lim
x0
y x
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) a
存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为
f(x0 ) a
定理
f (x0 ) a f(x0 ) f(x0 ) a
好像见过面啊！
3. 导函数
定义 若 x(a, b), 函数 f (x) 皆可导, 则说 f (x) 在
2
22
物体由 t 到 t + t 一段的平均速度是
V (t) S(t t) S(t) 1 g(2t t t 2 )
(t t) t 2
t
gt 1 g t 2
求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt , 就是
令 t0 的极限过程：
Vt
lim V
t 0
(t)
lim
t 0
S (t
t) t
S (t )
lim y lim f (x0 x) f (x0 ).
x0 x x0
x
二.导数的概念
1. 导数的定义
定义 设函数 f (x) 在 U(x0) 有定义, 且 x0+x U(x0).
如果极限lim f x0 x f x0 lim y a存在
x0
x
x0 x
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在
f'(0) lim y 1 x0 x
三、基本初等函数的导数
推导一些基 本公式啊 ！
1. y = C x R ( C为常数 ) Q lim y lim C C lim 0 0 x0 x x0 x x0
(C) 0
通常说成：常数的导数为零.
2. 幂函数 y x （ R）
Q lim y lim (x x) x
则称 f (x )在 [a, b] 上可导, f (x) 称为 f (x) 在 [a, b] 上 的导函数, 简称为导数.
函数在点 x0 I 处的导数: f (x0 ) f (x) xx0
先求导、后代值.
例3.2
求函数
f
(
x)
x, sin
x,
解 当△x<0 时,有
x0 x 0 在x0处的导数.
lim y . x0 x
y y f (x)
O
A T
y AB
x
x
小结
解决与速度变化或变化率相关问题的步骤: (1) 建立一个函数关系 y = f (x) xI .
(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：
y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3) 求 x 0 的极限：
y f (0 x) f (0) x sin 0 x
故
f ' (0)
lim
x0
y x
lim
x0
x x
1
当△x>0 时,有
y f (0 x) f (0) sin x sin 0 sin x
故
f'
(0
lim
x0
y x
lim x0
sin x x
1
于是,由 f'(0) f'得(0) 1
1
lim (gt g t) gt
t 0
2
从物理学看, 当t0 时, 应该有
S(t t) S(t) 0 .
这是否也说明了一个什么问题?
2. 几何背景 — 平面曲线的切线问题
平面曲线上切线的概念
曲线 L 在点 P 处点切线为 点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时 割线 PQ 的极限位置 PT
第一节 导数的概念
一、导数产生的背景
二、导数的概念 三、基本初等函数的导数 四、导数的几何意义 五、函数的可导性与连续性的关系
一.导数产生的背景
1. 物理背景 2. 几何背景
1.物理背景
例1 非匀速运动物体的速度问题
在真空中, 当时间由t 变到t+t 时, 自由
落体所经过的路程为
S(t t) S(t) 1 g(t t)2 1 gt2 1 g(2tt t2)
f
(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) f 2x
(x0
x)
Hale Waihona Puke f(x0 )lim
x0
f
(x0
kx) kx
f
(x0 )
k 0为常数.
若
lim
x0
y x
不
存
在
，
称
函
数f x
在
点x0
处
不
可
导
或者没有导数；x0为f x的不可导点。
若 lim x0
y x
时 ， 称f
x 在 点x0 导 数 不 存 在 ；
自变量对其本身的导数为 1
3. 指数函数 y ax (a 0)
Q lim y lim a xx a x a x lim ax 1
x x0
x0
x
x0 x
ax lim x ln a ax ln a x0 x
x x0
x0
x
等价无穷小替代
lim
x 1 x x
1
lim
x
x
x
x0
x
x0 x
lim x1 x1 x0
(x ) x1
例4 (x3) 3x2.
(
x)
1
(x2 )
1
1 1
x2
1
1
x2
1
,
2
2
2x
d dx
1 x
( x 1 )
(1) x 11
x 2
1 x2
,
(x)' 1 x11 x0 1.
有时也称f x在点x0导数为。
2.左、右导数
定义
设函数 f (x) 在 [x0 , x0+ ) 内有定义, 若
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) a
存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为
f (x0 ) a.
定义
设函数 f (x) 在 (x0 – , x0] 内有定义, 若
切点 P
L
•
Q
•
•
• •
•
T
•
切线PT
定义 平面曲线 y = f (x) 的切线：
曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上
当A的任意一条割线AA当点Ax0 x, y0 y
沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.
切线方程: y y0 k(x x0 ) , 其中,
k tan
lim tan x0
点 x0 处的导数. 记为 f (x0 ) a， y'|xx0 a,
d
f (x0 ) dx
a， d y dx
x x0
a.
如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则
f
'(x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) ; x x0
f
(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
(a, b) 内可导. 这时 f (x) 是关于 x 的一个新函数,
称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之
为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：
f
( x)
lim
x0
y x
lim
x0
f
(x
x) x
f
(x)
f x也可记作y、dy 、df
dx dx
定义
若 f (x) 在 (a, b) 内可导, 且 f(a) , f(b) 存在,