该定理是否还有另外的表述？
如果把 a+2b看作是正数a、b的等差中项， √ab 看作是正数a、b的等比中项，那么该定 理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于 它们的等比中项。
现给出这一定理的一种几何解释（演示）
定理有何特征？ 一边是和，一边是积。
现在有谁能快速地求出函数y=x2+
1 x2
的最小值。
问题：将一张正方形的纸片，裁剪成四个 全等的三角形纸片，要求以正方形的边作为直 三角形的斜边，如何剪？
图
b a
c
图①
a b
c
图②
从上面实例可知，若a＞0，b＞0则a2+b2≥2ab （当a=b时取等号），那么a2+b2≥2ab是否对于a、 b∈R都成立呢？
由于不等式复杂多样，仅有实数大小比较法则 是不够的，我们还需要学习一些有关不等式的 定理及证明不等式的方法
有最小值2√P 。
如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？
（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当
x=y时，积xy有最大值
1 4
S2。
证明：和x+y为定值S时，有√xy ≤ S，
∴ xy≤ 1S2。
2
4
上式当x=y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最
大值 1 S2。 4
总结：
1）两个正数，积定和小，和定积大。
作文马虎 找我谈话
严格要求 教育有方
（轻轻地）抚摸 （温和地）问 （语重心长地）说
惭愧 后悔 懊丧 从 此不敢怠慢
夜幕降临 促膝长谈
学识渊博 寄教于乐
上下五千年
纵横九万里 娓娓动听
络绎不绝 新奇愉快
熟谙癖好 给予培养
激发兴趣 因材施教
熟谙学生 奉献珍藏
迷上了画画 爱上了文艺
先生评画 终生受益
初步感知
• 这是一篇回忆性的记叙 文
研
• 事情发生的地点在寄园
读
• “情”是文章的中心内
课
深容入感知
题
关于“寄园”

为何难忘
是怎样的一种感情
我在童年和少年时代曾
在寄园求学，得到钱名 山先生的教诲，令我终 生难忘，迄今对他充满 感恩和怀念
作文马虎 找我谈话
寄 夜幕降临 促膝长谈
园 读
欣赏书画
书 先生评画
证明：由a，b，c，d都是正数，得
ab+cd 2
≥ √ab·cd＞0 ，ac+2bd≥
√ac·bd＞0
∴
(ab+cd)(ac+bd) 4
≥abcd，
即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd
引申：若a，b，c，d都是正数 求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
（1）知识上 a＋b≥2√ab 积定和小，和定积大
式子a2+b2≥2ab表明两个实数的平方和不小于 它们的积的2倍
这就是本节要介绍的一个重要不等式，它是一 个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都 成立，由于取“=”这种情况，在以后有广泛的 应用，因此通常要指出等号“=”成立的充要条 件
式子 a2+b2≥2ab中取等号的充要条件是什么呢？
充要条件通常用“当且仅当”来表示，“当” 表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要 的，所以a2+b2≥2ab可以表述为：
如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当 a=b时取“=”号）
例1：已知a＞0，b＞0 求证：a+b≥2√ab 这里要注意代换法的应用
(当且定仅理当：a=如b时果取a、“b=是”号正)数。，那么a+2b≥√ab
称 a+2b为a、b的算术平均数，称 √ab为a、 b的几何平均数
这一定理又可叙述为：两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
敬师之情 • 初步学习细致观察的作用
以及实际应用
拓展阅读 《父亲的爱》
• 概括说明本文写了有 关爹的哪几件事
• 通过这些具体的事例， 说明父亲的爱具有怎 样的特点
2）运用定理时，可以进行灵活变形，如
判断下列命题的真假
（1）若a，b∈R 则 b + a ≥2√
ab
（2）若ab＞0
则b a
+
a b
≥2
b· a=2
ab
（3）若x＞0 则x+ 1 ≥2√x · 1=2
x
x
（4）若x＞0 则sinx+ 1 ≥2√sinx · 1=2
sinx
sinx
例3： 已知a，b，c，d都是正数 求证：（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd。
看 沉思 寥寥数语 一针见血
茅塞顿开 精益求精
见识独到 修养深厚
炫耀诗才 先生批评
劝戒警勉 育我成人
淡淡地笑道 警勉而略带揶揄
惶恐不安 发人深省 鞭策至今
五件小事是从课内写到课外， 表现钱先生在课内对学生— ———，在课外对学生—— ——。
教学目标
• 了解回忆性文章的特点 • 体会先生爱生之心、作者
由此例我们能发现什么？具体的说，要求 两个正数和的最小值，只要什么是定值呢？
例2（1）已知x，y都是正数，求证：如果积xy是 定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2√p 。
证明：因为x，y都是正数，所以 x+y ≥√xy ，积
x+y
2
xy为定值p时，有 2 ≥√P ， ∴x+y≥2√P .
上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，和x+y
（2）方法上 换元法
a-b代a a2+b2≥2ab
a2≥0
√a—√b代a a+b≥2 √ab
（3）思想上 渗透数形结合思想
定理表现形式 a2+b2≥(a+b)2／2≥2ab
(a、b∈R)
a2+b2 2
／≥(
a+b 2
)2≥ab
(a、b∈R)
a2+b2 ≥ a+b ≥(
2
2
(a、b∈R+ )
a+ b )2 ≥ ab ≥ 2
竹 竹鸟图
山寺松泉
教学目标
• 了解回忆性叙事文的主要 特点
• 初步学会按照内容划分文 章的段落层次概括中心
• 感受作者对老师的真切感 情
检测预习
• 呵斥 敷衍 懊丧 蕴寓 癖好 临摹 寥寥 揶揄 悚然 悼念 伫立 鞭策
• 灵柩 疾言厉色 络绎不绝 语重心长
• 娓娓动听 茅塞顿开 • 促膝长谈 一瓣心香
2
1 a
+
1 b
推广形式: 1.若.a、b、c∈R+则a3+b3+c3≥3abc
2.若a、b、c∈R+
则
a+b+c 3≥
3
abc
3.若a1，a2 …an∈R + 则
a1+a2+…+an ≥ n
n a1a2…an
第一课时
谢稚柳几乎是一位全
能的艺术家，他精通 书画鉴定、美术理论、 绘画、书法、诗词等 各个艺术领域。就以 绘画而论，山水、花 鸟、人物、鞍马，他 无所不能，且均有独 到的艺术成就，可谓 博大精深。
炫耀诗才 先生批评
第二课时
教学目标
• 了解回忆性文章的特点 • 初步学习细致观察的作用
以及实际应用
• 体会先生爱生之心、作者 敬师之情
回忆性叙事文的特点
• 选择典型事例 • 挖掘重点词语 • 体悟真挚情感
作文马虎 找我谈话
寄 园
夜幕降临 促膝长谈
读 熟谙癖好 给予培养
书 先生评画 终生受益
炫耀诗才 先生批评