第 1 页 共 16 页乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即 （a +b ）（a -b ）=a 2-b 2说明：（1）几何解释平方差公式如右图所示：边长a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。

第一种：用正方形的面积公式计算：a 2－b 2；第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a ＋b ），宽为（a －b ）， 它的面积是：（a ＋b ）（a －b ）结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。

所以：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）。

（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。

平方差公式的a 和b ，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。

应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算 2、完全平方公式完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，（a -b ）2=a 2-2ab +b 2这两个公式叫做完全平方公式。

平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式 说明：（1）几何解释完全平方（和）公式 如图用多种形式计算右图的面积 第一种：把图形当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a ＋b ）2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的第 2 页 共 16 页长方形来看，其中大正方形的的边长是a ，小正方形 的边长是b ，长方形的长是a ，宽是b ，所以它的面积就是：a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积 所以：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2（2）几何解释完全平方（差）公式 如图用多种形式计算阴影部分的面积 第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a -b ）2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的 长方形来看，长方形小正方形大正方形阴影S S S S ⨯=2--其中大正方形的的边长是a ，小正方形的边长是b ，长方形的长是（a -b ），宽是b ，所以 它的面积就是：()222222b ab a b b a b a +-=⋅-⋅--结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：()2222b ab a b a +-=-（3）在进行运算时，防止出现以下错误：（a +b ）2=a 2+b 2，（a -b ）2=a 2-b 2。

要注意符号的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。

完全平方公式的a 和b ，可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平方公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用方法引导1、乘法公式的基本计算例1 利用平方差公式计算：（1）（3x ＋5y ）（3x －5y ）； （2）（0.5b ＋a ）（-0.5b ＋a ） （3）（-m ＋n ）（-m －n ） 难度等级：A第 3 页 共 16 页解：（1）(3x ＋5y )(3x －5y )＝(3x )2－(5y )2＝9x 2－25y 2↓ ↓ ↓ ↓ （a ＋b ）（a －b ）＝ a 2 － b 2（2）（0.5b ＋a ）（-0.5b ＋a ）＝（a ＋0.5b ）（a －0.5b ）＝a 2－0.25b 2↓ ↓ ↓ ↓ （a ＋b ）（a －b ） ＝ a 2 － b 2 （3）（－m ＋n ）（－m －n ）＝（－m ）2－n 2＝m 2－n 2↓ ↓ ↓ ↓ （a ＋b ）（a －b ） ＝ a 2 － b 2【知识体验】仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点，找到两个多项式的第一项相同，而第二项互为相反数，符合运用平方差公式的条件，利用公式解题，得出结果【解题技巧】平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项，相同项就是a ，不同项就是b 和-b ，所以多项式中项的位置颠倒时，可以先调换位置，再运用平方差公式【搭配练习】 用平方差公式计算（1）（－0.25x －y ）（－0.25x ＋y ） （2）（－2x ＋3y ）（－2x －3y ）（3）（2x －5）（2x ＋5）－（2x ＋1）（2x －1）例2 利用完全平方公式计算（1）（2a ＋3）2 （2）（0.5m －0.2n ）2 （3）（-2x －3y ）2 （4）（1－3x ）（3x -1） 难度等级：A解：（1）()()912433222322222++=+⋅⋅+=+a a a a a↓ ↓ ↓ ↓ （a ＋b ）2＝ a 2＋ 2ab ＋ b 2（2）()()()2222204.02.025.02.02.05.025.02.05.0n mn m n n m m n m +-=+⋅⋅-=-第 4 页 共 16 页↓ ↓ ↓ ↓()=-2b a 2a ab 2- 2b +（3）第一种解法：()()()()2222291243322232y xy x y y x x y x ++=+⋅-⋅--=--↓ ↓ ↓ ↓()=-2b a 2a ab 2- 2b +第二种解法：()()[]()()()2222222912433222323232y xy x y y x x y x y x y x ++=+⋅⋅+=+=+-=--↓ ↓ ↓ ↓ （a ＋b ）2＝ a 2 ＋2ab ＋b 2（4）()()()()13131331---=--x x x x()()[][]169169113231322222-+-=+--=+⋅⋅--=--=x x x x x x x↓ ↓ ↓ ↓()=-2b a 2a ab 2- 2b +【知识体验】仔细观察例题，题目都应该符合完全平方的形式，然后根据公式写出结果。

第一步确定首尾，分别平方；第二步确定中间项的系数和符号，得出结论。

【解题技巧】第三题给出了两种解法，第二解法实质上是利用了乘方的性质，利用互为相反数的幂可以互相转化，改变了原本的形式，便于后续利用完全平方和的公式写出结果，第一种虽然也可以得出正确结果，但涉及到符号问题较多，容易出现错误。

