立足新课标，领悟教材蕴含的数形结合思想方法[摘要]：《义务教育数学课程标准（2011年版）》在总目标中明确提出学生能获得数学的“四基”，初步形成“四能”，并提供有效而丰富的素材。

数形结合思想方法是探索数学新知识的重要方法之一，因此教学中应注意引导学生领悟教材中蕴含的数形结合思想，在精选习题落实双基的同时，有针对性地进行一些与数形结合法有关的训练，提高学生的解题能力。

[关键词]：四基四能领悟数形结合思想让知识连起来教学设计解题能力数形结合思想是中学重要的数学思想之一。

恩格斯说：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。

”华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非。

”数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大夏深处的两块基石。

《义务教育数学新课程（2011年版）》明确指出：数形结合是探索数学新知识的重要方法之一。

从“两基”增加到“四基”后，我们能感受到数学的“基本思想”在很大程度上会改变一个人的思维方法，并且也这样想，如果能使基本数学思想落实到学生学习和运用数学的思维活动上，那么就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。

因此我们应该关注教材中呈现的重要思想，在教学中加强对数学思想方法的渗透与揭示。

下面就数形结合法谈谈对教材的认识与理解。

一、围绕直角坐标系的建立，借助适当的问题情境，循序渐进渗透数形结合的思想方法。

《课程标准（2011年版）》在具体内容的编写上，不仅关注每章引言的内容概述和方法引导，而且也关注小结对全章知识点的梳理，及对重要思想方法的归纳总结。

因此在教学过程中要善于把已学的知识连起来，注意与前面学段的衔接，梳理知识，归纳其中的数学思想，力争持续的发展提高。

例如，“位置”这一部分内容分三学段进行学习，螺旋上升介绍有关的知识点，渗透数形结合思想。

在小学一年级，教材就通过我们身边熟悉的上、下、前、后、左、右等位置关系，引导学生积累数学学习经验，加强对思想方法的启示。

初步体会到确定物体的位置时，要先看横行是第几行（排），再看竖行是第几列（号），行（排）与列（号）相交接的地方就是要确定的物体的位置，进而学会按一定的顺序进行观察，通过准确描述物体位置，建立起数与形之间的联系，再通过解题等实践活动，使学生初步理解数形结合的思想。

例如：有10位小朋友站成一排，从左边数，小红是第10位；从右边数，小亮是第8位。

小红和小亮中间有几位小朋友？此题可以画图分析。

（如图1），●●●●●●●●●●（图1）用点代替小朋友，从图上可以看出从左往右数，小红是第10个，从右往左数，小亮是第8个。

因此，要算两人中间有几人时，应减2，不是减8，另外，题中提到的两人不算。

因此，可列出算式求出小红和小亮中间有6位小朋友。

又比如，早上起来，太阳在东方，以“我”为参照物，来辨认我家周围同学家的位置与方向，若知道建筑物的距离就可以知道该位同学家的位置与方向。

生动活泼的教学材料与情境，增强学生学好数学和会用数学的信心，也是学生获得数学的“四基”，初步形成“四能”的一种体现。

例如：下面是1路公共汽车的行车路线图（如图2），根据路线图回答问题。

图2（1）1路公共汽车从商品市场出发向（）行驶（）站到四环路，接着向（）行驶（）站到中医院，然后向（）行驶（）站到三中巷，再向（）行驶（）站到公园，继续向（）行驶（）站到清源路，再向（）行驶（）站到天客隆，最后向（）行驶（）站到达终点站动物园。

（2）李强坐了3站到了公园，他可能从（）站上的车。

通过前两学段的学习，逐步树立了点与数之间的对应关系。

数的范围扩充到“有理数”以后，引入一个重要的概念：数轴。

用数轴上的点表示数，对数学的发展起了重要的作用，以它作基础，可以借助图形直观地表示很多与数相关的问题，如用数轴上的点表示有理数，借助数轴理解相反数、绝对值的概念等。

由此我们就体会了数形结合在学习新知识上带来的方便，许多抽象的数学概念、法则、规律变得直观，容易理解。

扩充到平面直角坐标系后，利用坐标平面内的点和有序实数对的一一对应关系，以及坐标平面内点的坐标表示法，可以确定坐标平面内一个点的坐标。

然后联系实际，利用坐标系解决生活中确定地理位置的问题（如确定同学家的位置等）。

这样围绕“位置”的相关问题，分学段学习了一些重要的数学知识，教材内容安排合理，注意到不同内容的交错安排，符合学生学习数学的认知规律，让数学知识与数形结合的思想方法得以融会贯通。

二、精心设计教学过程，让学生体会教材蕴含的数形结合思想方法，并逐步学会运用数学知识与方法解题。

根据《课程标准（2011年版）》的要求，教师应在教学过程中落实“四基”，也就是说在基础知识的教学过程中应注意基本数学思想渗透。

因此教师要钻研教材，精心设计教学过程，让学生在掌握知识的同时，形成一定的数学能力。

下面通过一些具体的例题来谈谈运用数形结合思想方法进行解题，掌握一些解题技能，提高解题能力。

一、借助数轴求解特殊的代数式、方程组、不等式等题目。

数轴是初中数学最早出现的数形结合思想的体现，数与点的位置关系密切，每一个实数都可以用数轴上一个点来表示，反之，数轴上每一个点都可以用一个实数来表示，充分体现了数形结合。

