数学思想方法专题：数形结合思想【教学目标】 知识目标数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。

它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。

灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。

能力目标用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。

情感目标在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。

【教学重难点】重点：对数形结合思想方法的考查包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，代数问题几何化，几何问题代数化。

难点：一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征，关键在于恰当应用图形来体现数的几何意义，巧妙运用数的精确性和严密性，来揭示形的某些属性。

【考情分析】在高考中，利用客观题的题型特点来考查数形结合的思想方法，突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形来解决问题的意识，而在解答题中对数形结合思想的考查是由“形”到“数”的转化为主。

高考题对数形结合思想方法的考查，一方面是通过解析几何或平面向量考查一些几何问题，如何用代数方法来处理，另一方面，有一些代数问题则依靠几何图形的构造和分析辅助解决，历年来高考试卷中的许多试题都富有鲜明的几何意义，运用数形结合思想可迅速做出正确的判断。

【知识归纳】数形结合思想包含“数形结合”和“形数结合”两方面，“数形结合”就是将代数的问题转化为图形形式的问题，利用图形形式解决问题；“形数结合”就是将图形的问题转化为代数的问题，利用代数的方法解决问题。

应用数形结合的思想，可实现以下类型的数与形的转化： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围，求零点的个数； (3)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题、比较大小关系和证明不等式； (5)构建立体几何模型将代数问题几何化；(6)建立坐标关系，研究图形的确定形状、位置关系、性质等. 【考点例析】题型1：数形结合思想在集合中的应用例1．设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则B A ⋂所表示的平面图形的面积为（ D ）A ．34π B ． 35π C ． 47π D ． 2π解析：由0)1)((≥--x y x y 可知⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-010x y x y 或者⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-01x y x y ，在同一坐标系中做出平面区域，由图象可知B A 的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为2π，选D . 题型2：数形结合思想在方程、函数及不等式问题中的应用例2．若方程()()lg lg -+-=-x x m x 233在()x ∈03，内有唯一解，求实数m 的取值范围。

解析：原方程可化为()()--+=<<x m x 21032设()()y x x y m 1222103=--+<<=，在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。

由原方程在（0，3）内有唯一解，知y y 12与的图象只有一个公共点，可见m 的取值范围是03≤<-m 或m =1。

变式：对于实数b a ,，定义运算“*”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=,,,,*22b a ab b b a ab a b a 设)1(*)12()(--=x x x f ，且关于x 的方程)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根1x ，2x ，3x ，则321x x x 的取值范围为 )0,163( 。

例3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为)(x f '，且函数)(')1(x f x y -=的图像如右图所示，则下列结论中一定成立的是（ D ）A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f解析:由图象可知当2-<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.当12<<-x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当21<<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当2>x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.所以函数)(x f 有极大值)2(-f ，极小值)2(f ,选D .题型3：数形结合思想在求参数、代数式的取值范围问题中的应用 例4．已知实数y x ,满足)0(322≥=+y y x ，31++=x y m ，y x b +=2，①、求m 的取值范围；② 证明：[]15,32-∈b 。

例5. 直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点，则a 的取值范围为 )45,1( 。

变式：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=.2,)1(,2,2)(3x x x x x f ，若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 )1,0( 。

题型4：数形结合思想在解析几何问题中的应用例6．已知双曲线C :)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线C 交于B A ,两点，若4=，则C 的离心率为（ A ） 56.A 57.B 85.C 59.D 变式：已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C ：x y 82=相交于B A ,两点，F 为C 的焦点，若FB FA 2=，则=k （ D ）31.A 32.B 32.C 322.D例7.已知)1,1(A 为椭圆15922=+y x 内的一点，1F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上的一动点，求PA PF +1的最大值和最小值.变式：已知)1,1(A 为椭圆15922=+y x 内的一点，1F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上的一动点，求PAPF +123的最小值.题型5：数形结合思想在几何图形中的应用例8.如右下图，正三角形PAD 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直O 为正方形ABCD 的中心,M 为正方形ABCD 内一点，且满足MP =MB ，则点M 的轨迹为 （ B ）解析：（定性法）要是MP =MB 成立，则动点M 的轨迹一定是PB 的中垂面与该图形的交线，轨迹为直线，又PA=AB ，故点M 轨迹经过点A ，而PC>BC ，故轨迹不经过点C，故选B 。

变式：如右下图，正三角形PAD 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直O 为正方形ABCD 的中心,M 为正方形ABCD 内一点，且满足MP =MB ，则点M 的轨迹为 （ B ）解析：（定量法）过点P 作AD PN ⊥，连接MN ，则222MN PN PM +=，设边长为1，则PN=3，即有：223MN BM +=,在正方形ABCD 所在平面建立如图的直角坐标系，写出B、M 、N 的坐标，并将上述几何关系式坐标化，得到：x y 2=，定量得出轨迹。

题型6：数形结合思想在三角函数、平面向量问题中的应用 例9.2==的△ABC 面积的最大值是 。

【方法技巧归纳】数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种智慧的数学方法，备考中要仔细体会，牢固掌握，熟练应用。

其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

数形结合的思想方法直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

【自我检测】1.函数()sin f x x π=2 C ）A6B 7.5C 9D 122．设向量a ,c 1==, 60,>=--<c b c a 的最大值是（ A ） 2.A 3.B 2.C 1.D 3. 函数bx ax x x f -+=2331)(在[－1,2]上是单调减函数，则a ＋b 的最小值为____23____． 4．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时，121,02,()1(),(2).2x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩则函数()4()1g x f x =-的零点个数为 （ D ）A ．4B ．6C ．8D ．105.已知函数⎩⎨⎧>≤+=)0(log )0(1)(2x x x ax x f ，则函数[]()1y f f x =+的零点个数是（ A ）A . 1个或4个 B.2个或4个 C. 1个或2个 D . 4个6．设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=2,12,21)(x x x x f 若关于x 的方程0)()(2=++b x af x f 有3个不同的实数解321,,x x x 且321x x x <<，则下列说法中错误的是( D )A ．1432321=++x x xB ．01=++b aC ．431=+x xD ．2312x x x >+7.设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（ B ）A.当0a <时，12120,0x x y y +<+> B . 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C . 当0a >时，12120,0x x y y +<+< D . 当0a >时，12120,0x x y y +>+>解析：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当0<a 时，要想满足条件，则有如图，做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，同理当0>a 时，则有0,02121>+<+y y x x ，故答案选B .另法：32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得b .不妨设12x x <，则223x b =.所以21()()(F x x x x =-，比较系数得1x -，故1x =.120x x +=，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B .8．设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是__1221+≤≤m ____________解析：（数形结合）当0m ≤时，集合A 是以（2，0）为圆心，以m 为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，(102m m +=> ，因为,φ≠⋂B A 此时无解；当0m >时，集合A 是以（2，0）为圆心，以和m 为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间，必有m112m ≤≤.又因为2m 1,122m m ≤∴≤≤。