanA= -3,所以A=—1.B2.C3.A4.C5.B6.D 在△ ABC 中，由余弦定理得②③2 6c 2 4ccos，即 C 2+2C -24=0 36(舍去)，c=41AE g AC gsin -18.解:⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500，至少为200,因此只需考虑200 < n < 500当 300 < n < 500 时, 若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间 20, ,25 ，则 Y=6X 300+2 (n-300 ) -4n=1200-2n; 若最高气温低于 20,则 Y=6X 200+2 (n-200 ) -4n=800-2n; 因此 EY=2nX 0.4+ (1200-2n )x 0.4+(800-2n) X 0.2=640-0.4n当 200 W n 300 时，若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于 20,则 Y=6X 200+2 (n-200 ) -4n=800-2n; 因此 EY=2nX (0.4+0.4)+(800-2n)X 0.2=160+1.2n所以n=300时，丫的数学期望达到最大值，最大值为 520元。

19.解：的分布列为28 4 解得c(2)有题设可得CAD = ，所以 BAD2BAC CAD故厶ABD 面积与△ ACD 面积的比值为11AC g AD1又厶ABC 的面积为 4 2 sin BAC 21 3,所以 ABD 勺面积为、、3.(1)由题意知,X 所有的可能取值为 200,300,500，由表格数据知20050090 36 0.490257 4 9004.因此2 16 300(1)由题设可得， ABD CBD,从而AD DC又 ACD 是直角三角形，所以ACD =900取AC 的中点0,连接DO,B0则DQL AC,DO=AO 又由于 ABC 是正三角形，故 BO AC 所以 D0B 为二面角D AC B 的平面角 在 Rt AOB 中，BO 2 AO 2 AB 2 又AB BD,所以BO 2 DO 2 BO 2 AO 2 AB 2 BD 2, 故 DOB=90 所以平面ACD 平面ABC(2)为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，则A 1,0,0),B (0，屈0),C 1,0,0),D (0,0,，)由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的1，从而E 到平面ABC 的距离为D2可取n= 1#1由题设及 (1) 知, x 轴正方向,uu n OA到平面 ABC 的距离的 -，即E 为DB 的中点，得E22LUL TADuur 1,0,1 ,AC uuu 2,0,0 ,AEx,y,z 是平面DAE 的法向量，则luurngAD uuu ngAE 0即 0,z 0 T y-Z 0OA, OB, OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OUUA 的方向为uun uunM 过点 P (4, -2 ),因此 APgBP 0,故 X 141当m时，直线I 的方程为2x y 4 0，圆心M 的坐标为uur mgAC 0， -\un 同理可得m 0, 1「3 mgAE 0，设m 是平面AEC 的法向量，则 则 cos(n ,m) ngm — inim 7 所以二面角D-AE-C 的余弦值为 20.解 (1 )设 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,l : x my 2 x my 2 2 … 由 2可得y 2my 4 0,则4 y 22x 2 2又 X i = ^，X 2 = ^，故 X i X 2 = 2y 〃2 =4 4 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为 X 1 X 2 4所以OAL OB 故坐标原点O 在圆 （2 ）由（1）可得 2Y i +y 2=2m,x 1+x 2=m y 1+y 2 +4=2m 4故圆心 M 的坐标为 m 2+2, m ，圆M 的半径r 即^x 2 4 X 1+X 2 y 』2 2 y 1 y ? 20 0由（1） 可得 ％丫2=-4 , X 1X 2=4 , 所以2m 2 m 1 0，解得 当m=1时，直线的方程为 x-y-2=0 , 圆心M 的坐标为 (3,1 ），圆M 的半径为.10，圆 M的方程为x 3 10由于圆 4 y 1 2 y 2M 的半径为2、85 ~r~， 圆M 的方程为x 91 + y+ —y 285 1621.解: (1) f X 的定义域为0,①若a 0,因为f 1 2 -1+aIn 2<0 2 所以不满足题意; ②若a ＞0, 由f' x x a 知, x 0,a 时，f' x <0 ；当 x f' x >0 ，所以f x 在0,a 单调递减，在 a, + 单调递增，故 x=a a,+ 时，是f x 在x 0,+ 的唯一最小值点. 由于f 10，所以当且仅当 a =1 时，f x 0. 故a =1 (2 )由( 1）知当x 1,时，x In x >0 1 1 令 x=1+2n 得 In 1 +戶＜右，从而 In 1 +ln 1切 1 1 2+尸+ 1+ =1 -------7 <1 2n -2n 1+1 2 1+丄 22 1+2 < e1+1 21+j1怜＞2，所以m 的最小值为3.22.解: (1 )消去参数 的普通方程l 1 : y k x消去参数 m 得12的普通方程l 2 : y 1 x 2 k 设P (x,y ),由题设得所以C 的普通方程为x 2(2) C 的极坐标方程为 r 2 cosp sinp 4 O v q v 2 q p2 2 . 2 r cosq si nq4 联立 _ 得 coq sinq =2 cosq +sinqr cosq +sinq -、2=01，从而 cosq =— ,sin 2q =— 3 10 10代入r 2 cos^q - sin^ =4得r 2 =5，所以交点 M 的极径为5 .23.解：3,x V 1 (1) f x 2x 1, 1 x 23,x >2 当x v 1时，f X 1无解；当1 x 2时，由f X 1得，2x 11，解得1 x 2 当x >2时，由f x 1解得x >2.所以f x 1的解集为 xx 1 .2 2(2 )由 f x x x m 得 m x 1 x 2 x x ，而x 1 x 2 x 2 x x +1 + x 2 x 2 x2 _3 5 =-x —+ -54 3, , 且当x 2时，x 1 x 2故 tanq 5 x =- 4故m的取值范围为5，42。