借助数轴，使数与形有机地结合起来，这对于分析问题、解决问题都有很大的帮助。

通过一些常见的练习有助于对数形结合思想的理解。

例1（2009年江苏中考题）.如图3，数轴上a、b两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（）。

图3a. a+b>0b. ab>0c. a-b>0d. - >0分析：观察数轴可知，0所以a+b0，所以抛物线开口向上，画出草图7，抛物线与x轴的交点在点（3，0）的两侧。

且有符合题意的两个根。

由图可知，当x=3时，y∴a的取值范围是a>说明：解题时把一元二次方程与二次函数及其图象联系起来，通过草图，结合数形结合法，既简洁，又直观明了。

例6 如图8，p是反比例函数上一点，若图中的阴影部分的矩形的面积是3，求这个反比例函数的解析式。

分析：与反比例函数有关的图形面积问题，可利用反比例函数（k≠0）中的比例系数k的几何意义解答即可。

解：设p点的坐标为（x，y）∵p点在第二象限∴ x0∴图中阴影部分矩形的长、宽分别为-x，y又-xy=3，∴xy=-3，k=xy，∴k=-3∴这个反比例函数的解析式为说明：数形结合思想是研究函数问题时最常用的思想方法，它将抽象的数转化为具体的图形来解决，如本题借助图象求关系式。

四、借助几何图形的有关性质来解决特殊的代数问题。

例7（2010年荆门中考题）如图9-1，mn是半径为1的⊙o直径，点a在⊙o上，∠amn=30°，b为an弧的中点，p是直径mn上一动点，则pa+pb的最小值为（）。

（a）（b）（c）1（d）2分析：如果我们把直径mn所在直线看作对称轴，a、b看成mn 同侧的两个定点，那么很快就能确定使pa+pb取最小值的点p的位置，从而问题迎刃而解。

解：如图9-2所示，作ac⊥mn于c，延长ac交⊙o于a′，则有ca= c a′，连结a′b交mn于p，连结pa，的值则pa=p a′，此时pa+pb最小，它的最小值为线段a′b的长，连接ob、o a′，∵mn是直径，∠amn=30°∴弧an为60°∵弧an与弧a′n度数相等，均为60°，b为弧an的中点∴∠bon=30°，∠no a′=60°∴∠bo a′=90°∵在等腰rt△bo a′中，ob=o a′=1，∴b a′= =∴pa+pb= p a′+pb=b a′= . 故选（b）说明：在解决有关圆的问题时，每个题的分析和思考都必须联系图形，这样才能快速准确地解决问题。

例8（2010年广州中考题）如图10，四边形oabc是矩形，点a、c的坐标分别为（3，0），（0，1），点d是线段bc上的动点（与端点b、c不重合），过点d作直线交折线oab于点e。

（1）记△ode的面积为s，求s与b的函数关系式；（2）当点e在线段oa上时，若矩形oabc关于直线de的对称图形为四边形，试探究四边形与矩形oabc的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。

解：（1）由题意得b（3，1）若直线经过点a（3，0），则b= 若直线经过点b（3，1），则b= 若直线经过点c（0，1），则b=1①若直线与折线oab的交点在oa上时，即1<b≤，如图10，此时e（2b，0），∴s = oe·co= ×2b×1=b②若直线与折线oab的交点在ba上时，即 <b< 如图10-1，此时e（3，b- ），d（2b-2，1）∴s =s -（s + s + s ）=3-〔（2b-2）×1+ （5-2b）（ -b）+ ×3×（b- ）〕= b-∴（2）如图10-2，设与cb相交于点m，oa与相交于点n，则矩形与矩形oabc的重叠部分的面积即为四边形dnem的面积。

由题意知，dm∥ne，dn∥me∴四边形dnem为平行四边形根据轴对称知，∠med=∠ned又∠mde=∠ned，∴∠med=∠mde∴md=me∴平行四边形dnem为菱形过点d作dh ⊥ oa，垂足为h，由题意知，tan∠den= ，dh=1 ∴he=2设菱形dnem的边长为a则在rt△dhn 中，由勾股定理知∴a= ∴ =ne·dh =∴矩形与矩形oabc的重叠部分面积不发生变化，面积始终为。

说明：本题综合运用轴对称、菱形、直角三角形及一次函数图象的知识和数形结合的思想，经过推理与计算，得出正确答案，体现较高的解题能力。

《课程标准（2011年版）》修订组组长史宁中在访谈中曾经这样说过：数学从本质上讲只研究数量关系和图形关系；数学是关于数量关系和图形关系的一门科学。

熟练掌握教材中出现的数形结合思想，对于提升教师教学的“立意”有重要的作用，同时，通过对基本思想方法的归纳总结，有利于我们抓住知识点的本质，提升我们的解题技能，逐步形成创新能力。