第四题表面上看上去不可以用乘法公式，但仔细观察可以发现，这两个多项式的每一项只有符号不同，其他都相同，那么也可以利用乘方的性质，把式子进行转化，后续得出的就是一个带有负号的完全平方式，但有一点还要注意的是()213--x 中，应该先按照完全平方公式展开，再去掉负号【搭配练习】第 5 页 共 16 页利用完全平方公式计算（1）()223+a （2）()234c b -（2）()23.01.0q p -- （4）()()m n n m 5775--2、简便计算例3 利用平方差公式简便计算（1）103×97 （2）59.8×60.2 难度等级：A解：（1）103×97＝（100＋3）（100－3）＝1002－32＝10000－9＝9991（2）59.8×60.2＝（60－0.2）（60＋0.2）＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.96 【知识体验】既然是简便计算，就有巧算的变法，把两个因数分别进行改写，写成相同的两个数的和与差相乘的形式，利用平方差公式求解。

【解题技巧】如果可以利用公式，那么103和97就分别是相同的两个数的和与差，那么（103+97）÷2得到的就是第一个数，即公式中的a ，（103-97）÷2得到的就是第二个数，即公式中的b【搭配练习】利用平方差公式简便计算 （1）899×901＋1 （2）98² （3）87138114⨯例4 利用乘法公式简便计算（1）2997 （2）21009 （3）99101942⨯- 难度等级：A 解：（1）()99400996000100000033100021000310009972222=+-=+⨯⨯-=-=（2）()101808181180001000000819100021000910001009222=++=+⨯⨯+=+=第 6 页 共 16 页（3）()()()110011006100991019422-+--=⨯-()1163136120011003612001001100661002100222222-=++-=+-+-=--+⨯⨯-=【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式，平方差公式一定要是两数和与两数差乘积的形式，完全平方公式一定是两数和或差的平方形式【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘，完全平方公式是一个数或式子平方的形式，当这两种公式混合在一起的时候要注意区别，分清属于哪一种【搭配练习】 利用乘法公式简便计算 997²－1001×999例题讲解(一）题型分类全析例1：下列计算正确的是（ ）A .()()x x x x x x 41281324232---=-+•- B .()()3322y xyx y x +=++C .()()21611414a a a -=---D .()222422y xy x y x +-=-难度等级：A【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则，（-4x ）·(2x 2+3x -1)=-8x 3-12x 2+4x ，所以A 错； 利用多项式乘法法则，计算（x +y ）(x 2+y 2)，得x 3+xy 2+x 2y +y 3，所以B 也不对；利用平方差公式，有(-4a -1) (4a -1)=(-1-4a )(-1+4a )=(-1)2-(4a )2=1-16a 2，所以C 是正确的；由完全平方公式，得(x -2y )2=x 2-4y +4y 2，所以D 错. 因此，选C .解：C【阅读笔记】整式的乘法包括幂的乘法，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，乘法公式；在解决问题时，要对号入住，看到题目，就要想到用什么样的法则。

【题评解说】本题是常规题，都是考察学生的基本概念和基本法则。

在做题时可以每道都做一遍，验证正确或错误的选项。

第 7 页 共 16 页【建议】如果遇到无法确定的时候，就说明知识点没有掌握清楚，此时的做题原则，就是排除法，先选出与待选答案相反结论的选项，在排查剩余选项。

【搭配练习】1、下列关系式中，正确的是( )A .(a －b )2=a 2-b 2B .(a +b )(a - b )= a 2-b 2C .(a +b )2= a 2+b 2D .(a +b )2= a 2-2ab +b 22、下列计算正确的是( )A .(a +3b )(a -3b )=a 2-3b 2B .(-a +3b )(a -3b )=-a 2-9b 2C .(-a -3b )(a -3b )=-a 2+9b 2D .(-a -3b )(a +3b )=a 2-9b 2例2：多项式142+x 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的多项式可以是 （填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）难度等级：B【思维直现】根据完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2的特点，若142+x 表示了a 2+b 2的话，则有a =2x ，b =1，所以，缺少的一项为±2ab =±2（2x ）·1=±4x ，此时，142+x ±4x =(2x ±1)2；如果认为142+x 表示了2ab +b 2的话，则有a =2x 2，b =1，所以，缺少的一项为a 2=（2x ）2=4x 4，此时，4x 4+142+x =(2x 2+1)2，从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式. 注意到4x 2=(2x )2，1=12，所以，保留二项式142+x 中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是-1或者 - 4x 2，此时有142+x -1=4x 2=(2x )2，或者142+x -4x 2=12. 综上分析，可知所加上的单项式可以是.解：±4x 、4x 4、-1或 - 4x 2【阅读笔记】成为一个整式的完全平方，并不一定指的是多项式形式的完全平方，还有可能是单项式的完全平方。